Seznam konečných jednoduchých skupin - List of finite simple groups

v matematika, klasifikace konečných jednoduchých skupin uvádí, že každý konečný jednoduchá skupina je cyklický nebo střídavý nebo v jedné ze 16 rodin skupiny typu Lie nebo jeden z 26 sporadické skupiny.

Níže uvedený seznam poskytuje všechny konečné jednoduché skupiny spolu s jejich objednat, velikost Multiplikátor Schur, velikost vnější skupina automorfismu, obvykle nějaké malé reprezentace a seznamy všech duplikátů.

souhrn

V následující tabulce je kompletní seznam 18 rodin konečných jednoduchých skupin a 26 sporadických jednoduchých skupin spolu s jejich objednávkami. Jsou uvedeni všichni nejjednodušší členové každé rodiny, stejně jako všichni členové duplikovaní v rámci rodiny nebo mezi rodinami. (Při odstraňování duplikátů je užitečné si uvědomit, že žádné dvě konečné jednoduché skupiny nemají stejné pořadí, kromě toho, že skupina A₈ = A₃(2) a A₂(4) oba mají objednávku 20160, a to skupina B_n(q) má stejné pořadí jako C_n(q) pro q zvláštní, n > 2. Nejmenší z posledních dvojic skupin jsou B₃(3) a C₃(3) oba mají objednávku 4585351680.)

Existuje nešťastný konflikt mezi notacemi pro střídavé skupiny A_n a skupiny Lieova typu A_n(q). Někteří autoři používají pro A různá různá písma_n odlišit je. Zejména v tomto článku rozlišujeme nastavením střídavých skupin A_n latinkou a skupinami typu Lie A_n(q) kurzíva.

V tom, co následuje, n je kladné celé číslo a q je kladná síla prvočísla p, s uvedenými omezeními. Zápis (A,b) představuje největšího společného dělitele celých čísel A a b.

