Glosář topologie - Glossary of topology
Toto je glosář některých termínů používaných v oboru matematika známý jako topologie. Ačkoli neexistuje absolutní rozdíl mezi různými oblastmi topologie, zde se zaměřujeme na obecná topologie. Následující definice jsou rovněž zásadní pro: algebraická topologie, diferenciální topologie a geometrická topologie.
Předpokládá se, že jsou všechny mezery v tomto slovníku topologické prostory Pokud není uvedeno jinak.
A
- Absolutně uzavřený
- Vidět H-zavřeno
- Akumulační bod
- Vidět mezní bod.
- Alexandrovská topologie
- Topologie prostoru X je Alexandrovská topologie (nebo je definitivně generováno) pokud jsou v libovolných průsečících otevřených množin X jsou otevřené, nebo ekvivalentně, pokud jsou uzavřeny libovolné svazky uzavřených množin, nebo opět ekvivalentně, pokud jsou otevřené množiny horní sady a poset.[1]
- Téměř diskrétní
- Prostor je téměř diskrétní, pokud je uzavřena každá otevřená množina (tedy clopen). Téměř diskrétní prostory jsou přesně konečně generované nulové dimenzionální prostory.
- α-uzavřeno, α-otevřeno
- Podmnožina A topologického prostoru X je α-otevřeno, pokud a doplněk takové množiny je a-uzavřený.[2]
- Přibližte se k prostoru
- An přiblížit se vesmíru je zevšeobecnění metrického prostoru na základě vzdáleností mezi dvěma body namísto mezi dvěma body.
B
- Baireův prostor
- To má dva odlišné společné významy:
- Prostor je Baireův prostor pokud je průsečík kteréhokoli z nich počitatelný sbírka hustých otevřených souborů je hustá; vidět Baireův prostor.
- Baireův prostor je množina všech funkcí od přirozených čísel po přirozená čísla s topologií bodové konvergence; vidět Baireův prostor (teorie množin).
- Základna
- Sbírka B otevřených množin je a základna (nebo základ) pro topologii pokud se otevře každý otevřený je spojení souborů . Topologie je nejmenší topologie na obsahující a říká se, že je generován .
- β-otevřené
- Vidět Semi-preopen.
- b-otevřeno, b-uzavřeno
- Podmnožina A topologického prostoru X je b-otevřený, pokud . Doplněk sady b-open je b-closed.[2]
- Borel algebra
- The Borel algebra na topologickém prostoru je nejmenší -algebra obsahující všechny otevřené sady. Získává se průnikem všech -algebry na obsahující .
- Sada Borel
- Sada Borel je prvkem Borel algebry.
- Hranice
- The hranice (nebo hranice) sady je uzavření sady minus její vnitřek. Ekvivalentně je hranicí množiny průsečík jejího uzavření s uzavřením jejího doplňku. Hranice množiny je označen nebo .
- Ohraničený
- Sada v metrickém prostoru je ohraničený pokud ano konečný průměr. Ekvivalentně je množina ohraničená, pokud je obsažena v nějaké otevřené kouli konečného poloměru. A funkce odebírání hodnot v metrickém prostoru je ohraničený Pokud je to obraz je omezená množina.
C
- Kategorie topologických prostorů
- The kategorie Horní má topologické prostory tak jako předměty a průběžné mapy tak jako morfismy.
- Cauchyova posloupnost
- A sekvence {Xn} v metrickém prostoru (M, d) je Cauchyova posloupnost pokud pro každého pozitivní reálné číslo r, tady je celé číslo N taková, že pro všechna celá čísla m, n > N, my máme d(Xm, Xn) < r.
- Clopen set
- Sada je clopen pokud je otevřený i uzavřený.
- Uzavřený míč
- Pokud (M, d) je metrický prostor, uzavřená koule je sada formuláře D(X; r) := {y v M : d(X, y) ≤ r}, kde X je v M a r je pozitivní reálné číslo, poloměr míče. Uzavřená koule o poloměru r je Zavřeno r-míč. Každá uzavřená koule je uzavřená množina v topologii indukované na M podle d. Všimněte si, že uzavřený míč D(X; r) se nemusí rovnat uzavření otevřeného míče B(X; r).
- Uzavřená sada
- Sada je Zavřeno je-li jeho doplněk členem topologie.
- Uzavřená funkce
- Funkce z jednoho prostoru do druhého je uzavřena, pokud obraz každé uzavřené sady je uzavřeno.
- Uzavření
- The uzavření sady je nejmenší uzavřená sada obsahující původní sadu. Rovná se průsečíku všech uzavřených množin, které jej obsahují. Prvek uzavření sady S je bod uzavření z S.
- Operátor uzavření
- Vidět Kuratowského uzavírací axiomy.
- Hrubší topologie
- Li X je sada, a pokud T1 a T2 jsou topologie na X, pak T1 je hrubší (nebo menší, slabší) než T2 -li T1 je obsažen v T2. Pozor, zvláště někteří autoři analytici, použijte výraz silnější.
- Comeagre
- Podmnožina A prostoru X je comeagre (comeager) Pokud je to doplněk XA je hubený. Také zvaný reziduální.
- Kompaktní
- Prostor je kompaktní pokud má každý otevřený kryt a konečný dílčí úkryt. Každý kompaktní prostor je Lindelöf a paracompact. Proto každý kompaktní Hausdorffův prostor je normální. Viz také kvazikompaktní.
- Kompaktní otevřená topologie
- The kompaktně otevřená topologie na scéně C(X, Y) všech spojitých map mezi dvěma prostory X a Y je definována takto: vzhledem k kompaktní podmnožině K. z X a otevřená podmnožina U z Y, nechť PROTI(K., U) označují sadu všech map F v C(X, Y) takové, že F(K.) je obsažen v U. Pak sbírka všech takových PROTI(K., U) je podkladem pro kompaktně otevřenou topologii.
- Zcela měřitelné / zcela měřitelné
- Vidět kompletní prostor.
- Zcela normální
- Mezera je zcela normální, pokud existují dvě oddělené sady disjunktní sousedství.
