Sylowovy věty - Sylow theorems

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopadu 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice, konkrétně v oboru teorie konečných grup, Sylowovy věty jsou sbírkou věty pojmenoval podle norského matematika Peter Ludwig Sylow (1872 ), které poskytují podrobné informace o počtu podskupiny pevné objednat že dané konečná skupina obsahuje. Sylowovy věty tvoří základní součást teorie konečných grup a mají velmi důležité aplikace v klasifikace konečných jednoduchých skupin.

Pro prvočíslo str, a Sylow str- podskupina (někdy str- Malá podskupina) skupiny G je maximum str- podskupina G, tj. podskupina G to je str-skupina (aby objednat každého prvku skupiny je a Napájení z str) to není správná podskupina žádné jiné str- podskupina G. Sada všech Sylow str- podskupiny pro dané prvočíslo str je někdy psáno Syl_str(G).

Sylowovy věty tvrdí částečnou konverzaci Lagrangeova věta. Lagrangeova věta říká, že pro každou konečnou skupinu G pořadí (počet prvků) každé podskupiny G rozdělí pořadí G. Sylowovy věty uvádějí, že pro každého hlavní faktor str řádu konečné skupiny G, existuje Sylow str- podskupina G řádu strⁿ, nejvyšší síla str který rozděluje pořadí G. Navíc každá podskupina objednávky strⁿ je Sylow str- podskupina Ga Sylow str-skupiny skupiny (pro dané prvočíslo str) jsou sdružené navzájem. Dále počet Sylow str-skupiny skupiny pro dané prvočíslo str je shodný s 1 mod str.

Věty

Kolekce podskupin, které jsou v maximálním či jiném smyslu maximální, jsou v teorii skupin běžné. Překvapivým výsledkem je, že v případě Syl_str(G), všichni členové jsou ve skutečnosti izomorfní navzájem a mají největší možné pořadí: pokud |G| = strⁿm s n > 0 kde str nerozděluje m, pak každý Sylow str- podskupina P má objednávku |P| = strⁿ. To znamená, P je str-skupina a gcd(|G : P|, str) = 1. Tyto vlastnosti lze využít k další analýze struktury G.

Následující věty byly poprvé navrženy a prokázány Ludwigem Sylowem v roce 1872 a publikovány v Mathematische Annalen.

Věta 1: Pro každého hlavní faktor str s multiplicita n řádu konečné skupiny G, existuje Sylow str- podskupina Gobjednávky strⁿ.

Následující slabší verze věty 1 byla nejprve prokázána Augustin-Louis Cauchy a je znám jako Cauchyova věta.

Důsledek: Vzhledem k omezené skupině G a prvočíslo str dělení pořadí G, pak existuje prvek (a tedy podskupina) řádu str v G.^[1]

Věta 2: Vzhledem k omezené skupině G a prvočíslo str, všichni Sylow str- podskupiny G jsou sdružené navzájem, tj. pokud H a K. jsou Sylow str- podskupiny G, pak existuje prvek G v G s G⁻¹Hg = K..

Věta 3: Nechte str být hlavním faktorem s multiplicitou n řádu konečné skupiny G, takže pořadí G lze psát jako strⁿm, kde n > 0 a str nerozděluje m. Nechat n_str být počet Sylow str- podskupiny G. Pak platí následující:

• n_str rozděluje m, který je index Sylow str-podskupina v G.
• n_str ≡ 1 (modstr).
• n_str = |G : N_G(P) |, kde P je jakýkoli Sylow str- podskupina G a N_G označuje normalizátor.

Důsledky

Věty Sylow naznačují, že pro prvočíslo str každý Sylow str-podskupina je stejného řádu, strⁿ. Naopak, pokud má podskupina objednávku strⁿ, pak je to Sylow str-skupina, a tak je isomorfní pro všechny ostatní Sylow str- podskupina. Vzhledem k podmínce maximality, pokud H je jakýkoli str- podskupina G, pak H je podskupina a str- podskupina objednávky strⁿ.

