Zásobník (matematika) - Stack (mathematics)
v matematika A zásobník nebo 2-svazek je zhruba řečeno a snop který přijímá hodnoty spíše v kategoriích než v sadách. Stohy se používají k formalizaci některých hlavních konstrukcí teorie sestupu, a vytvořit sestavy jemných modulů, když jemné moduly neexistuje.
Descentní teorie se zabývá zevšeobecněním situací, kdy izomorfní, kompatibilní geometrické objekty (např vektorové svazky na topologické prostory ) lze „slepit“ v rámci omezení topologické základny. V obecnějším nastavení jsou omezení nahrazena odvolání; vláknité kategorie pak vytvořte dobrý rámec pro diskusi o možnosti takového lepení. Intuitivní význam stohu spočívá v tom, že se jedná o vláknitou kategorii, takže „fungují všechna možná lepení“. Specifikace lepení vyžaduje definici krytin, s ohledem na které lze lepení zohlednit. Ukazuje se, že obecným jazykem pro popis těchto krytin je jazyk a Grothendieckova topologie. Zásobník je tedy formálně dán jako kategorie vláken nad jinou základna kategorie, kde základna má topologii Grothendieck a kde kategorie fibred splňuje několik axiomů, které zajišťují existenci a jedinečnost určitých lepení s ohledem na topologii Grothendieck.
Přehled
Zásobníky jsou základní strukturou algebraických zásobníků (také nazývaných zásobníky Artin) a zásobníků Deligne – Mumford, které zobecňují schémata a algebraické prostory a které jsou zvláště užitečné při studiu modulové prostory. Existují inkluze: schémata ⊆ algebraické prostory ⊆ Deligne – Mumfordovy komíny ⊆ algebraické komíny (Artinovy komíny) ⊆ komíny.
Edidin (2003) a Fantechi (2001) stručně uveďte úvodní účty zásobníků, Gómez (2001), Olsson (2007) a Vistoli (2005) - poskytnout podrobnější úvody a - Laumon & Moret-Bailly (2000) popisuje pokročilejší teorii.
Motivace a historie
Grothendieckův dopis Serreovi, 5. listopadu 1959.
Koncept zásobníků má svůj původ v definici dat efektivního sestupu v Grothendieck (1959) V dopise z roku 1959 Serreovi Grothendieck poznamenal, že zásadní překážkou v budování dobrých moduli prostorů je existence automorfismů. Hlavní motivací pro komíny je to, že pokud moduli prostor pro nějaký problém neexistuje kvůli existenci automorfismů, je stále možné sestavit moduli komín.
Mumford (1965) studoval Picardovu skupinu zásobník eliptických křivek, než byly definovány komíny. Zásobníky nejprve definoval Giraud (1966, 1971 ) a termín „stack“ zavedl Deligne & Mumford (1969) pro původní francouzský výraz „champ“, což znamená „pole“. V této práci také představili Deligne – Mumford stacky, které nazývali algebraické komíny, ačkoli termín „algebraický komín“ nyní obvykle odkazuje na obecnější Artin se hromadí představil Artin (1974 ).
Při definování kvocientů schémat pomocí skupinových akcí je často nemožné, aby kvocient byl schématem a stále uspokojoval požadované vlastnosti kvocientu. Například pokud několik bodů má netriviální stabilizátory, pak kategorický kvocient mezi systémy nebude existovat.
Stejně, modulové prostory křivek, vektorových svazků nebo jiných geometrických objektů lze často nejlépe definovat jako hromádky místo schémat. Konstrukce moduli prostorů často pokračují tak, že se nejprve vytvoří větší prostor parametrizující dotyčné objekty a poté kvocientování podle skupinové akce zohlednit objekty s automatickými tvary, které byly přepočítány.
Definice
Abstraktní hromádky
Kategorie s funktorem do kategorie se nazývá a vláknitá kategorie přes pokud pro jakýkoli morfismus v a jakýkoli předmět z s obrázkem (pod funktorem) je zpětné hlášení z podle . To znamená morfismus s obrazem takový, že jakýkoli morfismus s obrázkem lze započítat jako jedinečným morfismem v tak, že funktor mapuje na . Prvek se nazývá zarazit z podél a je jedinečný až do kanonického izomorfismu.
