Morfismus - Morphism

v matematika, zejména v teorie kategorií, a morfismus zachovává strukturu mapa od jednoho matematická struktura na jiný stejného typu. Pojem morfismus se opakuje ve většině současné matematiky. v teorie množin, morfismy jsou funkce; v lineární algebra, lineární transformace; v teorie skupin, skupinové homomorfismy; v topologie, spojité funkce, a tak dále.

v teorie kategorií, morfismus je široce podobná myšlenka: zapojené matematické objekty nemusí být množinami a vztahy mezi nimi mohou být něčím jiným než mapami, i když morfismy mezi objekty dané kategorie se musí chovat podobně jako mapy v tom, že musí připustit asociativní operace podobný složení funkce. Morfismus v teorii kategorií je abstrakcí a homomorfismus.[1]

Studium morfismů a struktur (nazývaných „objekty“), nad nimiž jsou definovány, je ústředním bodem teorie kategorií. Hodně z terminologie morfismů, stejně jako intuice, která je jejich základem, pochází konkrétní kategorie, Kde předměty jsou prostě sady s nějakou další strukturou, a morfismy jsou funkce zachovávající strukturu. V teorii kategorií se morfismy někdy nazývají také šipky.

Definice

A kategorie C se skládá ze dvou třídy, jeden z předměty a druhý z morfismy. S každým morfismem jsou spojeny dva objekty: zdroj a cílová. Morfismus F se zdrojem X a cíl Y je psáno F : X → Y, a je reprezentován schematicky znakem Šíp z X na Y.

Pro mnoho běžných kategorií jsou objekty sady (často s nějakou další strukturou) a morfismy jsou funkce z objektu do jiného objektu. Proto se často nazývá zdroj a cíl morfismu doména a codomain resp.

Morfismy jsou vybaveny a částečná binární operace, volala složení. Složení dvou morfismů F a G je definován přesně, když je cíl F je zdrojem Ga je označen G ∘ F (nebo někdy jednoduše gf). Zdroj G ∘ F je zdrojem Fa cíl G ∘ F je cílem G. Složení splňuje dva axiomy:

Identita
Pro každý objekt X, existuje morfismus idX : X → X volal morfismus identity na X, tak, že pro každý morfismus F : A → B máme idB ∘ F = F = F ∘ idA.
Asociativita
h ∘ (G ∘ F) = (h ∘ G) ∘ F kdykoli jsou definovány všechny kompozice, tj. když je cíl F je zdrojem Ga cíl G je zdrojem h.

Pro konkrétní kategorii (kategorie, ve které jsou objekty sady, případně s další strukturou a morfismy jsou funkce zachovávající strukturu), je morfismus identity jen funkce identity a složení je prostě obyčejné složení funkcí.

Složení morfismů je často reprezentováno a komutativní diagram. Například,

Komutativní diagram pro morphism.svg

Sbírka všech morfismů z X na Y je označen HomC(X,Y) nebo jednoduše Hom (X, Y) a zavolal domovská sada mezi X a Y. Někteří autoři píší MorC(X,Y), Mor (X, Y) nebo C (X, Y). Všimněte si, že termín hom-set je něco nesprávného pojmenování, protože kolekce morfismů nemusí být set. Kategorie, kde Hom (X, Y) je sada pro všechny objekty X a Y je nazýván místně malý.

Všimněte si, že doména a codomain jsou ve skutečnosti součástí informací určujících morfismus. Například v kategorie sad, kde morfismy jsou funkce, mohou být dvě funkce identické jako množiny uspořádaných párů (mohou mít stejné rozsah ), přičemž má různé domény. Tyto dvě funkce jsou odlišné z hlediska teorie kategorií. Mnoho autorů tedy vyžaduje, aby hom-třídy Hom (X, Y) být disjunktní. V praxi to není problém, protože pokud tato disjunktivita neplatí, lze ji zajistit připojením domény a codomain k morfismům (řekněme jako druhá a třetí složka uspořádané trojice).