Třída	Rodina	Objednat	Vyloučení	Duplikáty
Cyklické skupiny	Zp	p	Žádný	Žádný
Střídavé skupiny	An n > 4	${ displaystyle { frac {n!} {2}}}$	Žádný	A5 ≃ A1(4) ≃ A1(5) A6 ≃ A1(9) A8 ≃ A3(2)
Klasický Skupiny Chevalley	An(q)	${ displaystyle { frac {q ^ {{ frac {1} {2}} n (n + 1)}} {(n + 1, q-1)}} prod _ {i = 1} ^ { n} left (q ^ {i + 1} -1 right)}$	A1(2), A1(3)	A1(4) ≃ A1(5) ≃ A5 A1(7) ≃ A2(2) A1(9) ≃ A6 A3(2) ≃ A8
	Bn(q) n > 1	${ displaystyle { frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} prod _ {i = 1} ^ {n} vlevo (q ^ {2i} -1 že jo)}$	B2(2)	Bn(2m) ≃ Cn(2m) B2(3) ≃ 2A3(22)
	Cn(q) n > 2	${ displaystyle { frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} prod _ {i = 1} ^ {n} vlevo (q ^ {2i} -1 že jo)}$	Žádný	Cn(2m) ≃ Bn(2m)
	Dn(q) n > 3	${ displaystyle { frac {q ^ {n (n-1)} (q ^ {n} -1)} {(4, q ^ {n} -1)}} prod _ {i = 1} ^ {n-1} left (q ^ {2i} -1 right)}$	Žádný	Žádný
Výjimečný Skupiny Chevalley	E6(q)	${ displaystyle { frac {q ^ {36}} {(3, q-1)}} prod _ {i v {2,5,6,8,9,12 }} vlevo (q ^ {i} -1 vpravo)}$	Žádný	Žádný
	E7(q)	${ displaystyle { frac {q ^ {63}} {(2, q-1)}} prod _ {i v {2,6,8,10,12,14,18 }} vlevo (q ^ {i} -1 vpravo)}$	Žádný	Žádný
	E8(q)	${ displaystyle q ^ {120} prod _ {i in {2,8,12,14,18,20,24,30 }} vlevo (q ^ {i} -1 vpravo)}$	Žádný	Žádný
	F4(q)	${ displaystyle q ^ {24} prod _ {i in {2,6,8,12 }} doleva (q ^ {i} -1 doprava)}$	Žádný	Žádný
	G2(q)	${ displaystyle q ^ {6} prod _ {i in {2,6 }} vlevo (q ^ {i} -1 vpravo)}$	G2(2)	Žádný
Klasický Steinbergovy skupiny	2An(q2) n > 1	${ displaystyle { frac {q ^ {{ frac {1} {2}} n (n + 1)}} {(n + 1, q + 1)}} prod _ {i = 1} ^ { n} left (q ^ {i + 1} - (- 1) ^ {i + 1} right)}$	2A2(22)	2A3(22) ≃ B2(3)
	2Dn(q2) n > 3	${ displaystyle { frac {q ^ {n (n-1)}} {(4, q ^ {n} +1)}} doleva (q ^ {n} +1 doprava) prod _ {i = 1} ^ {n-1} left (q ^ {2i} -1 right)}$	Žádný	Žádný
Výjimečný Steinbergovy skupiny	2E6(q2)	${ displaystyle { frac {q ^ {36}} {(3, q + 1)}} prod _ {i v {2,5,6,8,9,12 }} vlevo (q ^ {i} - (- 1) ^ {i} vpravo)}$	Žádný	Žádný
	3D4(q3)	${ displaystyle q ^ {12} left (q ^ {8} + q ^ {4} +1 right) left (q ^ {6} -1 right) left (q ^ {2} -1 že jo)}$	Žádný	Žádný
Suzuki skupiny	2B2(q) q = 22n+1 n ≥ 1	${ displaystyle q ^ {2} left (q ^ {2} +1 right) left (q-1 right)}$	Žádný	Žádný
Ree skupiny + Skupina prsa	2F4(q) q = 22n+1 n ≥ 1	${ displaystyle q ^ {12} left (q ^ {6} +1 right) left (q ^ {4} -1 right) left (q ^ {3} +1 right) left (q q-1 vpravo)}$	Žádný	Žádný
	2F4(2)′	212(26 + 1)(24 − 1)(23 + 1)(2 − 1)/2 = 17971200
	2G2(q) q = 32n+1 n ≥ 1	${ displaystyle q ^ {3} left (q ^ {3} +1 right) left (q-1 right)}$	Žádný	Žádný
Mathieu skupiny	M11	7920
	M12	95040
	M22	443520
	M23	10200960
	M24	244823040
Janko skupiny	J1	175560
	J2	604800
	J3	50232960
	J4	86775571046077562880
Skupiny Conway	Spol3	495766656000
	Spol2	42305421312000
	Spol1	4157776806543360000
Fischerovy skupiny	Fi22	64561751654400
	Fi23	4089470473293004800
	Fi24′	1255205709190661721292800
Skupina Higman – Sims	HS	44352000
McLaughlinova skupina	McL	898128000
Držená skupina	On	4030387200
Skupina Rudvalis	Ru	145926144000
Sporadická skupina Suzuki	Suz	448345497600
O'Nan skupina	NA	460815505920
Skupina Harada – Norton	HN	273030912000000
Lyonsova skupina	Ly	51765179004000000
Skupina Thompson	Čt	90745943887872000
Skupina Baby Monster	B	4154781481226426191177580544000000
Skupina příšer	M	808017424794512875886459904961710757005754368000000000

Cyklické skupiny, Z_p

Jednoduchost: Jednoduché pro p prvočíslo.

Objednat: p

Multiplikátor Schur: Triviální.

Skupina vnějšího automorfismu: Cyklická objednávka p − 1.

Ostatní jména: Z /pZ, C._p

Poznámky: Jedná se o jediné jednoduché skupiny, které nejsou perfektní.

Střídavé skupiny, A_n, n > 4

Jednoduchost: Řešení pro n <5, jinak jednoduché.

Objednat: n! / 2 kdy n > 1.

Multiplikátor Schur: 2 pro n = 5 nebo n > 7, 6 pro n = 6 nebo 7; vidět Krycí skupiny střídavých a symetrických skupin

Skupina vnějšího automorfismu: Obecně 2. Výjimky: pro n = 1, n = 2, je to triviální a pro n = 6, má řád 4 (základní abelian).