Kategorie C se nazývá a předbalení přes kategorii C s Grothendieckova topologie pokud je provlečená C a pro jakýkoli objekt U z C a objekty X, y z C s obrázkem U, funktor z kategorie C / U do převzetí množin F:PROTI→U do Hom (F*X,F*y) je svazek. Tato terminologie není v souladu s terminologií pro svazky: prestacky jsou spíše analogy oddělených předsazenek než předsazenek. Někteří autoři to vyžadují spíše jako vlastnost zásobníků než předbalení.
Kategorie C se nazývá a zásobník přes kategorii C s topologií Grothendieck, pokud se jedná o předbalení C a každý údaj sestupu je efektivní. A sestupný údaj sestává zhruba ze zakrytí předmětu PROTI z C rodinou PROTIi, elementy Xi ve vlákně PROTIia morfismy Fji mezi omezeními Xi a Xj na PROTIij=PROTIi×PROTIPROTIj splňující podmínku kompatibility Fki = FkjFji. Volá se datum sestupu efektivní pokud prvky Xi jsou v podstatě odvolání prvku X s obrázkem PROTI.
Zásobník se nazývá a hromádka v grupoidech nebo a (2,1) - svazek pokud je také vláknitý v grupoidech, což znamená, že jeho vlákna (inverzní obrazy předmětů z C) jsou grupoidy. Někteří autoři používají slovo „stack“ k označení restriktivnějšího konceptu stacku v grupoidech.
Algebraické komíny
An algebraický zásobník nebo Artin stack je hromada grupoidů X přes web fppf tak, že diagonální mapa X je reprezentovatelný a existuje plynulé surjekce ze (zásobníku přidruženého) schématu k X.A morphism Y X stohů je reprezentativní pokud pro každý morfismus S X z (zásobníku přidruženého k) schématu k X, vláknitý výrobek Y ×X S isomorphic to (the stack associated to) an algebraický prostor. The vláknitý výrobek stacků je definováno pomocí obvyklých univerzální vlastnictví, a změna požadavku, aby diagramy dojížděly, na požadavek, aby jimi byly 2 dojíždění. Viz také morfismus algebraických zásobníků pro další informace.
Motivace reprezentovatelnosti úhlopříčky je následující: úhlopříčný morfismus je reprezentovatelný právě tehdy, když pro jakoukoli dvojici morfismů algebraických prostorů , jejich vláknový produkt je reprezentativní.
A Deligne – Mumford stack je algebraický zásobník X tak, že existuje étale surjection od schématu k X. Zhruba řečeno, Deligne – Mumfordovy komíny lze považovat za algebraické komíny, jejichž objekty nemají žádné nekonečně malé automorfismy.
Místní struktura algebraických zásobníků
Od vzniku algebraických zásobníků se očekávalo, že se jedná o lokálně kvocientové zásobníky formuláře kde je lineárně reduktivní algebraická skupina. Nedávno se ukázalo, že tomu tak je:[1] dostal kvazi-oddělený algebraický zásobník lokálně konečného typu přes algebraicky uzavřené pole jejichž stabilizátory jsou afinní a hladký a uzavřený bod s lineárně reduktivní stabilizační skupinou , existuje etale obal z GIT kvocient , kde , takže ten diagram
je kartézský a existuje etale morfismus
vyvolání izomorfismu stabilizačních skupin při a .
Příklady
Základní příklady
- Každý svazek z kategorie s topologií Grothendieck lze kanonicky přeměnit na hromádku. Pro objekt , místo sady existuje grupoid, jehož objekty jsou prvky a šipky jsou morfismus identity.
- Přesněji řečeno být kontravariantním funktorem
- Pak tento funktor určuje následující kategorie
- objekt je pár skládající se ze schématu v a prvek
- morfismus sestává z morfismu v takhle .
- Přes zapomnětlivý funktor kategorie je kategorie vláknité přes . Například pokud je schéma v , pak určuje kontravariantní funktor a odpovídající vláknitá kategorie je zásobník přidružený k X. Stohy (nebo prestacky) mohou být konstruovány jako varianta této konstrukce. Ve skutečnosti jakékoli schéma s kvazi kompaktní úhlopříčka je algebraický zásobník přidružený ke schématu .
Stohy předmětů
- A Skupinový stoh.
- The zásobník modulů vektorových svazků: kategorie vektorových svazků PROTI→S je hromada nad kategorií topologických prostorů S. Morfismus z PROTI→S na Ž→T se skládá z průběžných map z S na T a od PROTI na Ž (lineární na vláknech) tak, aby zjevný čtverec dojížděl. Následuje podmínka, že se jedná o kategorii s vlákny, protože je možné převzít zpětné vazby vektorových svazků nad spojitými mapami topologických prostorů a podmínka, že je efektivní datum sestupu, následuje, protože lze vytvořit vektorový svazek nad prostorem slepením vektorových svazků na prvky otevřeného krytu.
