Algebraická topologie - Algebraic topology

A torus, jeden z nejčastěji studovaných objektů v algebraické topologii

Algebraická topologie je pobočkou matematika který používá nástroje z abstraktní algebra studovat topologické prostory. Základním cílem je najít algebraiku invarianty že klasifikovat topologické prostory až do homeomorfismus, i když obvykle nejvíce klasifikovat až homotopická ekvivalence.

Ačkoli algebraická topologie primárně používá algebru ke studiu topologických problémů, použití topologie k řešení algebraických problémů je někdy také možné. Například algebraická topologie umožňuje pohodlný důkaz, že existuje podskupina a volná skupina je opět bezplatná skupina.

Hlavní větve algebraické topologie

Níže uvádíme některé z hlavních oblastí studovaných v algebraické topologii:

Skupiny homotopy

V matematice se pro klasifikaci používají homotopické skupiny v algebraické topologii topologické prostory. První a nejjednodušší homotopická skupina je základní skupina, který zaznamenává informace o smyčkách v prostoru. Skupiny homotopy intuitivně zaznamenávají informace o základním tvaru nebo dírách topologického prostoru.

Homologie

V algebraické topologii a abstraktní algebra, homologie (částečně z řecký ὁμός homos "identický") je určitý obecný postup pro přidružení a sekvence z abelianské skupiny nebo moduly s daným matematickým objektem, jako je a topologický prostor nebo a skupina.^[1]

Kohomologie

v teorie homologie a algebraická topologie, kohomologie je obecný termín pro a sekvence z abelianské skupiny definované z a komplex společného řetězce. To znamená, že kohomologie je definována jako abstraktní studium řetězy, cocycles, a hranice. Na kohomologii lze pohlížet jako na metodu přiřazování algebraické invarianty do topologického prostoru, který má rafinovanější algebraická struktura než to dělá homologie. Kohomologie vychází z algebraické dualizace konstrukce homologie. V méně abstraktním jazyce by kochainy v základním smyslu měly přiřazovat „veličiny“ řetězy teorie homologie.

Rozdělovače

A potrubí je topologický prostor že blízko každého bodu se podobá Euklidovský prostor. Mezi příklady patří letadlo, koule a torus, které lze všechny realizovat ve třech rozměrech, ale také Kleinova láhev a skutečná projektivní rovina které nelze realizovat ve třech rozměrech, ale lze je realizovat ve čtyřech rozměrech. Výsledky v algebraické topologii se obvykle zaměřují na globální nediferencovatelné aspekty variet; například Poincaré dualita.

Teorie uzlů

Teorie uzlů je studium matematické uzly. Inspirován uzly, které se v každodenním životě objevují na tkaničkách a provazech, uzel matematika se liší v tom, že konce jsou spojeny dohromady, takže jej nelze vrátit zpět. V přesném matematickém jazyce je uzel vkládání a kruh v trojrozměrném Euklidovský prostor, ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$. Dva matematické uzly jsou ekvivalentní, pokud lze jeden transformovat do druhého pomocí deformace ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ na sebe (známý jako okolní izotopy ); tyto transformace odpovídají manipulacím vázaného řetězce, které nezahrnují proříznutí řetězce nebo průchod řetězce skrz sebe.

Komplexy

Zjednodušený 3 komplex.

A zjednodušený komplex je topologický prostor určitého druhu, vytvořené "lepením dohromady" bodů, úsečky, trojúhelníky, a jejich n-dimenzionální protějšky (viz obrázek). Jednoduché komplexy by neměly být zaměňovány s abstraktnějším pojmem a zjednodušená sada objevující se v moderní teorii zjednodušené homotopy. Čistě kombinatorický protějšek zjednodušeného komplexu je abstraktní zjednodušený komplex.

A CW komplex je typ topologického prostoru zavedeného J. H. C. Whitehead vyhovět potřebám teorie homotopy. Tato třída prostorů je širší a má některé lepší kategorický vlastnosti než zjednodušené komplexy, ale stále si zachovává kombinatorickou povahu, která umožňuje výpočet (často s mnohem menším komplexem).