Ostatní jména: Alt_n.

Izomorfismy: A₁ a A.₂ jsou triviální. A₃ je cyklický řádu 3. A₄ je izomorfní s A₁(3) (řešitelný). A₅ je izomorfní s A₁(4) a do A₁(5). A₆ je izomorfní s A₁(9) a odvozené skupině B₂(2) ′. A₈ je izomorfní s A₃(2).

Poznámky: An index 2 podskupina symetrická skupina permutací z n body, když n > 1.

Skupiny typu Lie

Notace: n je kladné celé číslo, q > 1 je mocnina prvočísla p, a je pořadí některých podkladových konečné pole. Pořadí skupiny vnějšího automorfismu je psáno jako d⋅F⋅G, kde d je pořadí skupiny "diagonálních automorfismů", F je pořadí (cyklické) skupiny "polních automatorfismů" (generovaných a Frobenius automorfismus ), a G je pořadí skupiny "grafových automorfismů" (pocházející z automatických tvarů grafu) Dynkinův diagram ). Vnější skupina automorfismu je izomorfní s polopřímým produktem ${ displaystyle D rtimes (F krát G)}$ kde všechny tyto skupiny ${ displaystyle D, F, G}$ jsou cyklické z příslušných objednávek d, f, g, kromě typu ${ displaystyle D_ {n} (q)}$, ${ displaystyle q}$ liché, kde skupina objednávek ${ displaystyle d = 4}$ je ${ displaystyle C_ {2} krát C_ {2}}$, a (pouze když ${ displaystyle n = 4}$) ${ displaystyle G = S_ {3}}$, symetrická skupina na třech prvcích. Zápis (A,b) představuje největšího společného dělitele celých čísel A a b.