- Hromada kvazi-koherentních svazků na schématech (s ohledem na fpqc-topologie a slabší topologie)
- Hromada afinních schémat na základním schématu (opět s ohledem na topologii fpqc nebo slabší)
Konstrukce se zásobníky
Stackové kvocienty
Li je schéma a je plynulé afinní skupinové schéma působící na , pak existuje kvocient algebraický zásobník ,[2] přijetí schématu do skupiny -torory přes -systém s - ekvivariantní mapy do . Výslovně, s mezerou s -akce, vytvořte stoh který (intuitivně řečeno) posílá prostor ke grupoidu tahových diagramů
kde je - ekvivariační morfismus prostorů a je jistina - svazek. Morfismy v této kategorii jsou pouze morfismy diagramů, kde jsou šipky na pravé straně stejné a šipky na levé straně jsou morfismy principálu - svazky.
Klasifikace hromádek
Zvláštní případ tohoto, když X je bod dává klasifikace zásobníku BG hladkého afinního skupinového schématu G: Je pojmenován tak od kategorie , vlákno skončilo Y, je přesně ta kategorie jistiny - svazky . Všimněte si, že sám o sobě lze považovat za zásobník, zásobník modulů jistiny G-bundles on Y.
Důležitým dílčím příkladem této konstrukce je což je moduli jistiny - svazky. Vzhledem k tomu, údaje jistiny -bundle je ekvivalentní datům hodnosti vektorový svazek, je izomorfní s zásobník modulů hodnosti vektorové svazky .
Zásobník modulů svazků řádků
Zásobník modulů svazků řádků je protože každý svazek řádků je kanonicky izomorfní s jistinou - svazek. Vzhledem k balíku řádků relativní spec
dává svazek geometrické čáry. Po odebrání nulové sekce je přidružen - svazek. Naopak z reprezentace , lze přidružený svazek linek rekonstruovat.
Gerbes
A gerbe je zásobník v grupoidech, který má vždy neprázdnou kategorii. například triviální gerbe který každému schématu přiřadí grupoid jistiny -bundles přes schéma, pro některé skupiny .
Relativní spec a proj
Li A je kvazi-koherentní svazek algeber v algebraickém zásobníku X přes schéma S, pak existuje zásobník Spec (A) zobecňující konstrukci spektra Spec (A) komutativního kruhu A. Objekt Spec (A) je dán znakem S-systém T, objekt X z X(T) a morfismus snopů algeber z X*(A) do souřadnicového kruhu Ó(T) z T.
Li A je kvazi-koherentní svazek gradovaných algeber v algebraickém zásobníku X přes schéma S, pak je tu hromada Proj (A) zobecňující konstrukci projektivního schématu Proj (A) odstupňovaného prstenu A.
Stohy modulů
Moduly křivek
- Mumford (1965) studoval zásobník modulů M1,1 eliptických křivek, a ukázal, že jeho Picardova skupina je cyklická řádu 12. Pro eliptické křivky nad komplexní čísla odpovídající zásobník je podobný kvocientu z horní polorovina působením modulární skupina.
- The moduli prostor algebraických křivek definován jako univerzální rodina hladkých křivek daného rod neexistuje jako algebraická odrůda, protože zejména existují křivky, které připouštějí netriviální automorfismy. Existuje však moduli stack což je dobrá náhrada za neexistující prostor jemných modulů hladkého rodu křivky. Obecněji existuje moduli stack rodu křivky s označené body. Obecně se jedná o algebraický zásobník a je to zásobník Deligne – Mumford nebo nebo (jinými slovy, když jsou skupiny automorfismu křivek konečné). Tento modul modulů má doplněk skládající se z modulu modulů stabilních křivek (pro dané a ) který je správný nad Spec Z. Například, je klasifikační stack projektivní obecné lineární skupiny. (V definování je jemnost , protože k jeho konstrukci je třeba použít algebraické prostory místo schémat.)