- Zcela normální Hausdorff
- Zcela normální Hausdorffův prostor (nebo T5 prostor ) je zcela normální T1 prostor. (Zcela normální prostor je Hausdorff kdyby a jen kdyby to je T1, takže terminologie je konzistentní.) Každý úplně normální Hausdorffův prostor je normální Hausdorff.
- Úplně pravidelné
- Prostor je úplně normální pokud, kdykoli C je uzavřená sada a X je bod není v C, pak C a {X} jsou funkčně oddělené.
- Součástka
- Vidět Připojená součást/Součást připojená k cestě.
- Připojeno
- Prostor je připojeno pokud to není spojení dvojice disjunktní neprázdné otevřené sady. Ekvivalentně je propojen prostor, pokud jedinou clopenovou sadou je celý prostor a prázdná sada.
- Připojená součást
- A připojená součást prostoru je a maximální neprázdný připojený podprostor. Každá připojená komponenta je uzavřena a množina připojených komponent prostoru je a rozdělit toho prostoru.
- Kontinuální
- Funkce z jednoho prostoru do druhého je kontinuální pokud preimage každé otevřené sady je otevřeno.
- Kontinuum
- Prostor se nazývá kontinuum, pokud jde o kompaktní propojený Hausdorffův prostor.
- Smluvní
- Prostor X je smluvní, pokud mapa identity na X je homotopický k konstantní mapě. Každý smluvní prostor je jednoduše propojen.
- Topologie koproduktu
- Pokud {Xi} je sbírka mezer a X je (set-teoretický) disjunktní unie z {Xi}, pak topologie koproduktu (nebo disjunktní odborová topologie, topologický součet z Xi) zapnuto X je nejlepší topologie, pro kterou jsou všechny injekční mapy spojité.
- Kosmický prostor
- A kontinuální obraz některých oddělitelný metrický prostor.[3]
- Počitatelný stav řetězu
- Prostor X splňuje podmínku spočítatelného řetězce, pokud je počítatelná každá rodina neprázdných dvojitých disjunktních otevřených sad.
- Spočitatelně kompaktní
- Prostor je spočítatelně kompaktní, pokud existuje počitatelný otevřený kryt má a konečný dílčí úkryt. Každý spočítatelně kompaktní prostor je pseudokompaktní a slabě spočítatelně kompaktní.
- Počitatelně lokálně konečné
- Kolekce podmnožin prostoru X je spočetně místně konečný (nebo σ-místně konečný) pokud se jedná o svazek a počitatelný sbírka lokálně konečných sbírek podmnožin X.
- Pokrýt
- Kolekce podmnožin prostoru je obal (nebo krytina) tohoto prostoru, pokud je sjednocením kolekce celý prostor.
- Krytina
- Vidět Pokrýt.
- Bod řezu
- Li X je spojený prostor s více než jedním bodem, pak bodem X z X je řezným bodem, pokud je to podprostor X − {X} je odpojen.
D
- δ-shlukový bod, δ-uzavřený, δ-otevřený
- Bod X topologického prostoru X je bod klastru δ podmnožiny A -li pro každé otevřené sousedství U z X v X. Podmnožina A je δ-uzavřený, pokud se rovná množině jeho bodů klastru δ, a δ-otevřený, pokud je jeho doplněk δ-uzavřený.[4]
- Hustá sada
- Sada je hustá, pokud má neprázdnou křižovatku s každou neprázdnou otevřenou sadou. Ekvivalentně je sada hustá, pokud je jejím uzavřením celý prostor.
- Hustý sám o sobě soubor
- Sada je sama o sobě hustá, pokud nemá izolovaný bod.
- Hustota
- minimální mohutnost husté podmnožiny topologického prostoru. Sada hustoty ℵ0 je oddělitelný prostor.[5]
- Odvozená sada
- Li X je prostor a S je podmnožinou X, odvozená sada S v X je sada mezních bodů S v X.
- Rozvoj
- A počitatelný sbírka otevřené kryty topologického prostoru, takového pro jakoukoli uzavřenou množinu C a jakýkoli bod p v jeho doplňku existuje kryt ve sbírce tak, že každé sousedství p v krytu je disjunktní z C.[6]
- Průměr
- Pokud (M, d) je metrický prostor a S je podmnožinou M, průměr S je supremum vzdáleností d(X, y), kde X a y dosah S.
- Diskrétní metrika
- Diskrétní metrika na množině X je funkce d : X × X → R takové, že pro všechny X, y v X, d(X, X) = 0 a d(X, y) = 1 pokud X ≠ y. Diskrétní metrika indukuje diskrétní topologii X.
- Diskrétní prostor
- Prostor X je oddělený pokud každá podmnožina X je otevřeno. Říkáme to X nese diskrétní topologie.[7]
- Nespojitá topologie odborů
- Vidět Topologie koproduktu.
- Bod disperze
- Li X je spojený prostor s více než jedním bodem, pak bodem X z X je rozptylovým bodem, pokud je to podprostor X − {X} je dědičně odpojen (jeho jedinými připojenými komponentami jsou jednobodové sady).
- Vzdálenost
- Vidět metrický prostor.
E
- Entourage
- Vidět Jednotný prostor.
- Vnější
- Exteriér sady je interiérem jejího doplňku.
F
- Fσ soubor
- An Fσ soubor je počitatelný spojení uzavřených množin.[8]
- Filtr
- Viz také: Filtry v topologii. Filtr na mezeru X je neprázdná rodina F podskupin X tak, aby platily následující podmínky:
- The prázdná sada není v F.
- Průsečík kteréhokoli z nich konečný počet prvků F je opět v F.
- Li A je v F a pokud B obsahuje A, pak B je v F.
- Konečná topologie
- Na setu X s ohledem na rodinu funkcí do , je nejlepší topologie na X což tyto funkce dělá kontinuální.[9]
- Jemná topologie (teorie potenciálu)
- Na Euklidovský prostor nejhrubší topologie subharmonické funkce (ekvivalentně všechny superharmonické funkce) nepřetržité.[10]
- Jemnější topologie
- Li X je sada, a pokud T1 a T2 jsou topologie na X, pak T2 je jemnější (nebo větší, silnější) než T1 -li T2 obsahuje T1. Pozor, zvláště někteří autoři analytici, použijte výraz slabší.