Skupiny Chevalley, A_n(q), B_n(q) n > 1, C_n(q) n > 2, D_n(q) n > 3

	Skupiny Chevalley, An(q) lineární skupiny	Skupiny Chevalley, Bn(q) n > 1 ortogonální skupiny	Skupiny Chevalley, Cn(q) n > 2 symplektické skupiny	Skupiny Chevalley, Dn(q) n > 3 ortogonální skupiny
Jednoduchost	A1(2) a A1(3) jsou řešitelné, ostatní jsou jednoduché.	B2(2) není jednoduchý, ale jeho odvozená skupina B2(2) ′ je jednoduchá podskupina indexu 2; ostatní jsou jednoduché.	Vše jednoduché	Vše jednoduché
Objednat	${ displaystyle { frac {q ^ {{ frac {1} {2}} n (n + 1)}} {(n + 1, q-1)}} prod _ {i = 1} ^ { n} vlevo (q ^ {i + 1} -1 vpravo)}$	${ displaystyle { frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} prod _ {i = 1} ^ {n} vlevo (q ^ {2i} -1 že jo)}$	${ displaystyle { frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} prod _ {i = 1} ^ {n} vlevo (q ^ {2i} -1 že jo)}$	${ displaystyle { frac {q ^ {n (n-1)} (q ^ {n} -1)} {(4, q ^ {n} -1)}} prod _ {i = 1} ^ {n-1} left (q ^ {2i} -1 right)}$
Multiplikátor Schur	Pro jednoduché skupiny je to cyklické pořadí (n+1,q-1) kromě A1(4) (objednávka 2), A1(9) (objednávka 6), A2(2) (objednávka 2), A2(4) (objednávka 48, součin cyklických skupin objednávek 3, 4, 4), A3(2) (objednávka 2).	(2,q-1) kromě B2(2) = S.6 (objednávka 2 pro B2(2), objednávka 6 pro B2(2) ′) a B3(2) (objednávka 2) a B3(3) (objednávka 6).	(2,q-1) kromě C3(2) (objednávka 2).	Objednávka je (4,qn-1) (cyklicky pro n lichý, elementární abelian pro n sudé) kromě D4(2) (řád 4, základní abelian).
Skupina vnějšího automorfismu	(2,q−1)⋅F⋅1 pro n = 1; (n+1,q−1)⋅F⋅2 pro n > 1, kde q = pF	(2,q−1)⋅F⋅1 pro q liché nebo n > 2; (2,q−1)⋅F⋅2 pro q dokonce a n = 2, kde q = pF	(2,q−1)⋅F⋅1, kde q = pF	(2,q−1)2⋅F⋅S3 pro n = 4, (2,q−1)2⋅FFor2 pro n > 4 sudé, (4,qn−1)⋅FFor2 pro n zvláštní, kde q = pFa S.3 je symetrická skupina řádu 3! na 3 body.
Ostatní jména	Projektivní speciální lineární skupiny, PSLn+1(q), Ln+1(q), PSL (n + 1,q)	Ó2n+1(q), Ω2n+1(q) (pro q zvláštní).	Projektivní symplektická skupina, PSp2n(q), PSpn(q) (nedoporučeno), S2n(q), Abelian skupina (archaický).	Ó2n+(q), PΩ2n+(q). "Hypoabelian skupina „je archaický název pro tuto skupinu v charakteristice 2.
Izomorfismy	A1(2) je izomorfní se symetrickou skupinou ve 3 bodech řádu 6. A1(3) je izomorfní se střídavou skupinou A4 (řešitelný). A1(4) a A1(5) jsou oba izomorfní se střídavou skupinou A5. A1(7) a A2(2) jsou izomorfní. A1(8) je izomorfní s odvozenou skupinou 2G2(3)′. A1(9) je izomorfní s A6 a odvozené skupině B2(2)′. A3(2) je izomorfní s A8.	Bn(2m) je izomorfní s Cn(2m). B2(2) je izomorfní se symetrickou skupinou v 6 bodech a odvozenou skupinou B2(2) ′ je izomorfní s A1(9) a do bodu A.6. B2(3) je izomorfní s 2A3(22).	Cn(2m) je izomorfní s Bn(2m)
Poznámky	Tyto skupiny jsou získány z obecné lineární skupiny GLn+1(q) tím, že vezme prvky determinantu 1 (dává speciální lineární skupiny SLn+1(q)) a pak kvocientování do centra.	Toto je skupina získaná z ortogonální skupina v dimenzi 2n + 1 převzetím jádra determinantu a spinorova norma mapy. B1(q) také existuje, ale je stejný jako A1(q). B2(q) má netriviální automatizaci grafů, když q je síla 2.	Tato skupina je získána z symplektická skupina ve 2n rozměry o kvocientování střed. C1(q) také existuje, ale je stejný jako A1(q). C2(q) také existuje, ale je stejný jako B2(q).	Toto je skupina získaná z rozdělit ortogonální skupinu v dimenzi 2n převzetím jádra determinantu (nebo Dicksonův invariant v charakteristice 2) a spinorova norma mapy a poté zabít střed. Skupiny typu D4 mít neobvykle velkou skupinu automorfismu diagramu řádu 6, obsahující soudnost automorfismus. D2(q) také existuje, ale je stejný jako A1(q)×A1(q). D3(q) také existuje, ale je stejný jako A3(q).

Skupiny Chevalley, E₆(q), E₇(q), E₈(q), F₄(q), G₂(q)

Steinbergovy skupiny, ²A_n(q²) n > 1, ²D_n(q²) n > 3, ²E₆(q²), ³D₄(q³)