Velmi důležitým důsledkem Věty 2 je tato podmínka n_str = 1 je ekvivalentní k tomu, že říká, že Sylow str- podskupina G je normální podskupina (existují skupiny, které mají normální podskupiny, ale žádné normální podskupiny Sylow, jako např S₄).

Sylowovy věty pro nekonečné skupiny

Existuje analogie Sylowových vět pro nekonečné skupiny. Definujeme Sylow str-podskupina v nekonečné skupině být a str-subgroup (to znamená, že každý prvek v něm má str-power order), což je maximální pro zahrnutí mezi všechny str-skupiny ve skupině. Takové podskupiny existují do Zornovo lemma.

Teorém: Pokud K. je Sylow str- podskupina G, a n_str = | Cl (K.) | je konečný, pak každý Sylow str-podskupina je konjugovaná s K., a n_str ≡ 1 (modstr), kde Cl (K.) označuje třídu konjugace K..

Příklady

v D₆ všechny odrazy jsou konjugované, protože odrazy odpovídají 2 podskupinám Sylow.

Jednoduchá ilustrace podskupin Sylow a věty Sylow jsou dihedrální skupina z n-gon, D_2n. Pro n liché, 2 = 2¹ je nejvyšší síla 2 dělící pořadí, a tedy podskupiny řádu 2 jsou podskupiny Sylow. Jedná se o skupiny generované odrazem, kterých existuje n, a všechny jsou konjugovány v rotacích; geometricky procházejí osy symetrie vrcholem a stranou.

v D₁₂ odrazy již neodpovídají 2 podskupinám Sylow a spadají do dvou tříd konjugace.

Naopak, pokud n je sudé, pak 4 dělí pořadí skupiny a podskupiny řádu 2 již nejsou podskupinami Sylow a ve skutečnosti spadají do dvou tříd konjugace, geometricky podle toho, zda procházejí dvěma vrcholy nebo dvěma plochami. Ty jsou spojeny pomocí vnější automorfismus, které lze znázornit rotací přes π /n, polovina minimální rotace ve skupině vzepětí.

Dalším příkladem jsou p podskupiny Sylow z GL₂(F_q), kde str a q jsou prvočísla ≥ 3 a str ≡ 1 (modq), které jsou všechny abelian. Pořadí GL₂(F_q) je (q² − 1)(q² − q) = (q)(q + 1)(q − 1)². Od té doby q = strⁿm + 1, pořadí GL₂(F_q) = str²ⁿ m′. Věta 1, řád Sylow str-skupiny jsou str²ⁿ.

Jedna taková podskupina P, je sada diagonálních matic ${ displaystyle { begin {bmatrix} x ^ {im} & 0 0 & x ^ {jm} end {bmatrix}}}$, X je jakýkoli primitivní kořen z F_q. Vzhledem k pořadí F_q je q - 1, jeho primitivní kořeny mají řád q - 1, z čehož vyplývá, že X^{(q − 1)/strn} nebo X^m a všechny její síly mají řád, který je siloustr. Tak, P je podskupina, kde všechny její prvky mají příkazy, které jsou pravomocístr. Existují strⁿ možnosti pro oba A a b, výroba |P| = str²ⁿ. To znamená P je Sylow str-subgroup, což je abelian, protože dojíždějí všechny diagonální matice, a protože věta 2 uvádí, že všechny Sylow str- podskupiny jsou navzájem konjugovány, Sylow str- podskupiny GL₂(F_q) jsou všichni abelian.

Ukázkové aplikace

Vzhledem k tomu, že Sylowova věta zajišťuje existenci p-podskupin konečné skupiny, stojí za to podrobněji studovat skupiny nejvyššího řádu. Většina příkladů používá Sylowovu větu k prokázání, že skupina určitého řádu není jednoduchý. Pro skupiny malých řádů je podmínka shody Sylowovy věty často dostatečná k vynucení existence a normální podskupina.

Příklad-1

Skupiny objednávek pq, str a q připravuje s str < q.