- Konečně vygenerováno
- Vidět Alexandrovská topologie.
- První kategorie
- Vidět Meager.
- Nejprve spočítatelné
- Prostor je nejdříve spočítatelné pokud má každý bod a počitatelný místní základna.
- Fréchet
- Vidět T1.
- Hranice
- Vidět Hranice.
- Plný set
- A kompaktní podmnožina K. z složité letadlo je nazýván úplný Pokud je to doplněk je připojen. Například uzavřený disk jednotky je plný, zatímco jednotkový kruh není.
- Funkčně oddělené
- Dvě sady A a B v prostoru X jsou funkčně oddělené, pokud existuje souvislá mapa F: X → [0, 1] takové, že F(A) = 0 a F(B) = 1.
G
- Gδ soubor
- A Gδ soubor nebo vnitřní omezující sada je počitatelný průnik otevřených množin.[8]
- Gδ prostor
- Prostor, ve kterém je každá uzavřená množina a Gδ soubor.[8]
- Obecný bod
- A obecný bod pro uzavřenou množinu je bod, pro který je uzavřená množina uzavřením singletonové množiny obsahující tento bod.[11]
H
- Hausdorff
- A Hausdorffův prostor (nebo T2 prostor) je jeden, ve kterém mají každé dva odlišné body disjunktní sousedství. Každý Hausdorffův prostor je T1.
- H-zavřeno
- Prostor je uzavřen H, nebo Hausdorff zavřený nebo absolutně uzavřeno, pokud je uzavřen v každém Hausdorffově prostoru, který jej obsahuje.
- Dědičně P
- Prostor je dědičný P pro nějaký majetek P pokud je také každý podprostor P.
- Dědičný
- O vlastnosti mezer se říká, že je dědičná, pokud má tuto vlastnost kdykoli mezera, pak také každý její podprostor.[12] Například druhá spočitatelnost je dědičná vlastnost.
- Homeomorfismus
- Li X a Y jsou mezery, a homeomorfismus z X na Y je bijektivní funkce F : X → Y takhle F a F−1 jsou spojité. Mezery X a Y pak se říká, že jsou homeomorfní. Z hlediska topologie jsou homeomorfní prostory identické.
- Homogenní
- Prostor X je homogenní pokud pro každého X a y v Xexistuje homeomorfismus F : X → X takhle F(X) = y. Intuitivně vypadá prostor v každém bodě stejně. Každý topologická skupina je homogenní.
- Homotopické mapy
- Dvě souvislé mapy F, G : X → Y jsou homotopický (v Y) pokud existuje souvislá mapa H : X × [0, 1] → Y takhle H(X, 0) = F(X) a H(X, 1) = G(X) pro všechny X v X. Tady, X × [0, 1] je dána topologie produktu. Funkce H se nazývá a homotopy (v Y) mezi F a G.
- Homotopy
- Vidět Homotopické mapy.
- Hyper propojený
- Mezera je hyper propojená, pokud nejsou disjunktní žádné dvě neprázdné otevřené množiny[13] Každý hyper propojený prostor je propojen.[13]
Já
- Identifikační mapa
- Vidět Kvocientová mapa.
- Identifikační prostor
- Vidět Kvocientový prostor.
- Nevýrazný prostor
- Vidět Triviální topologie.
- Nekonečno-dimenzionální topologie
- Vidět Hilbert potrubí a Q-potrubí, tj. (zobecněné) potrubí modelované na Hilbertově prostoru a na Hilbertově krychli.
- Sada vnitřního omezení
- A Gδ soubor.[8]
- Interiér
- The interiér sady je největší otevřená sada obsažená v původní sadě. Rovná se sjednocení všech otevřených množin v něm obsažených. Prvek interiéru sady S je vnitřní bod z S.
- Vnitřní bod
- Vidět Interiér.
- Izolovaný bod
- Bod X je izolovaný bod pokud jedináček {X} je otevřeno. Obecněji, pokud S je podmnožinou prostoru X, a pokud X je bod S, pak X je izolovaný bod S pokud {X} je otevřen v topologii podprostoru na S.
- Izometrický izomorfismus
- Li M1 a M2 jsou metrické prostory, izometrický izomorfismus z M1 na M2 je bijektivní izometrie F : M1 → M2. Metrické prostory se pak považují za izometricky izomorfní. Z hlediska teorie metrického prostoru jsou izometricky izomorfní prostory identické.
- Izometrie
- Pokud (M1, d1) a (M2, d2) jsou metrické prostory, izometrie z M1 na M2 je funkce F : M1 → M2 takhle d2(F(X), F(y)) = d1(X, y) pro všechny X, y v M1. Každá izometrie je injekční, i když ne každá izometrie je surjektivní.
K.
- Kolmogorovova axiom
- Vidět T0.
- Kuratowského uzavírací axiomy
- The Kuratowského uzavírací axiomy je sada axiomy uspokojeno funkcí, která bere každou podmnožinu X k jeho uzavření:
- Izotonicita: Každá sada je obsažena v jejím uzavření.
- Idempotence: Uzavření uzavření sady se rovná uzavření této sady.
- Zachování binárních unií: Uzavření spojení dvou sad je spojení jejich uzávěrů.
- Zachování svazků nullary: Uzavření prázdné sady je prázdné.
- Li C je funkce z napájecí sada z X tedy pro sebe C je operátor uzavření pokud splňuje uzavírací axiomy Kuratowského. Uzávěrové axiomy Kuratowského lze poté použít k definování topologie na X prohlášením uzavřených množin za pevné body tohoto operátora, tj. sady A je zavřený kdyby a jen kdyby C(A) = A.
- Kolmogorovova topologie
- TKol = {R, } ∪ {(a, ∞): a je reálné číslo}; pár (R, TKol) je pojmenován Kolmogorov Rovně.
