Přidání - Addition - Wikipedia

3 + 2 = 5 s jablka, populární volba v učebnicích^[1]

Přidání (obvykle označeno symbol plus +) je jedním ze čtyř základních operace z aritmetický, další tři bytosti odčítání, násobení a divize. Přidání dvou celá čísla výsledky v celkové částce nebo součet těchto hodnot dohromady. Příklad na vedlejším obrázku ukazuje kombinaci tří jablek a dvou jablek, takže celkem jich je pět. Toto pozorování je ekvivalentní s matematické vyjádření "3 + 2 = 5" (tj. „3 přidat 2 je rovnat se až 5 ").

Kromě počítání položek lze sčítání také definovat a provádět bez odkazu na konkrétní objekty pomocí abstrakcí čísla místo toho jako celá čísla, reálná čísla a komplexní čísla. Sčítání patří aritmetický, obor matematiky. v algebra, další oblast matematiky, lze sčítání provádět také na abstraktních objektech, jako jsou vektory, matice, podprostory a podskupiny.^[2]

Přidání má několik důležitých vlastností. to je komutativní, což znamená, že na pořadí nezáleží, a to je asociativní, což znamená, že když jeden přidá více než dvě čísla, nezáleží na pořadí, ve kterém je přidávání provedeno (viz Shrnutí ). Opakované přidávání 1 je stejné jako počítací; přidání 0 nezmění číslo. Kromě toho se také řídí předvídatelnými pravidly týkajícími se souvisejících operací, jako je odčítání a násobení.

Provádění sčítání je jedním z nejjednodušších numerických úkolů. K batolatům mají přístup velmi malé počty; nejzákladnější úkol, 1 + 1, mohou provádět kojenci již ve věku pěti měsíců a dokonce i někteří členové jiných druhů zvířat. v základní vzdělání, studenti se učí přidávat čísla do desetinný systému, počínaje jednotlivými číslicemi a postupným řešením složitějších problémů. Mechanické pomůcky sahají od starověku počitadlo k modernímu počítač, kde výzkum nejefektivnějších implementací přidávání pokračuje dodnes.

Zápis a terminologie

Znaménko plus

Sčítání se zapisuje pomocí znaménko plus „+“ mezi podmínkami;^[2][3] to je v infixová notace. Výsledek je vyjádřen pomocí znaménko rovná se. Například,

${ displaystyle 1 + 1 = 2}$ („jedna plus jedna se rovná dvěma“)

${ displaystyle 2 + 2 = 4}$ („dva plus dva se rovná čtyři“)

${ displaystyle 1 + 2 = 3}$ („jedna plus dvě se rovná tři“)

${ displaystyle 5 + 4 + 2 = 11}$ (viz „asociativita“) níže )

${ displaystyle 3 + 3 + 3 + 3 = 12}$ (viz „násobení“ níže )

Sloupcový přírůstek - přidají se čísla ve sloupci se součtem zapsaným pod podtrženo číslo.

Existují také situace, kdy je přidání „pochopeno“, přestože se neobjeví žádný symbol:

• Celé číslo následované okamžitě a zlomek označuje součet těchto dvou, nazývaných a smíšené číslo.^[4] Například,
        3½ = 3 + ½ = 3.5.
  Tato notace může způsobit zmatek, protože ve většině ostatních kontextech juxtapozice označuje násobení namísto.^[5]

Součet a série souvisejících čísel lze vyjádřit pomocí zápis velkého sigma, což kompaktně označuje opakování. Například,

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {5} k ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2} = 55.}$

Čísla nebo objekty, které se mají obecně přidat, se souhrnně označují jako podmínky,^[6] the doplňuje^[7][8][9] nebo summands;^[10]tato terminologie se přenáší do součtu více termínů. To je třeba odlišit od faktory, což jsou znásobeno Někteří autoři nazývají první doplněk rozšířit.^[7][8][9] Ve skutečnosti během renesance, mnoho autorů vůbec nepovažovalo první doplněk za „doplněk“. Dnes, kvůli komutativní vlastnost navíc se „augend“ používá jen zřídka a oba termíny se obecně nazývají addends.^[11]

Všechna výše uvedená terminologie pochází z latinský. "Přidání " a "přidat „jsou Angličtina slova odvozená z latiny sloveso addere, což je zase a sloučenina z inzerát „do“ a odvážit se "dát", z Protoindoevropský kořen * deh₃- "dát"; tedy do přidat je dát.^[11] Za použití gerundivní přípona -nd má za následek "přidat", "věc, která má být přidána".^[A] Podobně od augere „zvýšit“, člověk dostane „rozšířit“, „věc má být zvýšena“.

Překreslený obrázek z Umění Nombryng, jeden z prvních anglických aritmetických textů, v 15. století.^[12]

„Sum“ a „summand“ jsou odvozeny z latiny podstatné jméno summa „nejvyšší, horní“ a související sloveso shrnout. To je vhodné nejen proto, že součet dvou kladných čísel je větší než jeden, ale také proto, že to bylo běžné pro starověcí Řekové a Římané přidat nahoru, na rozdíl od moderní praxe přidávání dolů, takže součet byl doslova vyšší než sčítání.^[13]Addere a shrnout datovat se alespoň do Boethius, pokud ne starším římským spisovatelům jako např Vitruvius a Frontinus; Boethius také použil několik dalších výrazů pro operaci přidání. Později Střední angličtina výrazy „adden“ a „adding“ byly popularizovány pomocí Chaucer.^[14]

The znaménko plus "+" (Unicode: U + 002B; ASCII: +) je zkratka latinského slova et, což znamená „a“.^[15] Objevuje se v matematických pracích z doby nejméně 1489.^[16]

Výklady

Sčítání se používá k modelování mnoha fyzických procesů. I pro jednoduchý případ přidání přirozená čísla, existuje mnoho možných interpretací a ještě více vizuálních reprezentací.