Příklad-2

Skupina objednávky 30, skupiny objednávky 20, skupiny objednávky str²q, str a q zřetelné připraví jsou některé aplikace.

Příklad-3

(Skupiny objednávky 60): Pokud je objednávka |G| = 60 a G má tedy více než jednu podskupinu Sylow 5 G je jednoduchý.

Cyklické skupinové objednávky

Některá nepočáteční čísla n jsou takové, že každá skupina řádu n je cyklický. Jeden to může ukázat n = 15 je takové číslo pomocí věty Sylow: Let G být skupina řádu 15 = 3,5 a n₃ být počet 3 podskupin Sylow. Pak n₃ ${ displaystyle mid}$ 5 a n₃ ≡ 1 (mod 3). Jedinou hodnotou splňující tato omezení je 1; proto existuje pouze jedna podskupina řádu 3 a musí to být normální (protože nemá žádné odlišné konjugáty). Podobně, n₅ musí rozdělit 3 a n₅ musí se rovnat 1 (mod 5); proto musí mít také jednu normální podskupinu řádu 5. Protože 3 a 5 jsou coprime, průsečík těchto dvou podskupin je triviální atd G musí být interní přímý produkt ze skupin řádu 3 a 5, to je cyklická skupina řádu 15. Existuje tedy pouze jedna skupina řádu 15 (až do izomorfismus).

Malé skupiny nejsou jednoduché

Složitější příklad zahrnuje pořadí nejmenších jednoduchá skupina to není cyklický. Burnside je str^A q^b teorém uvádí, že je-li pořadí skupiny součinem jedné nebo dvou hlavní síly, pak je řešitelný, a tak skupina není jednoduchá, nebo je v hlavním řádu a je cyklická. To vylučuje každou skupinu až do objednávky 30 (= 2 · 3 · 5).

Li G je jednoduché a |G| = 30, tedy n₃ musí dělit 10 (= 2,5) a n₃ musí se rovnat 1 (mod 3). Proto, n₃ = 10, protože ani 4 ani 7 nedělí 10, a pokud n₃ = 1 pak, jak je uvedeno výše, G by měl normální podskupinu řádu 3 a nemohl by být jednoduchý. G pak má 10 odlišných cyklických podskupin řádu 3, z nichž každá má 2 prvky řádu 3 (plus identitu). To znamená G má alespoň 20 odlišných prvků řádu 3.

Také, n₅ = 6, protože n₅ musí rozdělit 6 (= 2,3) a n₅ musí se rovnat 1 (mod 5). Tak G má také 24 odlišných prvků řádu 5. Ale pořadí G je pouze 30, takže jednoduchá skupina řádu 30 nemůže existovat.

Dále předpokládejme |G| = 42 = 2 · 3 · 7. Tady n₇ musí rozdělit 6 (= 2,3) a n₇ musí se rovnat 1 (mod 7), takže n₇ = 1. Takže, stejně jako dříve, G nemůže být jednoduché.

Na druhou stranu pro |G| = 60 = 2² · Potom 3,5 n₃ = 10 a n₅ = 6 je naprosto možné. A ve skutečnosti je nejmenší jednoduchá necyklická skupina A₅, střídavá skupina více než 5 prvků. Má objednávku 60 a má 24 cyklické permutace objednávky 5 a 20 objednávky 3.

Wilsonova věta

Část Wilsonova věta tvrdí, že

${ displaystyle (p-1)! ekviv -1 { pmod {p}}}$

za každou premiéru str. Dalo by se snadno dokázat tuto větu Sylowovou třetí větou. Ve skutečnosti si všimněte toho čísla n_str Sylow str-skupiny v symetrické skupině S_str je (str - 2) !. Na druhou stranu, n_str ≡ 1 (modstr). Proto, (str - 2)! ≡ 1 (modstr). Tak, (str - 1)! ≡ −1 (modstr).