Metoda algebraických invariants

Starší název subjektu byl kombinatorická topologie, z čehož vyplývá důraz na to, jak byl prostor X konstruován z jednodušších^[2] (moderní standardní nástroj pro takovou konstrukci je CW komplex ). Ve dvacátých a třicátých letech minulého století rostl důraz na zkoumání topologických prostorů hledáním korespondence z nich na algebraické skupiny, což vedlo ke změně názvu na algebraickou topologii.^[3] Název kombinatorické topologie se stále někdy používá ke zdůraznění algoritmického přístupu založeného na rozkladu prostorů.^[4]

V algebraickém přístupu najdeme shodu mezi mezerami a skupiny který respektuje vztah homeomorfismus (nebo obecnější homotopy ) mezer. To umožňuje přepracovat výroky o topologických prostorech na výroky o skupinách, které mají velkou zvládnutelnou strukturu, což často usnadňuje prokazování těchto výroků. Dva hlavní způsoby, jak toho lze dosáhnout, jsou základní skupiny nebo obecněji teorie homotopy a skrz homologie a kohomologie skupiny. Základní skupiny nám poskytují základní informace o struktuře topologického prostoru, ale jsou to často nonabelian a může být obtížné s ním pracovat. Základní skupina (konečné) zjednodušený komplex má konečnou prezentace.

Homologické a kohomologické skupiny jsou naproti tomu abelianské a v mnoha důležitých případech definitivně generované. Konečně generované abelianské skupiny jsou zcela klasifikovány a je s nimi obzvlášť snadné pracovat.

Nastavení v teorii kategorií

Obecně platí, že všechny konstrukce algebraické topologie jsou funkční; pojmy kategorie, funktor a přirozená transformace vznikl zde. Základní skupiny a skupiny homologie a kohomologie nejsou jen invarianty základního topologického prostoru v tom smyslu, že dva topologické prostory, které jsou homeomorfní mají stejné přidružené skupiny, ale jejich přidružené morfismy také odpovídají - průběžné mapování prostorů indukuje a skupinový homomorfismus na přidružených skupinách a tyto homomorfismy lze použít k zobrazení neexistence (nebo mnohem hlouběji existence) mapování.

Jedním z prvních matematiků, kteří pracovali s různými typy kohomologie, byl Georges de Rham. Lze použít diferenciální strukturu hladké potrubí přes de Rhamova kohomologie nebo Čech nebo svazek kohomologie zkoumat řešitelnost diferenciální rovnice definované na příslušném potrubí. De Rham ukázal, že všechny tyto přístupy spolu souvisejí a že u uzavřeného a orientovaného potrubí jsou čísla Betti odvozená zjednodušenou homologií stejná čísla Betti jako čísla odvozená prostřednictvím de Rhamovy kohomologie. Toto bylo prodlouženo v padesátých letech, kdy Samuel Eilenberg a Norman Steenrod zobecnil tento přístup. Definovali homologii a kohomologii jako funktory vybaven přirozené transformace podléhající určitým axiómům (např. a slabá rovnocennost mezer přechází na izomorfismus skupin homologie), ověřil, že všechny existující (ko) homologické teorie vyhovovaly těmto axiomům, a poté dokázal, že taková axiomatizace jedinečně charakterizovala teorii.

Aplikace algebraické topologie

Klasické aplikace algebraické topologie zahrnují:

• The Brouwerova věta o pevném bodě: každý kontinuální mapa z jednotky n-disk sama o sobě má pevný bod.
• Zdarma hodnost n-tá homologická skupina a zjednodušený komplex je n-th Betti číslo, což umožňuje vypočítat Euler – Poincaréova charakteristika.
• Lze použít diferenciální strukturu hladké potrubí přes de Rhamova kohomologie nebo Čech nebo svazek kohomologie zkoumat řešitelnost diferenciální rovnice definované na příslušném potrubí.
• Rozdělovač je orientovatelný když je top-dimenzionální integrální homologická skupina celá čísla, a je neorientovatelná, když je 0.
• The n-koule připouští nikde nezmizející spojitou jednotku vektorové pole kdyby a jen kdyby n je zvláštní. (Pro ${displaystyle n = 2}$, tomu se někdy říká „teorém o chlupaté kouli ".)
• The Borsuk – Ulamova věta: jakákoli souvislá mapa z n- koule do Euklidea n-prostor identifikuje alespoň jeden pár antipodálních bodů.
• Jakákoli podskupina a volná skupina je zdarma. Tento výsledek je docela zajímavý, protože tvrzení je čistě algebraické, ale nejjednodušší známý důkaz je topologický. Jmenovitě každá volná skupina G lze realizovat jako základní skupinu a graf X. Hlavní věta o pokrývající prostory nám říká, že každá podskupina H z G je základní skupina nějakého krycího prostoru Y z X; ale každý takový Y je opět graf. Proto je jeho základní skupina H je zdarma. Na druhou stranu je s tímto typem aplikace jednodušší manipulace pomocí krycích morfismů grupoidy a tato technika přinesla věty podskupin, které dosud nebyly prokázány metodami algebraické topologie; vidět Higgins (1971).
• Topologická kombinatorika.