Kombinace sad

Možná nejzásadnější interpretace sčítání spočívá v kombinaci sad:

• Když jsou dvě nebo více nesouvislých kolekcí kombinovány do jedné kolekce, je počet objektů v jediné kolekci součtem počtu objektů v původních kolekcích.

Tato interpretace je snadno vizualizovatelná, s malým nebezpečím nejednoznačnosti. Je také užitečný ve vyšší matematice (pro přesnou definici, kterou inspiruje, viz § Přirozená čísla níže). Není však zřejmé, jak je možné rozšířit tuto verzi přídavku o zlomková nebo záporná čísla.^[17]

Jednou z možných oprav je zvážit kolekce objektů, které lze snadno rozdělit, například koláče nebo ještě lépe segmentované tyče.^[18] Spíše než pouze kombinovat kolekce segmentů, tyče lze spojovat od začátku ke konci, což ilustruje další koncepci sčítání: přidání nikoli tyčí, ale délek tyčí.

Prodloužení délky

Číselná řada vizualizace algebraického součtu 2 + 4 = 6. Překlad 2 následovaný překladem 4 je stejný jako překlad 6.

Číselná řada vizualizace unárního sčítání 2 + 4 = 6. Překlad o 4 je ekvivalentní čtyřem překladům o 1.

Druhá interpretace sčítání pochází z prodloužení počáteční délky o danou délku:

• Když je původní délka prodloužena o danou částku, konečná délka je součtem původní délky a délky prodloužení.^[19]

Součet A + b lze interpretovat jako a binární operace který kombinuje A a b, v algebraickém smyslu, nebo jej lze interpretovat jako přidání b více jednotek do A. Podle posledně uvedeného výkladu části částky A + b hrát asymetrické role a operace A + b se považuje za použití souboru unární provoz +b na A.^[20] Místo volání obou A a b doplňuje, je vhodnější zavolat A the rozšířit v tomto případě od A hraje pasivní roli. Unární pohled je také užitečný při diskusi odčítání, protože každá operace unárního sčítání má operaci inverzního unárního odčítání a naopak.

Vlastnosti

Komutativita

4 + 2 = 2 + 4 s bloky

Sčítání je komutativní, což znamená, že lze změnit pořadí výrazů v součtu, ale přesto dosáhnout stejného výsledku. Symbolicky, pokud A a b jsou tedy libovolná dvě čísla

A + b = b + A.

Skutečnost, že sčítání je komutativní, je známé jako „komutativní zákon sčítání“ nebo „komutativní vlastnost sčítání“. Nějaký jiný binární operace jsou komutativní, jako je násobení, ale mnoho dalších není, například odčítání a dělení.

Asociativita

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 se segmentovými tyčemi

Sčítání je asociativní, což znamená, že když se sečtou tři nebo více čísel, zobrazí se pořadí operací nemění výsledek.

Jako příklad by měl výraz A + b + C být definován ve smyslu (A + b) + C nebo A + (b + C)? Vzhledem k tomu, že přidání je asociativní, je volba definice irelevantní. Pro libovolná tři čísla A, b, a C, je pravda, že (A + b) + C = A + (b + C). Například, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Pokud se sčítání používá společně s dalšími operacemi, pořadí operací se stává důležitým. Ve standardním pořadí operací má přidávání nižší prioritu než umocňování, n-té kořeny, násobení a dělení, ale má stejnou prioritu jako odčítání.^[21]

Prvek identity

5 + 0 = 5 s taškami teček

Při přidávání nula na libovolné číslo se množství nemění; nula je prvek identity navíc, také známý jako aditivní identita. V symbolech, pro všechny A,

A + 0 = 0 + A = A.

Tento zákon byl poprvé identifikován v Brahmagupta je Brahmasphutasiddhanta v roce 628 nl, ačkoli to napsal jako tři samostatné zákony, podle toho, zda A je záporný, kladný nebo nulový sám a používal spíše slova než algebraické symboly. Později Indičtí matematici upřesnil koncept; kolem roku 830, Mahavira napsal, „nula se stane stejnou jako to, co se k ní přidá“, což odpovídá unárnímu tvrzení 0 + A = A. Ve 12. století Bhaskara napsal: „Kromě šifry nebo jejího odečtení zůstává množství, kladné i záporné, stejné“, což odpovídá unárnímu tvrzení A + 0 = A.^[22]

Nástupce

V rámci celých čísel přidání jeden také hraje zvláštní roli: pro jakékoli celé číslo A, celé číslo (A + 1) je nejmenší celé číslo větší než A, také známý jako nástupce z A.^[23] Například 3 je nástupcem 2 a 7 je nástupcem 6. Kvůli této posloupnosti je hodnota A + b lze také vidět jako bth nástupce A, přidáním iterované posloupnosti. Například, 6 + 2 je 8, protože 8 je nástupcem 7, což je nástupce 6, takže 8 je 2. nástupcem 6.

Jednotky

Chcete-li numericky přidat fyzické veličiny pomocí Jednotky, musí být vyjádřeny běžnými jednotkami.^[24] Například přidání 50 mililitrů do 150 mililitrů dá 200 mililitrů. Pokud je však míra 5 stop prodloužena o 2 palce, je součet 62 palců, protože 60 palců je synonymem pro 5 stop. Na druhou stranu je obvykle bezvýznamné pokusit se přidat 3 metry a 4 metry čtvereční, protože tyto jednotky jsou nesrovnatelné; tento druh úvah je v rozměrová analýza.