L
- L-prostor
- An L-prostor je dědičně Lindelöfův prostor což není dědičné oddělitelný. A Suslinova linie by byl L-prostor.[14]
- Větší topologie
- Vidět Jemnější topologie.
- Mezní bod
- Bod X v prostoru X je mezní bod podmnožiny S pokud každá otevřená sada obsahuje X také obsahuje bod S jiný než X sám. To odpovídá požadavku, aby každé sousedství X obsahuje bod S jiný než X sám.
- Mezní bod kompaktní
- Vidět Slabě spočetně kompaktní.
- Lindelöf
- Prostor je Lindelöf pokud má každý otevřený kryt a počitatelný dílčí úkryt.
- Místní základna
- Sada B sousedství bodu X prostoru X je místní základna (nebo místní základ, základna sousedství, sousedství základ) na X pokud každé sousedství X obsahuje nějakého člena B.
- Místní základ
- Vidět Místní základna.
- Lokálně (P) prostor
- Existují dvě definice prostoru, který má být „místně (P)“, kde (P) je topologická nebo množinově-teoretická vlastnost: že každý bod má sousedství s vlastností (P), nebo že každý bod má základnu neighourbood, pro kterou každý člen má vlastnost (P). První definice se obvykle bere pro lokálně kompaktní, spočetně kompaktní, měřitelné, oddělitelné, spočetné; druhý pro místně připojený.[15]
- Lokálně uzavřená podmnožina
- Podmnožina topologického prostoru, která je průsečíkem otevřené a uzavřené podmnožiny. Rovněž jde o relativně otevřenou podmnožinu jejího uzavření.
- Lokálně kompaktní
- Prostor je místně kompaktní pokud má každý bod kompaktní sousedství: někdy se používá alternativní definice, že každý bod má lokální základnu skládající se z kompaktních sousedství: tyto jsou ekvivalentní pro Hausdorffovy prostory.[15] Každý místně kompaktní prostor Hausdorff je Tychonoff.
- Místně připojeno
- Prostor je místně připojen pokud má každý bod místní základnu skládající se z propojených čtvrtí.[15]
- Místně hustá
- vidět Předotevřít.
- Místně konečné
- Kolekce podmnožin prostoru je místně konečné pokud má každý bod sousedství, které má pouze neprázdnou křižovatku konečně mnoho z podmnožin. Viz také spočetně místně konečný, bod konečný.
- Lokálně měřitelné/Místně měřitelné
- Prostor je místně měřitelný, pokud má každý bod měřitelné okolí.[15]
- Místně spojeno s cestou
- Prostor je místně spojeno s cestou pokud má každý bod místní základnu skládající se ze sousedství spojených s cestou.[15] Je připojen prostor spojený místně s cestou kdyby a jen kdyby je to spojeno s cestou.
- Lokálně jednoduše připojeno
- Prostor je místně jednoduše spojen, pokud má každý bod místní základnu skládající se z jednoduše propojených čtvrtí.
- Smyčka
- Li X je bod v prostoru X, a smyčka na X v X (nebo smyčka X s základním bodem X) je cesta F v X, takový, že F(0) = F(1) = X. Ekvivalentně smyčka X je spojitá mapa z jednotkový kruh S1 do X.
M
- Meager
- Li X je prostor a A je podmnožinou X, pak A je skromný X (nebo z první kategorie v X) pokud se jedná o počitatelný spojení nikde hustých sad. Li A není hubený X, A je z druhá kategorie v X.[16]
- Metakompaktní
- Prostor je metakompaktní, pokud má každý otevřený obal bodově konečné otevřené zjemnění.
- Metrický
- Vidět Metrický prostor.
- Metrický invariant
- Metrický invariant je vlastnost, která je zachována pod izometrickým izomorfismem.
- Metrická mapa
- Li X a Y jsou metrické prostory s metrikami dX a dY respektive pak a metrická mapa je funkce F z X na Y, tak, že pro všechny body X a y v X, dY(F(X), F(y)) ≤ dX(X, y). Metrická mapa je přísně metrické pokud je výše uvedená nerovnost přísná pro všechny X a y v X.
- Metrický prostor
- A metrický prostor (M, d) je sada M vybaven funkcí d : M × M → R splnění následujících axiomů pro všechny X, y, a z v M:
- d(X, y) ≥ 0
- d(X, X) = 0
- -li d(X, y) = 0 tedy X = y (totožnost nerozporných)
- d(X, y) = d(y, X) (symetrie)
- d(X, z) ≤ d(X, y) + d(y, z) (nerovnost trojúhelníku )
- Funkce d je metrický na M, a d(X, y) je vzdálenost mezi X a y. Sbírka všech otevřených koulí M je základem pro topologii na M; toto je topologie na M vyvolané d. Každý metrický prostor je Hausdorff a paracompact (a tedy normální a Tychonoff). Každý metrický prostor je nejprve spočítatelný.
- Metrizovatelné/Metrisable
- Prostor je měřitelný pokud je homeomorfní s metrickým prostorem. Každý měřitelný prostor je Hausdorff a paracompact (a tedy normální a Tychonoff). Každý měřitelný prostor je nejprve spočítatelný.
- Monolit
- Každý neprázdný ultra propojený kompaktní prostor X má největší vlastní otevřenou podmnožinu; tato podmnožina se nazývá a monolit.
N
- Téměř otevřené
- vidět předotevřít.
- Sousedství/Sousedství
- Sousedství bodu X je sada obsahující otevřenou sadu, která obsahuje bod X. Obecněji řečeno, sousedství množiny S je sada obsahující otevřenou sadu, která zase obsahuje sadu S. Sousedství bodu X je tedy sousedstvím jedináček nastavit {X}. (Všimněte si, že podle této definice nemusí být sousedství otevřené. Mnoho autorů vyžaduje, aby sousedství byla otevřená; dávejte pozor na konvence.)
- Základna sousedství /základ
- Vidět Místní základna.
- Systém sousedství pro bod X
- A sousedský systém v určitém okamžiku X v prostoru je sbírka všech čtvrtí X.