Kontsevichovy moduly
Další široce studovanou třídou moduli prostorů jsou Kontsevichovy moduly parametrizace prostoru stabilních map mezi křivkami pevného rodu do pevného prostoru jehož obraz představuje pevnou třídu cohomologie. Tyto prostory modulů jsou označeny[3]
a mohou se chovat divoce, například jako redukovatelné hromádky, jejichž součásti nemají nerovný rozměr. Například,[3] zásobník modulů
má hladké křivky parametrizované otevřenou podmnožinou . Na hranici prostoru modulů, kde se křivky mohou degenerovat na redukovatelné křivky, je dílčí balíček parametrizující redukovatelné křivky s rodem složka a rod složka protínající se v jednom bodě a mapa vysílá rod křivka k bodu. Protože všechny takové rody křivky jsou parametrizovány pomocí , a je tu další rozměrová volba místa, kde se tyto křivky protínají s rodem křivka, hraniční složka má rozměr .
Ostatní moduly modulů
- A Picardův zásobník zobecňuje a Odrůda Picard.
- The zásobník formálních zákonů skupiny klasifikuje formální zákony o skupině.
- An ind-schéma jako je nekonečný projektivní prostor a a formální schéma je hromádka.
- A zásobník modulů shtukas se používá v geometrický Langlandsův program. (Viz také shtuky.)
Geometrické hromádky
Vážené projektivní hromádky
Konstruování vážené projektivní prostory zahrnuje převzetí kvocient odrůdy některých podle a -akce. Akce zejména pošle n-tici
a kvocient této akce dává vážený projektivní prostor . Protože to lze místo toho brát jako kvocient zásobníku, vážený projektivní zásobník[4] str. 30 je
Vezmeme mizející lokus váženého polynomu ve svazku čar dává skládanou váženou projektivní rozmanitost.
Stacky křivky
Stacky křivky, orbicurves, lze zkonstruovat převzetím kvocientu zásobníku morfismu křivek monodromy skupinou krytu nad obecnými body. Vezměme si například projektivní morfismus
což je obecně etale. Zásobní kvocient domény podle dává hromádku s hromadnými body, které mají stabilizační skupinu u pátých kořenů jednoty v -schéma. Je to proto, že se jedná o body, kde se rozvětvuje kryt.[Citace je zapotřebí ]
Non-afinní zásobník
Příklad zásobníku, který není afinní, je dán poloviční čárou se dvěma skládanými původy. To může být konstruováno jako kolimit dvou zahrnutí .
Kvazi-koherentní svazky na algebraických vrstvách
Na algebraickém zásobníku lze vytvořit schéma kvazi-koherentních snopů podobné kategorii kvazi-koherentních snopů v rámci schématu.
Kvazi-koherentní svazek je zhruba ten, který místně vypadá jako svazek modulu přes prsten. Prvním problémem je rozhodnout, co se rozumí „lokálně“: zahrnuje to výběr topologie Grothendieck a existuje mnoho možných možností, z nichž všechny mají určité problémy a žádný z nich se nezdá zcela uspokojivý. Grothendieckova topologie by měla být dostatečně silná, aby byl v této topologii lokálně afinní: schémata jsou lokálně afinní v Zariskiho topologii, takže je to dobrá volba pro schémata, jak objevil Serre, algebraické prostory a Deligne – Mumfordské komíny jsou lokálně afinní v etální topologie, takže pro ně obvykle používáme etální topologii, zatímco algebraické komíny jsou lokálně afinní v hladké topologii, takže v tomto případě lze použít hladkou topologii. Pro obecné algebraické komíny nemá etalická topologie dostatek otevřených množin: například je-li G plynulá propojená skupina, pak jedinými etalovými kryty klasifikačního komínu BG jsou svazky kopií BG, které nestačí k získání správné teorie kvazikoherentních snopů.
Místo použití hladké topologie pro algebraické komíny se často používá její modifikace zvaná Lis-Et topologie (zkratka pro Lisse-Etale: lisse je francouzský výraz pro smooth), který má stejné otevřené množiny jako hladká topologie, ale otevřené obaly jsou dány spíše etale než hladkými mapami. Zdá se, že to obvykle vede k ekvivalentní kategorii kvazi-koherentních svazků, ale je snazší jej používat: je například snazší srovnávat s etální topologií algebraických prostorů. Lis-Etova topologie má jemný technický problém: morfismus mezi zásobníky obecně nedává morfismus mezi odpovídajícími topoi. (Problém je v tom, že zatímco lze sestavit dvojici adjungovaných funktorů F*, F*, podle potřeby pro geometrický morfismus topoi, funktoru F* není obecně ponecháno přesné. Tento problém je notoricky známý tím, že způsobil určité chyby v publikovaných dokumentech a knihách.[5]) To znamená, že vytvoření zpětného rázu kvazikoherentního svazku pod morfismem hromádek vyžaduje určité úsilí navíc.