Provádění sčítání

Vrozená schopnost

Studie matematického vývoje začínající kolem 80. let 20. století tento fenomén využily návyk: kojenci dívat se déle na situace, které jsou neočekávané.^[25] Klíčový experiment od Karen Wynn v roce 1992 zahrnující Mickey Mouse panenky manipulované za obrazovkou ukázaly, že pětiměsíční kojenci očekávat 1 + 1 být 2, a jsou poměrně překvapeni, když se zdá, že to naznačuje fyzická situace 1 + 1 je buď 1 nebo 3. Toto zjištění bylo od té doby potvrzeno řadou laboratoří využívajících různé metodiky.^[26] Další experiment z roku 1992 se staršími batolata, mezi 18 a 35 měsíci, využili svůj vývoj ovládání motoru tím, že jim umožnili načíst ping-pong koule z krabice; nejmladší dobře reagovali na malý počet, zatímco starší subjekty dokázali vypočítat částky až 5.^[27]

Dokonce i některá nelidská zvířata vykazují omezenou schopnost přidávat, zvláště primáti. V experimentu z roku 1995 napodobujícím výsledek Wynn z roku 1992 (ale s použitím lilky místo panenek), makak rhesus a bavlněný tamarin opice si vedly podobně jako kojenci. Ještě dramatičtěji, poté, co se naučil významy Arabské číslice 0 až 4, jedna šimpanz byl schopen vypočítat součet dvou číslic bez dalšího tréninku.^[28] Poslední dobou, Asijské slony prokázali schopnost provádět základní aritmetiku.^[29]

Učení v dětství

Typicky děti nejprve zvládnou počítací. Když dostane problém, který vyžaduje, aby byly kombinovány dvě položky a tři položky, malé děti modelují situaci pomocí fyzických předmětů, často prstů nebo kresby, a poté spočítají součet. Jak získávají zkušenosti, učí se nebo objevují strategii „počítání“: požádáni, aby našli dva plus tři, děti počítají tři tři, říkají „tři, čtyři, Pět„(obvykle odškrtává prsty) a dorazí na pět. Tato strategie se zdá být téměř univerzální; děti si ji snadno vyzvednou od vrstevníků nebo učitelů.^[30] Většina je objevuje samostatně. S dalšími zkušenostmi se děti naučí přidávat rychleji využíváním komutativity sčítání počítáním od většího počtu, v tomto případě počínaje třemi a počítáním „čtyři, Pět„Nakonec si děti začnou vybavovat některá další fakta (“počet dluhopisů "), a to buď na základě zkušeností, nebo zapamatování. Jakmile se některá fakta zapamatují, děti začnou odvozovat neznámá fakta od známých. Například dítě, které požádalo o přidání šesti a sedmi, může vědět, že 6 + 6 = 12 a pak to zdůvodněte 6 + 7 je ještě jeden nebo 13.^[31] Taková odvozená fakta lze najít velmi rychle a většina žáků základních škol se nakonec spoléhá na kombinaci memorovaných a odvozených faktů, které může plynule doplňovat.^[32]

Různé národy zavádějí celá čísla a aritmetiku v různém věku, přičemž mnoho zemí vyučuje sčítání v předškolním věku.^[33] Na celém světě se však sčítání vyučuje na konci prvního ročníku základní školy.^[34]

Stůl

Děti si často zapamatují, že mají tabulku sčítání dvojic čísel od 0 do 9. S tímto vědomím mohou děti provádět jakékoli doplňování.

Desetinná soustava

Předpokladem pro přidání do desetinný systém je plynulé vyvolání nebo odvození 100 jednociferných „faktů o přidání“. Dalo by se memorovat všechna fakta rote, ale strategie založené na vzorcích jsou poučnější a pro většinu lidí efektivnější:^[35]

• Komutativní vlastnost: Uvedeno výše, pomocí vzoru a + b = b + a snižuje počet „faktů o přidání“ ze 100 na 55.
• Jeden nebo dva další: Přidání 1 nebo 2 je základní úkol a lze ho dosáhnout spočítáním nebo nakonec intuice.^[35]
• Nula: Protože nula je aditivní identita, přidání nuly je triviální. Ve výuce aritmetiky se však některým studentům představí sčítání jako proces, který sčítání vždy zvyšuje; slovní úlohy může pomoci racionalizovat „výjimku“ nuly.^[35]
• Čtyřhra: Přidání čísla k sobě souvisí s počítáním dvěma a do násobení. Fakta o zdvojnásobení tvoří páteř mnoha souvisejících faktů a studenti je považují za relativně snadno pochopitelné.^[35]
• Téměř zdvojnásobí: Součty jako 6 + 7 = 13 lze rychle odvodit ze skutečnosti zdvojnásobení 6 + 6 = 12 přidáním jednoho dalšího nebo z 7 + 7 = 14 ale odečtením jednoho.^[35]
• Pět a deset: Součty formuláře 5+ X a 10+ X jsou obvykle zapamatovány dříve a lze je použít k odvození dalších skutečností. Například, 6 + 7 = 13 lze odvodit z 5 + 7 = 12 přidáním jednoho dalšího.^[35]
• Takže deset: Pokročilá strategie používá 10 jako prostředník pro částky zahrnující 8 nebo 9; například, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.^[35]

Jak studenti stárnou, odevzdávají více faktů paměti a naučí se rychle a plynule odvodit další fakta. Mnoho studentů nikdy nezapisuje všechna fakta do paměti, ale přesto rychle najde jakýkoli základní fakt.^[32]

Nést

Standardní algoritmus pro přidávání čísel s více číslicemi je zarovnat doplňky vertikálně a přidat sloupce, počínaje sloupcem ones na pravé straně. Pokud sloupec přesáhne devět, další číslice je „nesený "do dalšího sloupce. Například v dodatku 27 + 59

  ¹  27+ 59————  86

7 + 9 = 16 a číslice 1 je carry.^[b] Alternativní strategie začíná přidávat od nejvýznamnější číslice vlevo; tato trasa dělá nošení trochu neohrabanějším, ale je rychlejší získat hrubý odhad součtu. Existuje mnoho alternativních metod.