- Síť
- A síť v prostoru X je mapa z a řízená sada A na X. Síť z A na X je obvykle označeno (Xα), kde α je proměnná indexu sahat přes A. Každý sekvence je síť, přičemž A být směrovanou sadou přirozená čísla s obvyklým objednáním.
- Normální
- Prostor je normální pokud nějaké dvě disjunktní uzavřené sady mají disjunktní sousedství.[8] Každý normální prostor připouští rozdělení jednoty.
- Normální Hausdorff
- A normální Hausdorff prostor (nebo T4 prostor ) je normální T1 prostor. (Normální prostor je Hausdorff kdyby a jen kdyby to je T1, takže terminologie je konzistentní.) Každý normální Hausdorffův prostor je Tychonoff.
- Nikde hustá
- A nikde hustá sada je sada, jejíž uzávěr má prázdný vnitřek.
Ó
- Otevřete kryt
- An otevřete kryt je obal skládající se z otevřených sad.[6]
- Otevřený míč
- Pokud (M, d) je metrický prostor, otevřená koule je množina formuláře B(X; r) := {y v M : d(X, y) < r}, kde X je v M a r je pozitivní reálné číslo, poloměr míče. Otevřená koule o poloměru r je otevřeno r-míč. Každý otevřený míč je otevřenou sadou v topologii M vyvolané d.
- Otevřený stav
- Vidět otevřený majetek.
- Otevřená sada
- An otevřená sada je členem topologie.
- Otevřená funkce
- Funkce z jednoho prostoru do druhého je otevřeno pokud obraz každé otevřené sady je otevřeno.
- Otevřít nemovitost
- Vlastnost bodů v a topologický prostor je řekl, aby byl “otevřený” jestliže ty body, které ji vlastní tvoří otevřená sada. Takové podmínky mají často běžnou formu a lze o ní říci, že je otevřený stav; například v metrické prostory, jeden definuje otevřený míč, jak je uvedeno výše, a říká, že „přísná nerovnost je otevřený stav“.
P
- Paracompact
- Prostor je paracompact pokud má každý otevřený kryt lokálně konečné otevřené vylepšení. Paracompact znamená metacompact.[17] Paracompact Hausdorffovy prostory jsou normální.[18]
- Rozdělení jednoty
- Oddíl jednoty prostoru X je sada spojitých funkcí od X až [0, 1] tak, aby jakýkoli bod měl sousedství, kde všichni kromě a konečný počet funkcí je identicky nula a součet všech funkcí v celém prostoru je shodně 1.
- Cesta
- A cesta v prostoru X je spojitá mapa F z uzavřené jednotky interval [0, 1] do X. Bod F(0) je počáteční bod F; bod F(1) je koncový bod F.[13]
- Cesta spojená
- Prostor X je spojeno s cestou pokud za každé dva body X, y v X, existuje cesta F z X na y, tj. Cesta s počátečním bodem F(0) = X a koncový bod F(1) = y. Každý prostor spojený s cestou je propojen.[13]
- Součást připojená k cestě
- Součástí prostoru spojenou s cestou je maximální neprázdný podprostor spojený s cestou. Sada komponent propojených s cestou v prostoru je a rozdělit toho prostoru, což je jemnější než oddíl do připojených komponent.[13] Sada složek prostoru spojených s cestou X je označen π0(X).
- Naprosto normální
- normální prostor, který je také Gδ.[8]
- π-základna
- Sbírka B neprázdných otevřených množin je π-základna pro topologii τ, pokud každá neprázdná otevřená množina v τ obsahuje množinu z B.[19]
- Směřovat
- Bod je prvkem topologického prostoru. Obecněji je bod prvkem libovolné množiny s podkladovou topologickou strukturou; např. prvek metrického prostoru nebo topologické skupiny je také „bod“.
- Uzávěrka
- Vidět Uzavření.
- polština
- Prostor je polský, pokud je oddělitelný a zcela metrizovatelný, tj. Pokud je homeomorfní k oddělitelnému a úplnému metrickému prostoru.
- Polyadický
- Prostor je polyadický, pokud se jedná o spojitý obraz síly a jednobodové zhutnění místně kompaktního a nekompaktního Hausdorffova prostoru.
- P-bod
- Bod topologického prostoru je bod P, pokud je jeho filtr sousedství uzavřen pod spočetnými průsečíky.
- Pre-kompaktní
- Vidět Relativně kompaktní.
- Předotevřená sada
- Podmnožina A topologického prostoru X je preopen pokud .[4]
- Topologie Prodiscrete
- Prodiskrétní topologie produktu AG je topologie produktu, když každý faktor A je dána diskrétní topologie.[20]
- Topologie produktu
- Pokud {Xi} je sbírka mezer a X je (set-teoretický) produkt z {Xi}, pak topologie produktu na X je nejhrubší topologie, pro kterou jsou všechny projekční mapy spojité.
- Správná funkce / mapování
- Kontinuální funkce F z vesmíru X do prostoru Y je správné, pokud F−1(C) je kompaktní sada v X pro jakýkoli kompaktní podprostor C z Y.
- Blízký prostor
- Blízký prostor (X, δ) je sada X vybaven a binární relace δ mezi podskupinami X splňující následující vlastnosti:
- Pro všechny podskupiny A, B a C z X,
- A δ B naznačuje B δ A
- A δ B naznačuje A není prázdný
- Li A a B mít tedy neprázdnou křižovatku A δ B
- A δ (B ∪ C) kdyby a jen kdyby (A δ B nebo A δ C)
- Pokud pro všechny podskupiny E z X, my máme (A δ E nebo B δ E), pak musíme mít A δ (X − B)
- Pseudokompaktní
- Mezera je pseudokompaktní, pokud existuje skutečný spojitá funkce v prostoru je omezena.
- Pseudometrické
- Vidět Pseudometrický prostor.
- Pseudometrický prostor
- Pseudometrický prostor (M, d) je sada M vybaven funkcí d : M × M → R splňující všechny podmínky metrického prostoru, s výjimkou případné identity nerozporných. To znamená, že body v pseudometrickém prostoru mohou být „nekonečně blízké“, aniž by byly totožné. Funkce d je pseudometrické na M. Každá metrika je pseudometrická.