Je také možné použít jemnější topologie. Zdá se, že nejrozumnější „dostatečně velké“ Grothendieckovy topologie vedou k ekvivalentním kategoriím kvazi-koherentních svazků, ale čím větší je topologie, tím těžší je s ní manipulovat, proto se obecně dává přednost použití menších topologií, pokud mají dostatek otevřených sad. Například velká topologie fppf vede v podstatě ke stejné kategorii kvazi-koherentních svazků jako Lis-Etova topologie, ale má jemný problém: přirozené zabudování kvazi-koherentních svazků do OX moduly v této topologii nejsou přesné (obecně nezachovává jádra).
Jiné typy stohu
Diferencovatelné komíny a topologické komíny jsou definovány podobným způsobem jako algebraické komíny, kromě toho, že základní kategorie afinních schémat je nahrazena kategorií hladkých variet nebo topologických prostorů.
Obecněji lze definovat pojem n- svazek nebo n–1 stack, což je zhruba jakýsi svazek s hodnotami n–1 kategorií. Existuje několik nerovných způsobů, jak toho dosáhnout. 1-kladky jsou stejné jako snopy a 2-kladky jsou stejné jako stohy. Se nazývají vyšší hromádky.
Velmi podobným a analogickým rozšířením je vývoj teorie zásobníku na nediskrétních objektech (tj. Prostor je ve skutečnosti a spektrum v algebraické topologii). Výsledné skládané objekty se nazývají odvozené komíny (nebo spektrální komíny). Jacob Lurie nedokončená kniha Spektrální algebraická geometrie studuje zevšeobecnění, které nazývá a spektrální zásobník Deligne – Mumford. Podle definice je to prstencový To-topos to je étale-místně étale spektrum z E∞-prsten (tento pojem předpokládá pojem a odvozené schéma, alespoň v charakteristické nule.)
Set-teoretické problémy
Existují některé menší teoretické problémy množin s obvyklým základem teorie zásobníků, protože hromádky jsou často definovány jako určité funktory do kategorie množin, a proto nejsou množinami. Existuje několik způsobů, jak tento problém vyřešit:
- Jeden může pracovat s Grothendieckovými vesmíry: stack je pak funktor mezi třídami nějakého fixního Grothendieckova vesmíru, takže tyto třídy a stacky jsou sady ve větším Grothendieckově vesmíru. Nevýhodou tohoto přístupu je, že je třeba předpokládat existenci dostatečného počtu Grothendieckových vesmírů, což je v zásadě a velký kardinál axiom.
- Lze definovat hromádky jako funktory sady množin dostatečně velké hodnosti a pečlivě sledovat řady různých sad, které používá. Problém je v tom, že jde o další, poměrně únavné účetnictví.
- Lze použít principy reflexe z teorie množin, které uvádějí, že lze najít množinové modely libovolného konečného fragmentu axiomů ZFC, které ukazují, že lze automaticky najít množiny, které jsou dostatečně blízké aproximaci vesmíru všech množin.
- Jeden může jednoduše ignorovat problém. To je přístup mnoha autorů.
Viz také
- Algebraický zásobník
- Chow skupina hromádky
- Deligne – Mumford stack
- Glosář algebraické geometrie
- Pronásledování hromádek
- Kvocient prostoru algebraického zásobníku
- Prsten modulárních forem
- Zjednodušené předpětí
- Stacks Project
- Torický zásobník
Poznámky
- ^ Alper, Jarod; Hall, Jack; Rydh, David (2020). "Věta Luna étale o řezu pro algebraické komíny". Annals of Mathematics. 191 (3): 675–738. doi:10.4007 / annals.2020.191.3.1. hdl:10150/641331. ISSN 0003-486X. JSTOR 10.4007 / annals.2020.191.3.1. S2CID 3225788.
- ^ Heinloth, Jochen (29. ledna 2009), „Přednášky o zásobníku modulů vektorových svazků na křivce“, Rozdělovače afinních vlajek a hlavní svazky, Basel: Springer Basel (publikováno 2010), str. 123–153, doi:10.1007/978-3-0346-0288-4_4, ISBN 978-3-0346-0287-7
- ^ A b Massarenti, Alez. „Moduly stabilních map, Gromov-Wittenovy invarianty a kvantová kohomologie“ (PDF). s. 1–4. Archivováno (PDF) od originálu dne 2018-01-23.