Desetinné zlomky

Desetinné zlomky lze přidat jednoduchou úpravou výše uvedeného procesu.^[36] Jeden zarovná dvě desetinná místa nad sebou s desetinnou čárkou na stejném místě. Pokud je to nutné, můžete přidat koncové nuly na kratší desetinné místo, aby bylo stejné délky jako delší desetinné místo. Nakonec jeden provede stejný proces sčítání jako výše, kromě toho, že desetinná čárka je umístěna v odpovědi, přesně tam, kde byla umístěna v sčítáních.

Jako příklad lze 45,1 + 4,34 vyřešit takto:

   4 5 . 1 0+  0 4 . 3 4————————————   4 9 . 4 4

Věděcký zápis

v věděcký zápis, čísla jsou zapsána ve formě ${ displaystyle x = a krát 10 ^ {b}}$, kde ${ displaystyle a}$ je význam a ${ displaystyle 10 ^ {b}}$ je exponenciální část. Sčítání vyžaduje, aby byla ve vědecké notaci reprezentována dvě čísla pomocí stejné exponenciální části, takže lze jednoduše přidat dva významy.

Například:

${ displaystyle 2,34 krát 10 ^ {- 5} +5,67 krát 10 ^ {- 6} = 2,34 krát 10 ^ {- 5} +0,567 krát 10 ^ {- 5} = 2,907 krát 10 ^ {- 5}}$

Desetinné číslo

Sčítání v jiných základnách je velmi podobné desítkovému sčítání. Jako příklad lze uvést přidání v binárním formátu.^[37] Přidání dvou jednociferných binárních čísel je poměrně jednoduché, a to formou přenosu:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, nést 1 (od 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

Přidáním dvou číslic „1“ se vytvoří číslice „0“, zatímco do dalšího sloupce je třeba přidat 1. To je podobné tomu, co se děje v desítkové soustavě, když se sčítají určitá jednociferná čísla; pokud se výsledek rovná nebo překračuje hodnotu radixu (10), zvyšuje se číslice vlevo:

5 + 5 → 0, nést 1 (od 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6, nést 1 (od 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

Toto je známé jako nesoucí.^[38] Když výsledek sčítání přesáhne hodnotu číslice, postup má „nést“ přebytečné množství dělené radixem (tj. 10/10) doleva a přidat jej k další poziční hodnotě. To je správné, protože další pozice má váhu, která je vyšší o faktor rovný radixu. Přenášení funguje stejným způsobem v binárním formátu:

  1 1 1 1 1 (nesené číslice)    0 1 1 0 1+   1 0 1 1 1—————————————  1 0 0 1 0 0 = 36

V tomto příkladu se přidávají dvě číslice: 01101₂ (13₁₀) a 10111₂ (23₁₀). V horní řadě jsou zobrazeny použité přenosové bity. Počínaje sloupcem úplně vpravo 1 + 1 = 10₂. 1 se provádí vlevo a 0 se zapisuje do spodní části sloupce zcela vpravo. Přidán druhý sloupec zprava: 1 + 0 + 1 = 10₂ znovu; 1 je neseno a 0 je zapsáno dole. Třetí sloupec: 1 + 1 + 1 = 11₂. Tentokrát se nese 1 a do spodního řádku se zapíše 1. Takovýmto postupem získáme konečnou odpověď 100100₂ (36₁₀).

Počítače

Přidání s operačním zesilovačem. Vidět Sčítací zesilovač pro detaily.

Analogové počítače pracovat přímo s fyzikálními veličinami, takže jejich mechanismy sčítání závisí na formě sčítání. Mechanická sčítačka může představovat dva doplňky jako polohy posuvných bloků, v takovém případě je lze přidat pomocí průměrování páka. Pokud jsou součty rychlosti otáčení dvou hřídele, mohou být přidány s rozdíl. Hydraulický sčítač může přidat tlaky ve dvou komorách vykořisťováním Newtonův druhý zákon k vyvážení sil na sestavě písty. Nejběžnější situací pro univerzální analogový počítač je přidání dvou napětí (odkazováno na přízemní ); toho lze dosáhnout zhruba pomocí a odpor síť, ale lepší design využívá operační zesilovač.^[39]

Přidání je rovněž zásadní pro provoz digitální počítače, kde účinnost sčítání, zejména nést mechanismus, je důležitým omezením celkového výkonu.

Část Charlese Babbageho Rozdíl Engine včetně mechanismů přidávání a přenášení

The počitadlo, nazývaný také počítací rámec, je výpočetní nástroj, který se používal staletí před přijetím psaného moderního číselného systému a je stále široce používán obchodníky, obchodníky a úředníky v Asie, Afrika a jinde; pochází z doby nejméně 2700–2300 před naším letopočtem, kdy byl použit v roce Sumer.^[40]

Blaise Pascal vynalezl mechanickou kalkulačku v roce 1642;^[41] byl to první operační přidávací stroj. Využíval gravitační přenosový mechanismus. Byla to jediná funkční mechanická kalkulačka v 17. století^[42] a nejdříve automatický digitální počítač. Pascalova kalkulačka byl omezen nosným mechanismem, který nutil jeho kola otáčet se pouze jedním směrem, aby mohl přidávat. Aby operátor odečetl, musel použít Pascalův doplněk kalkulačky, což vyžadovalo tolik kroků jako doplněk. Giovanni Poleni následoval Pascala a v roce 1709 postavil druhou funkční mechanickou kalkulačku, kalkulační hodiny ze dřeva, které po nastavení dokázaly automaticky vynásobit dvě čísla.

