Skupina typu Lie - Group of Lie type

Nesmí být zaměňována s Lež skupina.
Algebraická struktura → Skupinová teorie
Skupinová teorie
Cyklická skupina.svg
Konečné skupiny
Klasifikace konečných jednoduchých skupin

v matematika, konkrétně v teorie skupin, fráze skupina typu Lie obvykle se odkazuje na konečné skupiny které úzce souvisí se skupinou racionální body a redukční lineární algebraická skupina s hodnotami v a konečné pole. Fráze skupina typu Lie nemá široce přijímanou přesnou definici,[1] ale důležitá sbírka konečných jednoduchý skupiny typu Lie mají přesnou definici a tvoří většinu skupin v klasifikace konečných jednoduchých skupin.

Název „skupiny typu Lie“ je způsoben blízkým vztahem s (nekonečným) Lež skupiny, protože a kompaktní Lieova skupina lze považovat za racionální body reduktivní lineární algebraické skupiny nad polem reálná čísla. Dieudonné (1971) a Carter (1989) jsou standardní reference pro skupiny typu Lie.

Klasické skupiny

Hlavní článek: Klasická skupina

Prvotním přístupem k této otázce byla definice a podrobné studium tzv klasické skupiny přes konečné a jiné pole podle Jordan (1870). Tyto skupiny studoval L. E. Dickson a Jean Dieudonné. Emil Artin vyšetřoval objednávky těchto skupin s cílem klasifikovat případy shody okolností.

Klasická skupina je zhruba řečeno a speciální lineární, ortogonální, symplektický nebo jednotná skupina. Existuje několik menších variací těchto, daných užíváním odvozené podskupiny nebo centrální kvocienty, druhý poddajný projektivní lineární skupiny. Mohou být konstruovány na konečných polích (nebo na jakémkoli jiném poli) podobně, jako jsou konstruována na reálných číslech. Odpovídají řadě A.n, Bn, C.n, Dn,2An, 2Dn skupin Chevalley a Steinberg.

Skupiny Chevalley

Skupiny Chevalley lze považovat za Lieovy skupiny nad konečnými poli. Teorie byla objasněna teorií algebraické skupiny a práce Chevalley  (1955 ) na Lieových algebrech, pomocí nichž Skupina Chevalley koncept byl izolován. Chevalley zkonstruoval a Chevalleyův základ (jakýsi integrální tvar, ale přes konečná pole) pro celý komplex jednoduché Lie algebry (nebo spíše jejich univerzální obklopující algebry ), kterou lze použít k definování odpovídajících algebraických skupin přes celá čísla. Zejména mohl brát jejich body s hodnotami v jakémkoli konečném poli. Pro Lieovy algebry An, Bn, C.n, Dn toto dalo dobře známé klasické skupiny, ale jeho konstrukce také dala skupiny spojené s výjimečnými Lie algebrami E.6, E.7, E.8, F4a G.2. Ty typu G2 (někdy nazývané Dicksonovy skupiny) již byla postavena uživatelem Dickson (1905) a ty typu E.6 podle Dickson (1901).

Steinbergovy skupiny

Hlavní článek: ³D₄
Hlavní článek: ²E₆

Chevalleyova konstrukce nedala všechny známé klasické skupiny: vynechala unitární skupiny a ne-rozdělit ortogonální skupiny. Steinberg (1959) našel modifikaci konstrukce Chevalley, která dala těmto skupinám a dvěma novým rodinám 3D4, 2E6, z nichž druhá byla objevena přibližně ve stejnou dobu z jiného úhlu pohledu Prsa (1958). Tato konstrukce zobecňuje obvyklou konstrukci unitární skupiny z obecné lineární skupiny.

Unitární skupina vzniká následovně: obecná lineární skupina nad komplexní čísla má diagram automorfismu dáno obrácením Dynkinův diagram An (což odpovídá převzetí inverzní funkce transpozice) a a polní automorfismus dáno tím, že komplexní konjugace, které dojíždějí. Unitární skupina je skupina pevných bodů součinu těchto dvou automorfismů.