- ^ Fantechi, Barbara; Mann, Etienne; Nironi, Fabio (2009-09-22). "Hladké torické zásobníky DM". arXiv:0708.1254 [math.AG ].
- ^ Viz například Olsson, Martin (2007). "Snopy na Artinových hromadách". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 2007 (603): 55–112. doi:10.1515 / CRELLE.2007.012. PAN 2312554. S2CID 15445962.
Reference
Pedagogický
- Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Algebraické komíny, archivovány z originál dne 05.05.2008
- Goméz, Tomás (1999), Algebraické komíny, arXiv:matematika / 9911199, Bibcode:1999math ..... 11199G je výkladový článek popisující základy zásobníků s příklady.
- Edidin, Dan (2003), „Co je ... hromádka?“ (PDF), Oznámení AMS, 50 (4): 458–459
Průvodci literaturou
- https://maths-people.anu.edu.au/~alperj/papers/stacks-guide.pdf
- http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0
Reference
- Artin, Michael (1974), „Versal deformations and algebraic stacks“, Inventiones Mathematicae, 27 (3): 165–189, Bibcode:1974InMat..27..165A, doi:10.1007 / BF01390174, ISSN 0020-9910, PAN 0399094, S2CID 122887093
- Deligne, Pierre; Mumford, David (1969), „Neredukovatelnost prostoru křivek daného rodu“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288, doi:10.1007 / BF02684599, ISSN 1618-1913, PAN 0262240, S2CID 16482150
- Fantechi, Barbara (2001), "Stohy pro všechny" (PDF), Evropský kongres matematiky Svazek I, Progr. Matematika., 201, Basilej: Birkhäuser, str. 349–359, ISBN 3-7643-6417-3, PAN 1905329
- Giraud, Jean (1964), „Méthode de la descente“, Société Mathématique de France. Bulletin. Doplněk. Mémoire, 2: viii + 150, PAN 0190142
- Giraud, Jean (1966), Cohomologie non abélienne de degré 2, práce, Paříž
- Giraud, Jean (1971), Cohomologie non abélienne, Springer, ISBN 3-540-05307-7
- Gómez, Tomás L. (2001), „Algebraické komíny“, Indická akademie věd. Řízení. Matematické vědy, 111 (1): 1–31, arXiv:matematika / 9911199, doi:10.1007 / BF02829538, PAN 1818418, S2CID 373638
- Grothendieck, Alexander (1959). „Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats“. Seminář Bourbaki. 5 (Expozice 190).
- Laumon, Gérard; Moret-Bailly, Laurent (2000), Champs algébriques, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Řada moderních průzkumů v matematice, 39, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65761-3, PAN 1771927 Tato kniha bohužel používá nesprávné tvrzení, že morfismy algebraických svazků indukují morfismy lisse-étale topoi. Některé z těchto chyb byly opraveny uživatelem Olsson (2007).
- Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2008), „Šest operací pro svazky na Artinových zásobnících. I. Konečné koeficienty“, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publikace Mathématiques, 107 (1): 109–168, arXiv:matematika / 0512097, doi:10.1007 / s10240-008-0011-6, PAN 2434692, S2CID 371801
- Mumford, David (1965), "Picardovy skupiny problémů modulů", Schilling, O. F. G. (ed.), Aritmetická algebraická geometrie (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963), New York: Harper & Row, str. 33–81, PAN 0201443
- Olsson, Martin Christian (2007), Geraschenko, Anton (ed.), Poznámky k kurzu pro Math 274: Stacks (PDF)
- Olsson, Martin (2016), Algebraické prostory a komíny, Publikace kolokvia, 62Americká matematická společnost, ISBN 978-1470427986
- Vistoli, Angelo (2005), „Grothendieckovy topologie, vláknité kategorie a teorie sestupu“, Základní algebraická geometrie, Math. Průzkumy Monogr., 123„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., S. 1–104, arXiv:matematika / 0412512, Bibcode:2004math ..... 12512V, PAN 2223406
Další čtení
- Morava, Jacku (2012). "Teorie čehokoli". arXiv:1202.0684 [math.CT ].
externí odkazy
- zásobník v nLab
- klesání v nLab
- de Jong, Aise Johan, Stacks Project
- Fulton, William, Co je to stack?, MSRI video přednáška a poznámky
- Toën, Bertrand (2007), Cours de Master 2: Champs algébriques (2006-2007)
- „Dobré úvodní odkazy na algebraické komíny?“