"Plná zmije "logický obvod, který přidává dvě binární číslice, A a B, spolu s přenosovým vstupem C_v, produkující součet bit, Sa nosný výstup, C_ven.

Přidávače provést sčítání celých čísel v elektronických digitálních počítačích, obvykle pomocí binární aritmetika. Nejjednodušší architekturou je sčítač signálu zvlnění, který se řídí standardním víceciferným algoritmem. Jedno mírné vylepšení je nést přeskočit design, opět podle lidské intuice; jeden nevykonává všechny přenosy ve výpočtech 999 + 1, ale jeden obejde skupinu 9s a přeskočí na odpověď.^[43]

V praxi lze výpočetní sčítání dosáhnout pomocí XOR a A bitové logické operace ve spojení s operacemi bitshift, jak je znázorněno v níže uvedeném pseudokódu. Brány XOR i AND lze snadno realizovat v digitální logice umožňující realizaci plný zmije obvody, které lze zase kombinovat do složitějších logických operací. V moderních digitálních počítačích je přidávání celých čísel obvykle nejrychlejší aritmetická instrukce, přesto má největší dopad na výkon, protože je základem všech plovoucí bod operace i základní úkoly jako adresa generace během Paměť přístup a načítání instrukce v době větvení. Aby se zvýšila rychlost, moderní konstrukce počítají číslice paralelní; tato schémata jsou pojmenována jako carry select, nosit pohled a Ling pseudonosit. Mnoho implementací jsou ve skutečnosti hybridy těchto posledních tří návrhů.^[44][45] Na rozdíl od přidání na papíře, přidání na počítači často mění doplňky. Na starověku počitadlo a přidání desky, oba doplňky jsou zničeny, takže zbývá pouze součet. Vliv počítadla na matematické myšlení byl natolik silný, že brzy latinský texty často tvrdily, že v procesu přidávání „čísla k číslu“ obě čísla zmizí.^[46] V moderní době instrukce ADD a mikroprocesor často nahrazuje augend součtem, ale zachovává dodatek.^[47] V programovací jazyk na vysoké úrovni, hodnotící A + b se také nemění A nebo b; pokud je cílem nahradit A se součtem to musí být výslovně požadováno, obvykle s výpisem A = A + b. Některé jazyky jako např C nebo C ++ povolit tuto zkratku jako A += b.

// Iterativní algoritmusint přidat(int X, int y) {    int nést = 0;    zatímco (y != 0) {              nést = A(X, y);   // Logické AND        X     = XOR(X, y);   // Logický XOR        y     = nést << 1;  // left bitshift carry by one    }    vrátit se X; }// Rekurzivní algoritmusint přidat(int X, int y) {    vrátit se X -li (y == 0) jiný přidat(XOR(X, y), A(X, y) << 1);}

V počítači, pokud je výsledek přidání příliš velký na uložení, aritmetické přetečení dojde, což má za následek nesprávnou odpověď. Neočekávané aritmetické přetečení je poměrně častou příčinou chyby programu. Takové chyby přetečení může být těžké objevit a diagnostikovat, protože se mohou projevit pouze u velmi velkých vstupních datových sad, u nichž je méně pravděpodobné, že budou použity při ověřovacích testech.^[48] The Problém roku 2000 byla řada chyb, kde došlo k chybám přetečení kvůli použití dvoumístného formátu po celá léta.^[49]

Sčítání čísel

K prokázání obvyklých vlastností sčítání je třeba nejprve definovat sčítání pro daný kontext. Přidání je nejprve definováno na přirozená čísla. v teorie množin, přidání je poté rozšířeno na postupně větší množiny, které zahrnují přirozená čísla: celá čísla, racionální čísla a reálná čísla.^[50] (V matematické vzdělávání,^[51] kladné zlomky se přidají ještě předtím, než se vůbec uvažuje o záporných číslech; toto je také historická cesta.^[52])

Přirozená čísla

Existují dva populární způsoby, jak definovat součet dvou přirozených čísel A a b. Pokud někdo definuje přirozená čísla jako kardinality konečných množin, (mohutnost množiny je počet prvků v množině), je vhodné definovat jejich součet takto:

• Nechť N (S) být mohutnost množiny S. Vezměte dvě nesouvislé sady A a B, s N (A) = A a N (B) = b. Pak A + b je definován jako ${ displaystyle N (A pohár B)}$.^[53]

Tady, A ∪ B je svaz z A a B. Alternativní verze této definice umožňuje A a B aby se případně překrývaly a pak si vezmou jejich disjunktní unie, mechanismus, který umožňuje oddělit společné prvky a proto je počítat dvakrát.

Další populární definice je rekurzivní:

• Nechat n⁺ být nástupce z n, to je následující číslo n v přirozených číslech, takže 0⁺=1, 1⁺= 2. Definovat A + 0 = A. Definujte obecnou částku rekurzivně pomocí A + (b⁺) = (A + b)⁺. Proto 1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)⁺ = 1⁺ = 2.^[54]

V literatuře opět existují drobné odchylky od této definice. Doslova vzato, výše uvedená definice je aplikací věta o rekurzi na částečně objednaná sada N².^[55] Na druhou stranu některé zdroje dávají přednost použití omezené věty o rekurzi, která platí pouze pro množinu přirozených čísel. Jeden pak uvažuje A dočasně "opraveno", použije rekurzi na b definovat funkci "A + "a vloží tyto unární operace pro všechny A společně tvoří úplnou binární operaci.^[56]

Tuto rekurzivní formulaci přidání vyvinul Dedekind již v roce 1854 a v následujících desetiletích by ji rozšířil.^[57] Asociační a komutativní vlastnosti prokázal mimo jiné prostřednictvím matematická indukce.