- Propíchnuté sousedství/Propíchnuté sousedství
- Propíchnuté sousedství bodu X je sousedství města X, mínus {X}. Například interval (−1, 1) = {y : −1 < y <1} je sousedství X = 0 v skutečná linie, takže množina (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) - {0} je propíchnutá oblast 0.
Q
- Kvazikompaktní
- Vidět kompaktní. Někteří autoři definují „kompaktní“ tak, aby zahrnoval Hausdorff separační axiom a používají tento výraz kvazikompaktní znamenat to, co v tomto slovníku nazýváme jednoduše „kompaktní“ (bez Hausdorffova axiomu). Tato konvence se nejčastěji vyskytuje ve francouzštině a odvětví matematiky silně ovlivněná Francouzi.
- Kvocientová mapa
- Li X a Y jsou mezery a pokud F je surjection z X na Y, pak F je kvocientová mapa (nebo identifikační mapa) pokud pro každou podmnožinu U z Y, U je otevřen v Y kdyby a jen kdyby F -1(U) je otevřen v X. Jinými slovy, Y má F- silná topologie. Ekvivalentně je kvocientová mapa právě tehdy, pokud se jedná o transfinitní složení map , kde je podmnožina. To neznamená, že to F je otevřená funkce.
- Kvocientový prostor
- Li X je prostor, Y je sada a F : X → Y je jakýkoli surjektivní funkce, pak kvocient topologie na Y vyvolané F je nejlepší topologie, pro kterou F je spojitý. Prostor X je kvocientový prostor nebo identifikační prostor. Podle definice, F je kvocientová mapa. Nejběžnějším příkladem je zvážit vztah ekvivalence na X, s Y soubor třídy ekvivalence a F přirozená projekční mapa. Tato konstrukce je duální konstrukci topologie podprostoru.
R
- Upřesnění
- Obal K. je upřesnění krytu L pokud každý člen K. je podmnožina některých členů L.
- Pravidelný
- Prostor je pravidelný pokud, kdykoli C je uzavřená sada a X je bod není v C, pak C a X mít disjunktní sousedství.
- Pravidelný Hausdorff
- Prostor je běžný Hausdorff (nebo T3) pokud se jedná o běžný T0 prostor. (Pravidelným prostorem je Hausdorff kdyby a jen kdyby to je T0, takže terminologie je konzistentní.)
- Pravidelně otevřené
- Podmnožina prostoru X je pravidelně otevřené, pokud se rovná vnitřku jejího uzavření; běžně uzavřená sada se rovná uzavření jejího vnitřku.[21] Příkladem nepravidelné otevřené sady je sada U = (0,1) ∪ (1,2) v R s normální topologií, protože 1 je uvnitř uzávěru U, ale ne v U. Pravidelné otevřené podmnožiny prostoru tvoří a kompletní booleovská algebra.[21]
- Relativně kompaktní
- Podmnožina Y prostoru X je relativně kompaktní v X pokud uzavření Y v X je kompaktní.
- Reziduální
- Li X je prostor a A je podmnožinou X, pak A je reziduální v X pokud doplněk A je skromný X. Také zvaný comeagre nebo comeager.
- Vyřešitelný
- A topologický prostor je nazýván vyřešitelný pokud je to vyjádřitelné jako spojení dvou disjunktní husté podmnožiny.
- Kompaktní ráfek
- Prostor je kompaktní, pokud má základ otevřených množin, jejichž hranice jsou kompaktní.
S
- S-prostor
- An S-prostor je dědičně oddělitelný prostor což není dědičné Lindelöf.[14]
- Rozptýlené
- Prostor X je rozptýlené pokud každá neprázdná podmnožina A z X obsahuje bod izolovaný v A.
- Scott
- The Scottova topologie na poset je to, ve kterém jsou otevřené sady Horní sady nepřístupné přímým spojením.[22]
- Druhá kategorie
- Vidět Meager.
- Druhý započítatelný
- Prostor je druhý spočetný nebo dokonale oddělitelné pokud má počitatelný základ pro jeho topologii.[8] Každý druhý spočítatelný prostor je nejprve spočítatelný, oddělitelný a Lindelöf.
- Semilocally simply connected
- Prostor X je semilocally jednoduše připojen pokud pro každý bod X v X, existuje sousedství U z X tak, že každá smyčka v X v U je homotopický v X do konstantní smyčky X. Každý jednoduše propojený prostor a každý lokálně jednoduše propojený prostor je semilocally jednoduše propojen. (Porovnejte s místně jednoduše připojeným; zde je povoleno žít v homotopii Xzatímco v definici lokálně jednoduše připojeného musí homotopie žít U.)
- Polootevřený
- Podmnožina A topologického prostoru X se nazývá polootevřený, pokud .[23]
- Semi-preopen
- Podmnožina A topologického prostoru X se nazývá semi-preopen if [2]
- Semiregular
- Mezera je semiregular, pokud pravidelné otevřené množiny tvoří základ.
- Oddělitelný
- Prostor je oddělitelný pokud má počitatelný hustá podmnožina.[8][16]
- Oddělené
- Dvě sady A a B jsou oddělené pokud každý je disjunktní od uzavření toho druhého.
- Postupně kompaktní
- Prostor je postupně kompaktní, pokud každý sekvence má konvergentní subsekvenci. Každý postupně kompaktní prostor je spočítatelně kompaktní a každý první spočítatelný a spočetně kompaktní prostor je sekvenčně kompaktní.
- Krátká mapa
- Vidět metrická mapa
- Jednoduše připojeno
- Prostor je jednoduše připojeno pokud je spojen s cestou a každá smyčka je homotopická k konstantní mapě.
- Menší topologie
- Vidět Hrubší topologie.
- Střízlivý
- V střízlivý prostor, každý neredukovatelné uzavřená podmnožina je uzavření přesně jednoho bodu: to znamená, že má jedinečný obecný bod.[24]
- Hvězda
- Hvězda bodu v daném Pokrýt a topologický prostor je sjednocení všech sad v krytu, které obsahují bod. Vidět vylepšení hvězd.