Stejným způsobem má mnoho skupin Chevalley diagramové automorfismy vyvolané automatizmy jejich Dynkinových diagramů a polní automorfismy indukované automorfismy konečného pole. Analogicky k jednotnému případu Steinberg zkonstruoval rodiny skupin tím, že vzal pevné body produktu diagramu a polního automorfismu.

Tito dali:

  • the unitární skupiny 2An, z řádu 2 automorfismus An;
  • dále ortogonální skupiny 2Dn, z řádu 2 automorfismus Dn;
  • nová série 2E6, z řádu 2 automorfismus E6;
  • nová série 3D4, z řádu 3 automorfismus D4.

Skupiny typu 3D4 nemají analogii nad reálemi, protože komplexní čísla nemají žádný automatorfismus řádu 3.[je zapotřebí objasnění ] Symetrie D4 diagram také vede k soudnost.

Skupiny Suzuki – Ree

Hlavní články: Suzuki skupiny a Ree skupina

Suzuki  (1960 ) našel novou nekonečnou řadu skupin, které se na první pohled zdály nesouvisející se známými algebraickými skupinami. Ree  (1960, 1961 ) věděl, že algebraická skupina B2 měl "extra" automorfismus v charakteristice 2, jehož čtverec byl Frobenius automorfismus. Zjistil, že pokud konečné pole charakteristiky 2 má také automorfismus, jehož čtvercem byla Frobeniova mapa, pak analog Steinbergovy konstrukce dal Suzukiho skupiny. Pole s takovým automorfismem jsou pole řádu 22n+1a odpovídajícími skupinami jsou skupiny Suzuki

2B2(22n+1) = Suz (22n+1).

(Přísně vzato, skupina Suz (2) se nepočítá jako skupina Suzuki, protože to není jednoduché: je to Skupina Frobenius řádu 20.) Ree se podařilo najít dvě nové podobné rodiny

2F4(22n+1)

a

2G2(32n+1)

jednoduchých skupin s využitím skutečnosti, že F4 a G.2 mají další automorfismy v charakteristice 2 a 3. (Zhruba řečeno v charakteristice p jeden smí ignorovat šipku na vazbách multiplicity p v Dynkinově diagramu, když vezmeme diagramové automorfismy.) Nejmenší skupina 2F4(2) typu 2F4 není jednoduchý, ale má jednoduchou podskupinu index 2, nazvaný Skupina prsa (pojmenoval podle matematika Jacques prsa ). Nejmenší skupina 2G2(3) typu 2G2 není jednoduchý, ale má jednoduchou normální podskupinu indexu 3, izomorfní s A1(8). V klasifikace konečných jednoduchých skupin, skupiny Ree

2G2(32n+1)

jsou ti, jejichž strukturu je nejobtížnější přesně určit. Tyto skupiny také hrály roli při objevu první moderní sporadické skupiny. Mají involuční centralizátory formy Z/2Z × PSL (2, q) pro q = 3na vyšetřováním skupin pomocí centralizátoru involuce podobné formy Z/2Z × PSL (2, 5) Janko našel sporadickou skupinuJ1.

Skupiny Suzuki jsou jediné konečné neabelovské jednoduché skupiny, jejichž pořadí není dělitelné 3. Mají pořadí 22(2n+1)(22(2n+1) + 1)(2(2n+1) − 1).

Vztahy s konečnými jednoduchými skupinami

Konečné skupiny Lieova typu byly mezi prvními skupinami, o nichž se uvažovalo v matematice cyklický, symetrický a střídavý skupiny, s projektivní speciální lineární skupiny nad prime konečnými poli, PSL (2, p) staví Évariste Galois ve 30. letech 20. století. Systematické zkoumání konečných skupin typu Lie začalo Camille Jordan je věta, že projektivní speciální lineární skupina PSL (2, q) je jednoduché pro q ≠ 2, 3. Tato věta se zobecňuje na projektivní skupiny vyšších dimenzí a poskytuje důležitou nekonečnou rodinu PSL (n, q) z konečné jednoduché skupiny. Další klasické skupiny studoval Leonard Dickson na počátku 20. století. V padesátých letech Claude Chevalley si uvědomil, že po vhodné formulaci, mnoho vět o napůl jednoduché Lie skupiny připustit analoga pro algebraické skupiny nad libovolným polem k, což vede k výstavbě toho, co se nyní nazývá Skupiny Chevalley. Stejně jako v případě kompaktních jednoduchých Lieových skupin se ukázalo, že odpovídající skupiny jsou téměř jednoduché jako abstraktní skupiny (Věta o jednoduchosti). Ačkoli od 19. století bylo známo, že existují i ​​jiné konečné jednoduché skupiny (například Mathieu skupiny ), postupně se formovala víra, že téměř všechny konečné jednoduché skupiny lze vysvětlit vhodným rozšířením Chevalleyovy konstrukce společně s cyklickými a střídavými skupinami. Kromě toho, výjimky, sporadické skupiny, sdílet mnoho vlastností s konečnými skupinami Lieova typu, a zejména je možné je konstruovat a charakterizovat na základě jejich geometrie ve smyslu Prsa.