Celá čísla

Nejjednodušší koncepce celého čísla je, že se skládá z absolutní hodnota (což je přirozené číslo) a a podepsat (obecně buď pozitivní nebo negativní ). Celé číslo nula je speciální třetí případ, který není ani kladný, ani záporný. Odpovídající definice přidání musí probíhat v případech:

• Pro celé číslo n, nechť |n| být jeho absolutní hodnota. Nechat A a b být celá čísla. Pokud ano A nebo b je nula, považujte to za identitu. Li A a b jsou oba pozitivní, definujte A + b = |A| + |b|. Li A a b jsou oba negativní, definujte A + b = −(|A| + |b|). Li A a b mít různé znaky, definovat A + b být rozdíl mezi |A| a |b|, se znaménkem termínu, jehož absolutní hodnota je větší.^[58] Jako příklad, −6 + 4 = −2; protože −6 a 4 mají různá znaménka, odečtou se jejich absolutní hodnoty a protože absolutní hodnota záporného členu je větší, odpověď je záporná.

Ačkoli tato definice může být užitečná pro konkrétní problémy, počet případů, které je třeba zvážit, zbytečně komplikuje důkazy. Následující metoda se tedy běžně používá k definování celých čísel. Je založen na poznámce, že každé celé číslo je rozdíl dvou přirozených celých čísel a že dva takové rozdíly, A – b a C – d jsou stejné právě tehdy A + d = b + C. Takže lze formálně definovat celá čísla jako třídy ekvivalence z objednané páry přirozených čísel pod vztah ekvivalence

(A, b) ~ (C, d) kdyby a jen kdyby A + d = b + C.

Třída ekvivalence (A, b) obsahuje buď (A – b, 0) -li A ≥ bnebo (0, b – A) v opačném případě. Li n je přirozené číslo, lze jej označit +n třída ekvivalence (n, 0), a tím –n třída ekvivalence (0, n). To umožňuje identifikaci přirozeného čísla n s třídou ekvivalence +n.

Přidání objednaných párů se provádí po jednotlivých komponentách:

${ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).}$

Přímý výpočet ukazuje, že třída ekvivalence výsledku závisí pouze na třídách ekvivalence sčítanců, a tedy, že definuje přidání tříd ekvivalence, tj. Celá čísla.^[59] Další přímý výpočet ukazuje, že toto přidání je stejné jako výše uvedená definice případu.

Tento způsob definování celých čísel jako tříd ekvivalence párů přirozených čísel lze použít k vložení do a skupina jakýkoli komutativní poloskupina s zrušení majetku. Zde je poloskupina tvořena přirozenými čísly a skupina je aditivní skupinou celých čísel. Racionální čísla jsou konstruována podobně, přičemž jako poloskupinu bereme nenulová celá čísla s násobením.

Tato konstrukce byla také zobecněna pod názvem Grothendieckova skupina v případě jakékoli komutativní poloskupiny. Bez zrušení majetku poloskupinový homomorfismus z poloskupiny do skupiny může být neinjektivní. Původně Grothendieckova skupina byl konkrétněji výsledkem této konstrukce aplikovaný na třídy ekvivalence pod izomorfismy objektů an abelianská kategorie, s přímý součet jako operace poloskupiny.

Racionální čísla (zlomky)

Přidání racionální čísla lze vypočítat pomocí nejmenší společný jmenovatel, ale koncepčně jednodušší definice zahrnuje pouze celočíselné sčítání a násobení:

• Definovat ${ displaystyle { frac {a} {b}} + { frac {c} {d}} = { frac {reklama + bc} {bd}}.}$

Jako příklad součet ${ displaystyle { frac {3} {4}} + { frac {1} {8}} = { frac {3 krát 8 + 4 krát 1} {4 krát 8}} = { frac {24 + 4} {32}} = { frac {28} {32}} = { frac {7} {8}}}$.

Přidávání zlomků je mnohem jednodušší, když jmenovatelé jsou stejní; v tomto případě lze jednoduše přidat čitatele, přičemž jmenovatel ponecháme stejný: ${ displaystyle { frac {a} {c}} + { frac {b} {c}} = { frac {a + b} {c}}}$, tak ${ displaystyle { frac {1} {4}} + { frac {2} {4}} = { frac {1 + 2} {4}} = { frac {3} {4}}}$.^[60]

Komutativita a asociativita racionálního sčítání je snadným důsledkem zákonů celočíselné aritmetiky.^[61] Pro podrobnější a obecnější diskusi viz pole zlomků.

Skutečná čísla

Přidání π²/ 6 a E pomocí Dedekindových řezů racionálů.

Běžnou konstrukcí množiny reálných čísel je Dedekindovo dokončení množiny racionálních čísel. Skutečné číslo je definováno jako a Dedekind řez racionálních: a neprázdná sada racionální, která je uzavřena směrem dolů a nemá největší prvek. Součet reálných čísel A a b je definován prvek po prvku:

• Definovat ${ displaystyle a + b = {q + r mid q v a, r v b }.}$^[62]

Tato definice byla poprvé zveřejněna v mírně upravené podobě autorem Richard Dedekind v roce 1872.^[63]Komutativita a asociativita skutečného sčítání jsou okamžité; definování skutečného čísla 0 jako množiny záporných racionálních hodnot je snadno viditelné jako aditivní identita. Pravděpodobně nejsložitější částí této konstrukce týkající se sčítání je definice aditivních inverzí.^[64]

Přidání π²/ 6 a E pomocí Cauchyových posloupností racionálů.