	Steinbergovy skupiny, 2An(q2) n > 1 unitární skupiny	Steinbergovy skupiny, 2Dn(q2) n > 3 ortogonální skupiny	Steinbergovy skupiny, 2E6(q2)	Steinbergovy skupiny, 3D4(q3)
Jednoduchost	2A2(22) je řešitelný, ostatní jsou jednoduché.	Vše jednoduché	Vše jednoduché	Vše jednoduché
Objednat	${ displaystyle {1 over (n + 1, q + 1)} q ^ {{ frac {1} {2}} n (n + 1)} prod _ {i = 1} ^ {n} vlevo (q ^ {i + 1} - (- 1) ^ {i + 1} vpravo)}$	${ displaystyle {1 over (4, q ^ {n} +1)} q ^ {n (n-1)} (q ^ {n} +1) prod _ {i = 1} ^ {n- 1} vlevo (q ^ {2i} -1 vpravo)}$	q36(q12−1)(q9+1)(q8−1)(q6−1)(q5+1)(q2−1)/(3,q+1)	q12(q8+q4+1)(q6−1)(q2−1)
Multiplikátor Schur	Cyklická objednávka (n+1,q+1) pro jednoduché skupiny, s výjimkou 2A3(22) (objednávka 2), 2A3(32) (objednávka 36, ​​produkt cyklických skupin objednávek 3,3,4), 2A5(22) (objednávka 12, součin cyklických skupin objednávek 2,2,3)	Cyklická objednávka (4,qn+1)	(3,q+1) kromě 2E6(22) (objednávka 12, součin cyklických skupin objednávek 2,2,3).	Triviální
Skupina vnějšího automorfismu	(n+1,q+1)⋅F⋅1, kde q2 = pF	(4,qn+1)⋅F⋅1, kde q2 = pF	(3,q+1)⋅F⋅1, kde q2 = pF	1⋅F⋅1, kde q3 = pF
Ostatní jména	Twisted Chevalley group, projective special unitary group, PSUn+1(q), PSU (n + 1, q), Un+1(q), 2An(q), 2An(q, q2)	2Dn(q), O.2n−(q), PΩ2n−(q), zkroucená skupina Chevalley. „Hypoabelian group“ je archaický název pro tuto skupinu v charakteristice 2.	2E6(q), zkroucená skupina Chevalley	3D4(q), D42(q3), Skupiny Twisted Chevalley
Izomorfismy	Řešitelná skupina 2A2(22) je izomorfní s rozšířením kvaternionové skupiny řádu 8 o základní abelianskou skupinu řádu 9. 2A2(32) je izomorfní s odvozenou skupinou G2(2)′. 2A3(22) je izomorfní s B2(3).
Poznámky	To se získá z jednotná skupina v n + 1 dimenze převzetím podskupiny prvků determinantu 1 a poté kvocient ven z centra.	Toto je skupina získaná z nerozdělené ortogonální skupiny v dimenzi 2n převzetím jádra determinantu (nebo Dicksonův invariant v charakteristice 2) a spinorova norma mapy a poté zabít střed. 2D2(q2) také existuje, ale je stejný jako A1(q2). 2D3(q2) také existuje, ale je stejný jako 2A3(q2).	Jeden z výjimečných dvojitých obalů 2E6(22) je podskupina skupiny dětských příšer a výjimečné centrální rozšíření o základní abelianskou skupinu řádu 4 je podskupinou skupiny příšer.	3D4(23) působí na jedinečnou sudou 26rozměrnou mřížku determinantu 3 bez kořenů.

Suzuki skupiny, ²B₂(2²ⁿ⁺¹)

Jednoduchost: Jednoduché pro n ≥ 1. Skupina²B₂(2) je řešitelný.

Objednat:q²(q² + 1)(q - 1), kdeq = 2²ⁿ⁺¹.

Multiplikátor Schur: Triviální pro n ≠ 1, základní abelian řádu 4 pro ²B₂(8).

Skupina vnějšího automorfismu:

1⋅F⋅1,

kde F = 2n + 1.

Ostatní jména: Suz (2²ⁿ⁺¹), Sz (2²ⁿ⁺¹).

Izomorfismy: ²B₂(2) je skupina Frobenius řádu 20.

Poznámky: Suzuki skupina jsou Skupiny Zassenhaus působící na soubory velikosti (2²ⁿ⁺¹)² + 1 a mají 4-dimenzionální reprezentace nad polem s 2²ⁿ⁺¹ elementy. Jsou to jediné necyklické jednoduché skupiny, jejichž pořadí není dělitelné 3. Nesouvisí se sporadickou Suzukiho skupinou.

Ree skupiny a Skupina prsa, ²F₄(2²ⁿ⁺¹)

Jednoduchost: Jednoduché pro n ≥ 1. Odvozená skupina ²F₄(2) ′ je jednoduchý index 2in ²F₄(2) a nazývá se Skupina prsa, pojmenovaný pro belgického matematika Jacques prsa.

Objednat:q¹²(q⁶ + 1)(q⁴ − 1)(q³ + 1)(q - 1), kdeq = 2²ⁿ⁺¹.