Víra se nyní stala teorémem - klasifikace konečných jednoduchých skupin. Prohlídka seznamu konečných jednoduchých skupin ukazuje, že skupiny typu Lie nad a konečné pole zahrnout všechny konečné jednoduché skupiny jiné než cyklické skupiny, střídavé skupiny, Skupina prsa a 26 sporadické jednoduché skupiny.

Malé skupiny Lieova typu

Obecně je konečná skupina spojená s endomorfismem jednoduše spojené jednoduché algebraické skupiny univerzálním centrálním rozšířením jednoduché skupiny, takže je perfektní a má triviální Multiplikátor Schur. Některé z nejmenších skupin ve výše uvedených rodinách však buď nejsou dokonalé, nebo mají Schurův multiplikátor větší, než „se očekávalo“.

Mezi případy, kdy skupina není dokonalá, patří

  • A1(2) = SL (2, 2) Řešitelné řádu 6 (symetrická skupina ve 3 bodech)
  • A1(3) = SL (2, 3) Řešitelné pro objednávku 24 (dvojité krytí střídavé skupiny na 4 bodech)
  • 2A2(4) Řešení
  • B2(2) Není dokonalý, ale je izomorfní vůči symetrické skupině v 6 bodech, takže jeho odvozená podskupina má index 2 a je jednoduchá pro pořadí 360.
  • 2B2(2) = Suz (2) Řešitelné řádu 20 (skupina Frobenius)
  • 2F4(2) Není to dokonalé, ale odvozená skupina má index 2 a je jednoduchá Skupina prsa.
  • G2(2) Není to dokonalé, ale odvozená skupina má index 2 a je jednoduchá řádu 6048.
  • 2G2(3) Není to dokonalé, ale odvozená skupina má index 3 a je to jednoduchá skupina řádu 504.

Některé případy, kdy je skupina dokonalá, ale má Schurův multiplikátor, který je větší, než se očekávalo, zahrnují:

  • A1(4) Schurův multiplikátor má navíc Z/2Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 2 místo 1.
  • A1(9) Schurův multiplikátor má navíc Z/3Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 6 místo 2.
  • A2(2) Schurův multiplikátor má navíc Z/2Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 2 místo 1.
  • A2(4) Schurův multiplikátor má navíc Z/4Z × Z/4Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 48 místo 3.
  • A3(2) Schurův multiplikátor má navíc Z/2Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 2 místo 1.
  • B3(2) = C.3(2) Schurův multiplikátor má navíc Z/2Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 2 místo 1.
  • B3(3) Schurův multiplikátor má navíc Z/3Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 6 místo 2.
  • D4(2) Schurův multiplikátor má navíc Z/2Z × Z/2Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 4 místo 1.
  • F4(2) Schurův multiplikátor má navíc Z/2Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 2 místo 1.
  • G2(3) Schurův multiplikátor má navíc Z/3Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 3 místo 1.
  • G2(4) Schurův multiplikátor má navíc Z/2Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 2 místo 1.
  • 2A3(4) Schurův multiplikátor má navíc Z/2Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 2 místo 1.
  • 2A3(9) Schurův multiplikátor má navíc Z/3Z × Z/3Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 36 místo 4.
  • 2A5(4) Schurův multiplikátor má navíc Z/2Z × Z/2Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 12 místo 3.
  • 2E6(4) Schurův multiplikátor má navíc Z/2Z × Z/2Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 12 místo 3.
  • 2B2(8) Schurův multiplikátor má navíc Z/2Z × Z/2Z, takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má pořadí 4 místo 1.