Naneštěstí řešení multiplikace Dedekindových řezů je časově náročný proces případ od případu podobný přidávání celých čísel se znaménkem.^[65] Dalším přístupem je metrické doplnění racionálních čísel. Skutečné číslo je v zásadě definováno jako limit a Cauchyova posloupnost racionálních, limA_n. Sčítání je definováno termín po termínu:

• Definovat ${ displaystyle lim _ {n} a_ {n} + lim _ {n} b_ {n} = lim _ {n} (a_ {n} + b_ {n}).}$^[66]

Tuto definici poprvé publikoval Georg Cantor, také v roce 1872, ačkoli jeho formalismus byl trochu odlišný.^[67]Je třeba dokázat, že tato operace je dobře definovaná, zabývající se ko-Cauchyovými sekvencemi. Jakmile je tento úkol hotový, všechny vlastnosti skutečného sčítání okamžitě vyplývají z vlastností racionálních čísel. Kromě toho mají ostatní aritmetické operace, včetně násobení, přímé analogické definice.^[68]

Složitá čísla

Sčítání dvou komplexních čísel lze provést geometricky vytvořením rovnoběžníku.

Složitá čísla se přidávají přidáním skutečné a imaginární části sčítání.^[69][70] To znamená:

${ displaystyle (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.}$

Pomocí vizualizace komplexních čísel v komplexní rovině má sčítání následující geometrickou interpretaci: součet dvou komplexních čísel A a B, interpretovaný jako body komplexní roviny, je bod X získané stavbou a rovnoběžník tři z nich jsou vrcholy Ó, A a B. Ekvivalentně X je bod takový, že trojúhelníky s vrcholy Ó, A, B, a X, B, A, jsou shodný.

Zobecnění

Existuje mnoho binárních operací, které lze považovat za zobecnění operace sčítání na reálných číslech. Pole abstraktní algebra je centrálně znepokojen takovými zobecněnými operacemi a také se objevují v teorie množin a teorie kategorií.

Abstraktní algebra

Vektory

v lineární algebra, a vektorový prostor je algebraická struktura, která umožňuje přidání libovolných dvou vektory a pro změnu velikosti vektorů. Známý vektorový prostor je množina všech uspořádaných párů reálných čísel; objednaný pár (A,b) je interpretován jako vektor od počátku v euklidovské rovině do bodu (A,b) v letadle. Součet dvou vektorů se získá sečtením jejich jednotlivých souřadnic:

${ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).}$

Tato operace sčítání je pro klasická mechanika, ve kterém jsou vektory interpretovány jako síly.

Matice

Přidání matice je definováno pro dvě matice stejných rozměrů. Součet dvou m × n (vyslovuje se „m n“) maticemi A a B, označeno A + B, je opět m × n matice vypočítaná přidáním odpovídajících prvků:^[71][72]

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {A} + mathbf {B} & = { begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & cdots & a_ {1n} a_ {21} & a_ {22} & cdots & a_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {m1} & a_ {m2} & cdots & a_ {mn} end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} & cdots & b_ {1n} b_ {21} & b_ {22} & cdots & b_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots b_ {m1} & b_ {m2} & cdots & b_ {mn} end {bmatrix}} & = { begin {bmatrix} a_ {11} + b_ {11} & a_ {12} + b_ {12} & cdots & a_ {1n} + b_ {1n} a_ {21} + b_ {21} & a_ {22} + b_ {22} & cdots & a_ {2n} + b_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {m1} + b_ {m1} & a_ {m2} + b_ {m2} & cdots & a_ {mn} + b_ {mn} end {bmatrix}} end {zarovnáno}}}$

Například:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 3 1 & 0 1 & 2 end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} 0 & 0 7 & 5 2 & 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 + 0 a 3 + 0 1 + 7 & 0 + 5 1 + 2 & 2 + 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 3 8 & 5 3 & 3 end {bmatrix}}}$

Modulární aritmetika

v modulární aritmetika, sada celých čísel modulo 12 má dvanáct prvků; zdědí operaci sčítání z celých čísel, která je pro teorie hudebních množin. Sada celých čísel modulo 2 má jen dva prvky; operace přidání, kterou zdědí, je známa v Logická logika jako „exkluzivní nebo "funkce. V geometrie, součet dvou úhlové míry je často považován za jejich součet jako reálná čísla modulo 2π. To se rovná operaci přidání na kruh, což zase zobecňuje operace sčítání na vícerozměrném Tori.

Obecná teorie

Obecná teorie abstraktní algebry umožňuje operaci „přidání“ libovolnou asociativní a komutativní provoz na setu. Základní algebraické struktury s takovou operací přidání patří komutativní monoidy a abelianské skupiny.

Teorie množin a teorie kategorií

Dalekosáhlé zobecnění sčítání přirozených čísel je sčítání řadové číslovky a základní čísla v teorii množin. Ty dávají dvě různé zobecnění sčítání přirozených čísel do transfinitní. Na rozdíl od většiny operací sčítání není přidání pořadových čísel komutativní. Přidání hlavních čísel je však komutativní operace úzce související s disjunktní unie úkon.

v teorie kategorií, disjunktní unie je považována za konkrétní případ koprodukt operace a obecné koprodukty jsou možná nejabstrahovanější ze všech zobecnění sčítání. Některé koprodukty, jako např přímý součet a klínový součet, jsou pojmenovány, aby vyvolaly jejich spojení s přidáním.

Související operace

Sčítání je spolu s odčítáním, násobením a dělením považováno za jednu ze základních operací a používá se v základní aritmetika.

Aritmetický

Odčítání lze považovat za jakýsi přídavek - to znamená přídavek aditivní inverzní. Odečítání je samo o sobě jakousi inverzní funkcí k sčítání X a odečítání X jsou inverzní funkce.