Skupina Tits má objednávku 17971200 = 2¹¹ ⋅ 3³ ⋅ 5² ⋅ 13.

Multiplikátor Schur: Triviální pro n ≥ 1 a pro skupinu Tits.

Skupina vnějšího automorfismu:

1⋅F⋅1,

kde F = 2n + 1. Objednávka 2 pro skupinu Tits.

Poznámky: Na rozdíl od ostatních jednoduchých skupin typu Lie nemá skupina Prsa a BN pár, ačkoli jeho skupina automorfismu tak činí, většina autorů ji považuje za jakousi čestnou skupinu Lieova typu.

Ree skupiny, ²G₂(3²ⁿ⁺¹)

Jednoduchost: Jednoduché pro n ≥ 1. Skupina ²G₂(3) není jednoduchý, ale jeho odvozená skupina ²G₂(3) ′ je jednoduchá podskupina indexu 3.

Objednat:q³(q³ + 1)(q - 1), kdeq = 3²ⁿ⁺¹

Multiplikátor Schur: Triviální pro n ≥ 1 a pro ²G₂(3)′.

Skupina vnějšího automorfismu:

1⋅F⋅1,

kde F = 2n + 1.

Ostatní jména: Ree (3. díl)²ⁿ⁺¹), R (3²ⁿ⁺¹), E.₂^∗(3²ⁿ⁺¹) .

Izomorfismy: Odvozená skupina ²G₂(3) ′ je izomorfní s A₁(8).

Poznámky: ²G₂(3²ⁿ⁺¹) má dvojnásobně tranzitivní permutační zastoupení dne 3.^3(2n+1) + 1 bodů a působí na 7-dimenzionální vektorový prostor nad polem s 3²ⁿ⁺¹ elementy.

Sporadické skupiny

Mathieu skupiny, M.₁₁, M.₁₂, M.₂₂, M.₂₃, M.₂₄

Janko skupiny, J.₁, J.₂, J.₃, J.₄

Skupiny Conway Co₁Co₂Co₃

Fischerovy skupiny, Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄′

Skupina Higman – Sims, HS

Objednat: 2⁹ ⋅ 3² ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

Multiplikátor Schur: Objednávka 2.

Skupina vnějšího automorfismu: Objednávka 2.

Poznámky: Působí jako permutační skupina 3. úrovně v grafu Higman Sims se 100 body a je obsažena v Co₂ a v Co₃.

McLaughlinova skupina, McL

Objednat: 2⁷ ⋅ 3⁶ ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

Multiplikátor Schur: Objednávka 3.

Skupina vnějšího automorfismu: Objednávka 2.

Poznámky: Působí jako permutační skupina 3. úrovně v McLaughlinově grafu s 275 body a je obsažena v Co₂ a v Co₃.

Držená skupina, On

Objednat:2¹⁰ ⋅ 3³ ⋅ 5² ⋅ 7³ ⋅ 17 = 4030387200

Multiplikátor Schur: Triviální.

Skupina vnějšího automorfismu: Objednávka 2.

Ostatní jména: Held – Higman – McKay group, HHM, F₇, HTH

Poznámky: Centralizuje prvek pořadí 7 ve skupině příšer.

Skupina Rudvalis, Ru

Objednat:2¹⁴ ⋅ 3³ ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

Multiplikátor Schur: Objednávka 2.

Skupina vnějšího automorfismu: Triviální.

Poznámky: Dvojitý kryt působí na 28rozměrnou mřížku nad Gaussova celá čísla.

Sporadická skupina Suzuki Suz

Objednat: 2¹³ ⋅ 3⁷ ⋅ 5² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

Multiplikátor Schur: Objednávka 6.

Skupina vnějšího automorfismu: Objednávka 2.

Ostatní jména: Sz

Poznámky: Šestinásobný kryt působí na 12rozměrnou mřížku nad Eisensteinova celá čísla. Nesouvisí to se skupinami Suzuki typu Lie.

O'Nan skupina O'N

Objednat:2⁹ ⋅ 3⁴ ⋅ 5 ⋅ 7³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

Multiplikátor Schur: Objednávka 3.

Skupina vnějšího automorfismu: Objednávka 2.