- - Silná topologie
- Nechat být mapou topologických prostorů. Říkáme to má - silná topologie, pokud pro každou podmnožinu , jeden to má je otevřen v kdyby a jen kdyby je otevřen v
- Silnější topologie
- Vidět Jemnější topologie. Pozor, zvláště někteří autoři analytici, použijte výraz slabší topologie.
- Podklad
- Sbírka otevřených sad je a podklad (nebo subbáze) pro topologii, pokud je každá neprázdná správná otevřená množina v topologii sjednocením konečný průsečíky množin v dílčí základně. Li B je žádný sbírka podmnožin sady X, topologie zapnuta X generováno uživatelem B je nejmenší topologie obsahující B; tato topologie se skládá z prázdné množiny, X a všechny svazky konečných průsečíků prvků B.
- Dílčí úkryt
- Obal K. je subcover (nebo subcovering) krytu L pokud každý člen K. je členem L.
- Subkrytí
- Vidět Dílčí úkryt.
- Submaximální prostor
- A topologický prostor se říká, že je submaximální pokud je každá její podmnožina lokálně uzavřená, to znamená, že každá podmnožina je průsečíkem znaku otevřená sada a a uzavřená sada.
Zde je několik faktů o submaximalitě jako vlastnosti topologických prostorů:
- Každý dveřní prostor je submaximální.
- Každý submaximální prostor je slabě submaximální viz každá konečná množina je místně uzavřena.
- Každý submaximální prostor je neřešitelný[25]
- Podprostor
- Li T je topologie prostoru X, a pokud A je podmnožinou X, pak topologie podprostoru na A vyvolané T se skládá ze všech křižovatek otevřených množin v T s A. Tato konstrukce je duální konstrukci kvocientové topologie.
T
- T0
- Prostor je T0 (nebo Kolmogorov) pokud pro každou dvojici odlišných bodů X a y v prostoru je buď otevřená sada obsahující X ale ne y, nebo existuje otevřená sada obsahující y ale ne X.
- T1
- Prostor je T1 (nebo Fréchet nebo přístupné) pokud pro každou dvojici odlišných bodů X a y v prostoru je otevřená sada obsahující X ale ne y. (Porovnejte s T0; zde můžeme určit, který bod bude obsažen v otevřené množině.) Ekvivalentně je mezera T1 pokud všechny jeho singletons jsou zavřené. Každý T1 prostor je T0.
- T2
- Vidět Hausdorffův prostor.
- T3
- Vidět Pravidelný Hausdorff.
- T3½
- Vidět Tychonoffův prostor.
- T4
- Vidět Normální Hausdorff.
- T5
- Vidět Zcela normální Hausdorff.
- Bod shluku θ, θ uzavřený, θ otevřený
- Bod X topologického prostoru X je bod shluku θ podmnožiny A -li pro každé otevřené sousedství U z X v X. Podmnožina A je θ-uzavřený, pokud se rovná množině jeho bodů klastru θ, a θ-otevřený, pokud je jeho doplněk θ-uzavřený.[23]
- Topologický invariant
- Topologický invariant je vlastnost, která je chráněna homeomorfismem. Například kompaktnost a propojenost jsou topologické vlastnosti, zatímco omezenost a úplnost nejsou. Algebraická topologie je studie topologicky invariantní abstraktní algebra stavby na topologických prostorech.
- Topologický prostor
- A topologický prostor (X, T) je sada X vybavené sbírkou T podskupin X splňující následující axiomy:
- Prázdná sada a X jsou v T.
- Spojení jakékoli kolekce sad v T je také v T.
- Průsečík jakékoli dvojice sad dovnitř T je také v T.
- Sbírka T je topologie na X.
- Topologická suma
- Vidět Topologie koproduktu.
- Topologicky kompletní
- Zcela měřitelné prostory (tj. topologické prostory homeomorfní až úplné metrické prostory) se často nazývají topologicky kompletní; někdy se tento termín také používá pro Čech-kompletní prostory nebo zcela uniformizovatelné prostory.
- Topologie
- Vidět Topologický prostor.
- Naprosto omezený
- Metrický prostor M je zcela omezený, pokud pro každého r > 0, existuje a konečný obálka M otevřenými koulemi o poloměru r. Metrický prostor je kompaktní, právě když je úplný a zcela ohraničený.
- Úplně odpojeno
- Prostor je zcela odpojen, pokud nemá připojenou podmnožinu s více než jedním bodem.
- Triviální topologie
- The triviální topologie (nebo neurčitá topologie) na sadě X skládá se přesně z prázdné množiny a celého prostoru X.
- Tychonoff
- A Tychonoffův prostor (nebo úplně obyčejný Hausdorff prostor, úplně T3 prostor, T3.5 vesmír) je zcela normální T0 prostor. (Zcela běžný prostor je Hausdorff kdyby a jen kdyby to je T0, takže terminologie je konzistentní.) Každý prostor Tychonoff je běžný Hausdorff.
U
- Ultra propojený
- Mezera je ultra propojená, pokud nejsou disjunktní dvě neprázdné uzavřené množiny.[13] Každý ultra propojený prostor je propojen cestou.
- Ultrametrické
- Metrika je ultrametrická, pokud splňuje následující silnější verzi nerovnost trojúhelníku: pro všechny X, y, z v M, d(X, z) ≤ max (d(X, y), d(y, z)).
- Jednotný izomorfismus
- Li X a Y jsou jednotné prostory, jednotný izomorfismus z X na Y je bijektivní funkce F : X → Y takhle F a F−1 jsou rovnoměrně spojité. Mezery se pak říká, že jsou rovnoměrně izomorfní a sdílejí to samé jednotné vlastnosti.
- Uniformizable / Uniformisable
- Prostor je uniformizovatelný, pokud je homeomorfní s uniformním prostorem.
- Jednotný prostor
- A jednotný prostor je sada X vybavené neprázdnou sbírkou ets podmnožin kartézský součin X × X splňující následující axiomy:
- -li U je tedy v Φ U obsahuje {(X, X) | X v X }.