Vzhledem k sadě s operací přidání nelze vždy definovat odpovídající operaci odčítání na této sadě; sada přirozených čísel je jednoduchým příkladem. Na druhou stranu operace odčítání jednoznačně určuje operaci sčítání, operaci aditivní inverze a identitu aditiva; z tohoto důvodu lze skupinu aditiv popsat jako množinu uzavřenou odečtením.^[73]

Násobení lze považovat za opakované přidání. Pokud jediný termín X se objeví v součtu n krát, pak je součet produktem n a X. Li n není přirozené číslo, produkt může mít stále smysl; například násobení −1 výnosy aditivní inverzní čísla.

Kruhové posuvné pravidlo

V reálných a komplexních číslech lze sčítání a násobení zaměňovat pomocí exponenciální funkce:^[74]

${ displaystyle e ^ {a + b} = e ^ {a} e ^ {b}.}$

Tato identita umožňuje provádět množení konzultováním a stůl z logaritmy a výpočetní sčítání ručně; také umožňuje násobení na a posuvné pravidlo. Vzorec je stále dobrou aproximací prvního řádu v širokém kontextu Lež skupiny, kde se týká násobení prvků nekonečně malé skupiny s přidáním vektorů v přidruženém Lež algebra.^[75]

Existuje ještě více zobecnění násobení než sčítání.^[76] Obecně platí, že operace násobení vždy distribuovat nad sčítáním; tento požadavek je formalizován v definici a prsten. In some contexts, such as the integers, distributivity over addition and the existence of a multiplicative identity is enough to uniquely determine the multiplication operation. The distributive property also provides information about addition; by expanding the product (1 + 1)(A + b) in both ways, one concludes that addition is forced to be commutative. For this reason, ring addition is commutative in general.^[77]

Divize is an arithmetic operation remotely related to addition. Od té doby A/b = A(b⁻¹), division is right distributive over addition: (A + b) / C = A/C + b/C.^[78] However, division is not left distributive over addition; 1 / (2 + 2) není totéž jako 1/2 + 1/2.

Objednávání

Protokol log-log z X + 1 a max (X, 1) z X = 0.001 to 1000^[79]

The maximum operation "max (A, b)" is a binary operation similar to addition. In fact, if two nonnegative numbers A a b are of different řádově, then their sum is approximately equal to their maximum. This approximation is extremely useful in the applications of mathematics, for example in truncating Taylor série. However, it presents a perpetual difficulty in numerická analýza, essentially since "max" is not invertible. Li b is much greater than A, then a straightforward calculation of (A + b) − b can accumulate an unacceptable chyba zaokrouhlení, perhaps even returning zero. Viz také Ztráta významu.

The approximation becomes exact in a kind of infinite limit; pokud ano A nebo b je nekonečný základní číslovka, their cardinal sum is exactly equal to the greater of the two.^[80] Accordingly, there is no subtraction operation for infinite cardinals.^[81]

Maximization is commutative and associative, like addition. Furthermore, since addition preserves the ordering of real numbers, addition distributes over "max" in the same way that multiplication distributes over addition:

${displaystyle a+max(b,c)=max(a+b,a+c).}$

For these reasons, in tropická geometrie one replaces multiplication with addition and addition with maximization. In this context, addition is called "tropical multiplication", maximization is called "tropical addition", and the tropical "additive identity" is negativní nekonečno.^[82] Some authors prefer to replace addition with minimization; then the additive identity is positive infinity.^[83]

Tying these observations together, tropical addition is approximately related to regular addition through the logaritmus:

${displaystyle log(a+b)approx max(log a,log b),}$

which becomes more accurate as the base of the logarithm increases.^[84] The approximation can be made exact by extracting a constant h, named by analogy with Planckova konstanta z kvantová mechanika,^[85] and taking the "klasický limit " tak jako h tends to zero:

${displaystyle max(a,b)=lim _{h o 0}hlog(e^{a/h}+e^{b/h}).}$

In this sense, the maximum operation is a dequantized version of addition.^[86]

Other ways to add

Incrementation, also known as the následná operace, je přidání 1 na číslo.

Shrnutí describes the addition of arbitrarily many numbers, usually more than just two. It includes the idea of the sum of a single number, which is itself, and the prázdná částka, který je nula.^[87] An infinite summation is a delicate procedure known as a série.^[88]

Počítací a finite set is equivalent to summing 1 over the set.

Integrace is a kind of "summation" over a kontinuum, or more precisely and generally, over a diferencovatelné potrubí. Integration over a zero-dimensional manifold reduces to summation.

Lineární kombinace combine multiplication and summation; they are sums in which each term has a multiplier, usually a nemovitý nebo komplex číslo. Linear combinations are especially useful in contexts where straightforward addition would violate some normalization rule, such as míchání z strategií v herní teorie nebo superpozice z státy v kvantová mechanika.

Konvoluce is used to add two independent náhodné proměnné definován distribuční funkce. Its usual definition combines integration, subtraction, and multiplication. In general, convolution is useful as a kind of domain-side addition; by contrast, vector addition is a kind of range-side addition.

Viz také

• Mentální aritmetika
• Parallel addition (mathematics)
• Verbální aritmetika (also known as cryptarithms), puzzles involving addition

Poznámky

Poznámky pod čarou

Reference

Další čtení

• Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa (2003). The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Two perspectives on addition development. Routledge. p.75. ISBN  0-8058-3155-X.
• Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda (1999). Mathematics: Explorations & Applications (TE ed.). Prentice Hall. ISBN  978-0-13-435817-8.
• Bunt, Lucas N.H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The Historical roots of Elementary Mathematics. Prentice-Hall. ISBN  978-0-13-389015-0.
• Poonen, Bjorn (2010). "Přidání". Girls' Angle Bulletin. 3 (3–5). ISSN  2151-5743.
• Weaver, J. Fred (1982). Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. Taylor & Francis. p. 60. ISBN  0-89859-171-6.