Pozoruhodné algebraické topologové

Důležité věty v algebraické topologii

Viz také

Poznámky

Reference

• Allegretti, Dylan G. L. (2008), Zjednodušené množiny a van Kampenova věta (Diskutuje o zobecněných verzích van Kampenovy věty aplikovaných na topologické prostory a zjednodušené množiny).
• Bredon, Glen E. (1993), Topologie a geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 139Springer, ISBN  0-387-97926-3.
• Brown, R. (2007), Teorie vyšších dimenzionálních grup (Poskytuje široký pohled na vícerozměrné van Kampenovy věty zahrnující více grupoidů).
• Brown, R .; Razak, A. (1984), „Van Kampenova věta pro odbory nepřipojených prostorů“, Archiv. Matematika., 42: 85–88, doi:10.1007 / BF01198133. "Poskytuje obecnou větu o základní grupoid se sadou základních bodů prostoru, což je unie otevřených množin. “
• Brown, R .; Hardie, K .; Kamps, H .; Porter, T. (2002), „Homotopický dvojitý grupoid Hausdorffova prostoru“, Teorie Appl. Kategorie, 10 (2): 71–93.
• Brown, R .; Higgins, P. J. (1978), „O spojení mezi druhou relativní homotopickou skupinou některých souvisejících prostorů“, Proc. London Math. Soc., S3-36 (2): 193–212, doi:10,1112 / plms / s3-36.2.193. „První 2-dimenzionální verze van Kampenovy věty.“
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J .; Sivera, Rafael (2011), Nonabelianská algebraická topologie: filtrované prostory, zkřížené komplexy, kubické homotopy grupoidy, Evropská matematická společnost Tracts in Mathematics, 15Evropská matematická společnost, ISBN  978-3-03719-083-8, archivovány z originál dne 4. 6. 2009 To poskytuje homotopický teoretický přístup k základní algebraické topologii, aniž byste potřebovali základ singulární homologie, nebo metoda zjednodušené aproximace. Obsahuje spoustu materiálu zkřížené moduly.
• Fraleigh, John B. (1976), První kurz v abstraktní algebře (2. vyd.), Čtení: Addison-Wesley, ISBN  0-201-01984-1
• Greenberg, Marvin J.; Harper, John R. (1981), Algebraická topologie: první kurz, přepracované vydáníSérie přednášek z matematiky, Westview / Perseus, ISBN  9780805335576. Funktorický, algebraický přístup původně od Greenberga s geometrickou příchutí přidanou Harperem.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0. Moderní, geometricky ochucený úvod do algebraické topologie.
• Higgins, Philip J. (1971), Poznámky ke kategoriím a grupoidům, Van Nostrand Reinhold, ISBN  9780442034061
• Maunder, C. R. F. (1970), Algebraická topologie, Londýn: Van Nostrand Reinhold, ISBN  0-486-69131-4.
• Tom Dieck, Tammo (2008), Algebraická topologie Učebnice EMS z matematiky, Evropská matematická společnost, ISBN  978-3-03719-048-7
• van Kampen, Egbert (1933), „O spojení mezi základními skupinami některých souvisejících prostorů“, American Journal of Mathematics, 55 (1): 261–7, JSTOR  51000091
• „Van Kampenova věta“. PlanetMath.
• „Výsledek Van Kampenovy věty“. PlanetMath.

Další čtení

• Hatcher, Allen (2002). Algebraická topologie. Cambridge University Press. ISBN  0-521-79160-X. a ISBN  0-521-79540-0.
• "Algebraická topologie", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Květen JP (1999). Stručný kurz v algebraické topologii (PDF). University of Chicago Press. Citováno 2008-09-27. Oddíl 2.7 poskytuje teoreticko-teoretickou prezentaci věty jako kolimitu v kategorii grupoidů.