Některé speciální morfismy

Monomorfismy a epimorfismy

Morfismus F: X → Y se nazývá a monomorfismus -li F ∘ G1 = F ∘ G2 naznačuje G1 = G2 pro všechny morfismy G1, G2: Z → X. Monomorfismus lze nazvat a mono zkrátka a můžeme použít monic jako přídavné jméno.[2]

  • Morfismus F má vlevo inverzní pokud existuje morfismus G: Y → X takhle G ∘ F = idX. Levá inverze G se také nazývá a odvolání z F.[2] Morfismy s levými inverzemi jsou vždy monomorfismy, ale obrácení není obecně pravdivé; monomorfismus nemusí mít levou inverzní funkci.
  • A rozdělený monomorfismus h: X → Y je monomorfismus s levou inverzí G: Y → X, aby G ∘ h = idX. Tím pádem h ∘ G: Y → Y je idempotentní; to je, (h ∘ G)2 = h ∘ (G ∘ h) ∘ G = h ∘ G.
  • v konkrétní kategorie, funkce, která má levou inverzní funkci, je injekční. V konkrétních kategoriích jsou tedy monomorfismy často, ale ne vždy, injektivní. Podmínka být injekcí je silnější než podmínka monomorfismu, ale slabší než podmínka být rozděleným monomorfismem.

Duálně k monomorfismům, morfismu F: X → Y se nazývá epimorfismus -li G1 ∘ F = G2 ∘ F naznačuje G1 = G2 pro všechny morfismy G1, G2: Y → Z. Epimorfismus lze nazvat epi zkrátka a můžeme použít epické jako přídavné jméno.[2]

  • Morfismus F má pravý inverzní pokud existuje morfismus G: Y → X takhle F ∘ G = idY. Správná inverze G se také nazývá a sekce z F.[2] Morfismy, které mají správnou inverzi, jsou vždy epimorfizmy, ale obrácení není obecně pravdivé, protože epimorfismus nemusí mít správnou inverzi.
  • A split epimorfismus je epimorfismus se správnou inverzí. Pokud monomorfismus F rozdělí se s levou inverzí G, pak G je split epimorfismus se správnou inverzí F.
  • v konkrétní kategorie, funkce, která má pravou inverzi, je surjektivní. V konkrétních kategoriích jsou tedy epimorfismy často, ale ne vždy, surjektivní. Podmínka být surjection je silnější než podmínka být epimorfismem, ale slabší než podmínka být split epimorfismem. V kategorie sad, tvrzení, že každé surjection má sekci, je ekvivalentní s axiom volby.

Morfismus, který je epimorfismem i monomorfismem, se nazývá a bimorfismus.

Izomorfismy

Morfismus F: X → Y se nazývá izomorfismus pokud existuje morfismus G: Y → X takhle F ∘ G = idY a G ∘ F = idX. Pokud má morfismus obě inverze doleva a doprava, pak jsou obě inverze stejné, takže F je izomorfismus a G se nazývá jednoduše inverzní z F. Inverzní morfismy, pokud existují, jsou jedinečné. Inverzní G je také izomorfismus, s inverzní F. Dva objekty s izomorfismem jsou mezi nimi izomorfní nebo ekvivalent.

Zatímco každý izomorfismus je bimorfismus, bimorfismus nemusí být nutně izomorfismus. Například v kategorii komutativní prsteny začlenění Z → Q je bimorfismus, který není izomorfismem. Jakýkoli morfismus, který je epimorfismem a rozdělit monomorfismus, nebo jak monomorfismus, tak a rozdělit epimorfismus, musí být izomorfismus. Kategorie, například Soubor, ve kterém je každý bimorfismus isomorfismem, se nazývá a vyvážená kategorie.

Endomorfismy a automorfismy

Morfismus F: X → X (tj. morfismus se stejným zdrojem a cílem) je endomorfismus z X. A split endomorfismus je idempotentní endomorfismus F -li F připouští rozklad F = h ∘ G s G ∘ h = id. Zejména Karoubi obálka kategorie rozděluje každý idempotentní morfismus.

An automorfismus je morfismus, který je jak endomorfismem, tak izomorfismem. V každé kategorii tvoří automorfismy objektu vždy a skupina, nazvaný skupina automorfismu objektu.

Příklady

Další příklady najdete v záznamu teorie kategorií.

Viz také

Poznámky

  1. ^ "morfismus". nLab. Citováno 2019-06-12.
  2. ^ A b C d Jacobson (2009), s. 15.

Reference

externí odkazy