Ostatní jména: Skupina O'Nan – Sims, O'NS, O – S

Poznámky:Trojitý kryt má dvě 45-dimenzionální reprezentace nad polem se 7 prvky, vyměněnými vnějším automorfismem.

Skupina Harada – Norton, HN

Objednat:2¹⁴ ⋅ 3⁶ ⋅ 5⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

Multiplikátor Schur: Triviální.

Skupina vnějšího automorfismu: Objednávka 2.

Ostatní jména: F₅, D

Poznámky: Centralizuje prvek řádu 5 ve skupině příšer.

Lyonsova skupina Ly

Objednat:2⁸ ⋅ 3⁷ ⋅ 5⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

Multiplikátor Schur: Triviální.

Skupina vnějšího automorfismu: Triviální.

Ostatní jména: Skupina Lyons – Sims, LyS

Poznámky: Má 111-rozměrné znázornění nad polem s 5 prvky.

Skupina Thompson Th

Objednat: 2¹⁵ ⋅ 3¹⁰ ⋅ 5³ ⋅ 7² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

Multiplikátor Schur: Triviální.

Skupina vnějšího automorfismu: Triviální.

Ostatní jména: F₃, E

Poznámky: Centralizuje prvek řádu 3 v monstrum a je obsažen v E₈(3), takže má 248-rozměrné znázornění nad polem se 3 prvky.

Skupina Baby Monster, B

Objednat:

   2⁴¹ ⋅ 3¹³ ⋅ 5⁶ ⋅ 7² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

Multiplikátor Schur: Objednávka 2.

Skupina vnějšího automorfismu: Triviální.

Ostatní jména: F₂

Poznámky: Dvojitý obal je obsažen ve skupině příšer. Má reprezentaci dimenze 4371 nad komplexními čísly (bez netriviálního invariantního produktu) a reprezentaci dimenze 4370 nad polem se 2 prvky zachovávajícími komutativní, ale neasociativní produkt.

Fischer-Griess Skupina příšer, M.

Objednat:

   2⁴⁶ ⋅ 3²⁰ ⋅ 5⁹ ⋅ 7⁶ ⋅ 11² ⋅ 13³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

Multiplikátor Schur: Triviální.

Skupina vnějšího automorfismu: Triviální.

Ostatní jména: F₁, M.₁, Skupina příšer, Přátelský obr, Fischerovo monstrum.

Poznámky: Obsahuje všechny podružné skupiny kromě 6 dalších sporadických skupin. Souvisí s monstrózní měsíční svit. Monstrum je automorfní skupina 196 883-dimenzionální Griessova algebra a nekonečně dimenzionální monstrum operátor vrcholu algebra a působí přirozeně na monstrum Lie algebra.

Necyklické jednoduché skupiny malého řádu

(Dokončeno pro objednávky menší než 100 000)

Hall (1972) uvádí 56 necyklických jednoduchých skupin řádu méně než milion.

Viz také

• Seznam malých skupin

Poznámky

Reference

Další čtení

• Jednoduché skupiny typu lži podle Roger W. Carter, ISBN  0-471-50683-4
• Conway, J. H;; Curtis, R. T .; Norton, S. P.; Parker, R. A .; a Wilson, R. A.: "Atlas konečných skupin: maximální podskupiny a běžné znaky pro jednoduché skupiny.„Oxford, Anglie 1985.
• Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon Klasifikace konečných jednoduchých skupin (hlasitost 1), AMS, 1994 (svazek 3), AMS, 1998
• Hall, Marshall Jr. (1972), „Jednoduché skupiny s objednávkou menší než jeden milion“, Journal of Algebra, 20: 98–102, doi:10.1016/0021-8693(72)90090-7, ISSN  0021-8693, PAN  0285603
• Wilson, Robert A. (2009), Konečné jednoduché skupiny, Postgraduální texty z matematiky 251, 251, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012
• Atlas zastoupení konečných skupin: obsahuje reprezentace a další data pro mnoho konečných jednoduchých skupin, včetně sporadických skupin.
• Objednávky neabelovských jednoduchých skupin nad 10¹⁰a dále do 10⁴⁸ s omezením hodnosti.

externí odkazy

• Objednávky neabelovských jednoduchých skupin až do výše 10 000 000 000.