Mezi různými malými skupinami Lieova typu (a střídavými skupinami) existuje ohromující počet „náhodných“ izomorfismů. Například skupiny SL (2, 4), PSL (2, 5) a střídavá skupina v 5 bodech jsou všechny izomorfní.

Úplný seznam těchto výjimek naleznete v seznam konečných jednoduchých skupin. Mnoho z těchto speciálních vlastností souvisí s určitými sporadickými jednoduchými skupinami.

Střídavé skupiny se někdy chovají, jako by to byly skupiny typu Lie nad pole s jedním prvkem. Některé malé střídavé skupiny mají také výjimečné vlastnosti. Střídavé skupiny mají obvykle vnější skupina automorfismu řádu 2, ale střídavá skupina na 6 bodech má skupina vnějšího automorfismu řádu 4. Střídavé skupiny mají obvykle Schurův multiplikátor řádu 2, ale ty na 6 nebo 7 bodech mají a Schurův multiplikátor objednávky 6.

Problémy se zápisem

Neexistuje standardní notace pro konečné skupiny typu Lie a literatura obsahuje desítky nekompatibilních a matoucích systémů notace pro ně.

  • Jednoduchá skupina PSL (n, q) není obvykle stejný jako skupina PSL (n, Fq) z Fq-hodnotové body algebraické skupiny PSL (n). Problém je v tom, že surjektivní mapa algebraických skupin, jako je SL (n) → PSL (n) nemusí nutně vyvolat surjektivní mapu odpovídajících skupin s hodnotami v nějakém (nealgebraicky uzavřeném) poli. Existují podobné problémy s body jiných algebraických skupin s hodnotami v konečných polích.
  • Skupiny typu A.n−1 jsou někdy označeny PSL (n, q) (projektivní speciální lineární skupina) nebo L(n, q).
  • Skupiny typu C.n jsou někdy označeny Sp (2n, q) (symplektická skupina) nebo (matoucí) Sp (n, q).
  • Zápis pro skupiny typu D.n („ortogonální“ skupiny) je obzvláště matoucí. Některé použité symboly jsou O (n, q), Ó−(n, q), PSO (n, q), Ωn(q), ale existuje tolik konvencí, že není možné přesně říci, kterým skupinám tyto skupiny odpovídají, aniž by to bylo výslovně specifikováno. Zdrojem problému je, že jednoduchá skupina není ortogonální skupina O, ani projektivní speciální ortogonální skupina PSO, ale spíše podskupina PSO,[2] který tedy nemá klasickou notaci. Obzvláště ošklivá past je, že někteří autoři, například ATLAS, použijte O (n, q) pro skupinu, která je ne ortogonální skupina, ale odpovídající jednoduchá skupina. Zápis Ω, PΩ zavedl Jean Dieudonné, ačkoli jeho definice není jednoduchá n ≤ 4 a tedy stejný zápis může být použit pro mírně odlišnou skupinu, která souhlasí n ≥ 5, ale ne ve spodní dimenzi.[2]
  • Někteří autoři píší pro skupiny Steinberg 2An(q2) (a tak dále) pro skupinu, kterou označují ostatní autoři 2An(q). Problém je v tom, že se jedná o dvě pole, jedno o pořadí q2a jeho pevné pole objednávky qa lidé mají různé nápady, na které by měl být zápis zahrnut. „2An(q2) „konvence je logičtější a konzistentnější, ale2An(q) „konvence je mnohem častější a blíže se konvenci pro algebraické skupiny.
  • Autoři se liší v tom, zda skupiny jako An(q) jsou skupiny bodů s hodnotami v jednoduché nebo jednoduše spojené algebraické skupině. Například An(q) může znamenat buď speciální lineární skupinu SL (n+1, q) nebo projektivní speciální lineární skupina PSL (n+1, q). Tak 2A2(4) může být kterákoli ze 4 různých skupin, v závislosti na autorovi.

Viz také

Poznámky

  1. ^ mathoverflow - Definice „konečné skupiny Lieova typu“?
  2. ^ A b ATLAS, str. xi

Reference