- -li U je v Φ, pak {(y, X) | (X, y) v U } je také v Φ
- -li U je v Φ a PROTI je podmnožinou X × X který obsahuje U, pak PROTI je v Φ
- -li U a PROTI jsou tedy v Φ U ∩ PROTI je v Φ
- -li U je v Φ, pak existuje PROTI v takové, že kdykoli (X, y) a (y, z) jsou v PROTI, pak (X, z) je v U.
- Elementy Φ se nazývají doprovody, a Φ samo o sobě se nazývá a jednotná struktura na X. Jednotná struktura indukuje topologii na X kde jsou základní čtvrti X jsou sady formuláře {y : (X,y)∈U} pro U∈Φ.
- Jednotná struktura
- Vidět Jednotný prostor.
Ž
- Slabá topologie
- The slabá topologie na množině, s ohledem na kolekci funkcí z této množiny do topologických prostorů, je nejhrubší topologie na množině, díky níž jsou všechny funkce spojité.
- Slabší topologie
- Vidět Hrubší topologie. Pozor, zvláště někteří autoři analytici, použijte výraz silnější topologie.
- Slabě spočetně kompaktní
- Prostor je slabě spočítatelně kompaktní (nebo kompaktní mezní bod) pokud každý nekonečný podmnožina má mezní bod.
- Slabě dědičné
- O vlastnosti mezer se říká, že je slabě dědičná, pokud má tuto vlastnost kdykoli mezera, pak také každý její uzavřený podprostor. Například kompaktnost a vlastnost Lindelöf jsou slabě dědičné vlastnosti, ačkoli ani jedna není dědičná.
- Hmotnost
- The váha prostoru X je nejmenší základní číslovka κ takové, že X má základnu kardinála κ. (Všimněte si, že takové hlavní číslo existuje, protože celá topologie tvoří základnu a protože třída hlavních čísel je dobře uspořádané.)
- Dobře propojený
- Vidět Ultra propojený. (Někteří autoři používají tento termín výhradně pro ultra propojené kompaktní prostory.)
Z
- Zero-dimenzionální
- Prostor je nulový rozměr pokud má základnu clopenových sad.[26]
Viz také
- Naivní teorie množin, Axiomatická teorie množin, a Funkce pro definice týkající se množin a funkcí.
- Topologie pro krátkou historii a popis tematické oblasti
- Topologické prostory pro základní definice a příklady
- seznam obecných témat topologie
- seznam příkladů obecné topologie
- Specifické pojmy topologie
- Kompaktní prostor
- Propojený prostor
- Kontinuita
- Metrický prostor
- Oddělené sady
- Separační axiom
- Topologický prostor
- Jednotný prostor
- Jiné glosáře
- Glosář algebraické topologie
- Glosář diferenciální geometrie a topologie
- Glosář oblastí matematiky
- Glosář Riemannovy a metrické geometrie
Reference
- ^ Vickers (1989), str.22
- ^ A b C Hart 2004, str. 9.
- ^ Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2012). Encyklopedie vzdáleností. Springer-Verlag. p. 64. ISBN 3642309585.
- ^ A b Hart 2004, s. 8–9.
- ^ Nagata (1985), s. 104
- ^ A b C d Steen & Seebach (1978), s. 163
- ^ Steen & Seebach (1978), s. 41
- ^ A b C d E F G h Steen & Seebach (1978), s. 162
- ^ Willard, Stephen (1970). Obecná topologie. Addison-Wesley Series v matematice. Reading, MA: Addison-Wesley. Zbl 0205.26601.
- ^ Conway, John B. (1995). Funkce jedné komplexní proměnné II. Postgraduální texty z matematiky. 159. Springer-Verlag. 367–376. ISBN 0-387-94460-5. Zbl 0887.30003.
- ^ Vickers (1989), s. 65
- ^ Steen & Seebach str.4
- ^ A b C d E F Steen & Seebach (1978), s. 29
- ^ A b Gabbay, Dov M .; Kanamori, Akihiro; Woods, John Hayden, eds. (2012). Sady a rozšíření ve dvacátém století. Elsevier. p. 290. ISBN 0444516212.
- ^ A b C d E Hart a kol. (2004) str.65
- ^ A b Steen & Seebach (1978), str.7
- ^ Steen & Seebach (1978), s. 23
- ^ Steen & Seebach (1978), s. 25
- ^ Hart, Nagata, Vaughan Sect. d-22, strana 227
- ^ Ceccherini-Silberstein, Tullio; Coornaert, Michel (2010). Mobilní automaty a skupiny. Springer Monografie z matematiky. Berlín: Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-3-642-14033-4. Zbl 1218.37004.
- ^ A b Steen & Seebach (1978), s. 6
- ^ Vickers (1989) str.95
- ^ A b Hart 2004, str. 8.
- ^ Vickers (1989), s. 66
- ^ Miroslav Hušek; J. van Mill (2002), Nedávný pokrok v obecné topologiiNedávný pokrok v obecné topologii, 2, Elsevier, s. 21, ISBN 0-444-50980-1
- ^ Steen & Seebach (1978), s. 33
- Hart, Klaas (2004). Encyklopedie obecné topologie. Amsterdam Boston: Elsevier / Severní Holandsko. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277.
- Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Encyklopedie obecné topologie. Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.
- Kunen, Kenneth; Vaughan, Jerry E. (eds.). Příručka set-teoretické topologie. Severní Holandsko. ISBN 0-444-86580-2.
- Nagata, Jun-iti (1985). Moderní obecná topologie. Matematická knihovna v Severním Holandsku. 33 (2. přepracované vydání). Amsterdam-New York-Oxford: Severní Holandsko. ISBN 0080933793. Zbl 0598.54001.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. PAN 0507446.
- Vickers, Steven (1989). Topologie pomocí logiky. Cambridge Tracts v teoretické informatice. 5. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001.
- Willard, Stephen (1970). Obecná topologie. Addison-Wesley Series v matematice. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. Zbl 0205.26601. K dispozici také jako Dover dotisk.