Výsledky fúze

Frattiniho argument ukazuje, že podskupina Sylow normální podskupiny poskytuje faktorizaci konečné skupiny. Mírné zobecnění známé jako Burnsideova fúzní věta uvádí, že pokud G je konečná skupina se Sylowem str- podskupina P a dvě podmnožiny A a B normalizováno P, pak A a B jsou G-konjugovat, pokud a jen pokud jsou N_G(P)-sdružené. Důkazem je jednoduchá aplikace Sylowovy věty: If B=A^G, pak normalizátor B obsahuje nejen P ale také P^G (od té doby P^G je obsažen v normalizátoru A^G). Podle Sylowovy věty P a P^G jsou konjugovány nejen v G, ale v normalizátoru B. Proto gh⁻¹ normalizuje P pro některé h který se normalizuje B, a pak A^gh−1 = B^h−1 = B, aby A a B jsou N_G(P)-sdružené. Burnsideovu fúzní teorém lze použít k získání výkonnější faktorizace zvané a polopřímý produkt: pokud G je konečná skupina, jejíž Sylow str- podskupina P je tedy obsažen ve středu svého normalizátoru G má normální podskupinu K. objednávky coprime do P, G = PK a P∩K. = {1}, to znamená, G je str-nilpotent.

Mezi méně triviální aplikace vět Sylow patří fokální podskupinová věta, který studuje kontrolu a Sylow str- podskupina odvozená podskupina má na strukturu celé skupiny. Tato kontrola je využívána v několika fázích klasifikace konečných jednoduchých skupin, a například definuje dělení případů použité v Alperin – Brauer – Gorensteinova věta klasifikace konečná jednoduché skupiny jehož 2 podskupina Sylow je a kvazi-dihedrální skupina. Ty se spoléhají na J. L. Alperin posílení konjugační části Sylowovy věty, aby bylo možné řídit, jaké druhy prvků se v konjugaci používají.

Důkaz vět Sylow

Věty Sylow byly prokázány mnoha způsoby a historie samotných důkazů je předmětem mnoha prací, včetně (Waterhouse 1980 ), (Scharlau 1988 ), (Casadio & Zappa 1990 ), (Gow 1994 ) a do určité míry (Meo 2004 ).

Jeden důkaz věty Sylow využívá představu skupinová akce různými kreativními způsoby. Skupina G jedná sama o sobě nebo na množině svých str-skupiny různými způsoby a každou takovou akci lze využít k prokázání jedné ze Sylowových vět. Následující důkazy jsou založeny na kombinatorických argumentech (Wielandt 1959 ). V následujícím textu používáme A ${ displaystyle mid}$ b jako zápis pro „a dělí b“ a A ${ displaystyle nmid}$ b pro popření tohoto tvrzení.

Věta 1: Konečná skupina G jehož objednávka |G| je dělitelná hlavní mocí str^k má podskupinu objednávky str^k.

Důkaz: Nechť |G| = str^km = p^{k + r}u takhle str ${ displaystyle nmid}$ ua nechť Ω označuje množinu podmnožin G velikosti str^k. G činy na Ω násobením vlevo: G⋅ω = { gx | X ∈ ω}. Pro danou množinu ω ∈ Ω zapište G_ω pro jeho podskupina stabilizátorů {G ∈ G | G⋅ω = ω} a Gω pro jeho obíhat {G⋅ω | G ∈ G} v Ω.

Důkaz ukáže existenci nějakého ω ∈ Ω, pro které G_ω má str^k prvky poskytující požadovanou podskupinu. Toto je maximální možná velikost podskupiny stabilizátorů G_ω, protože pro jakýkoli pevný prvek α ∈ ω ⊆ G, obraz uživatele G_ω pod bijektivní mapou G → G násobení doprava α (G ↦ Ga) je obsažen v ω; proto |G_ω| ≤ | ω | = str^k.

Podle věta o stabilizátoru oběžné dráhy máme |G_ω| |Gω | = |G| pro každý ω ∈ Ω, a proto pomocí aditivní p-adic ocenění ν_str, který počítá počet faktorů str, jeden má ν_str(|G_ω|) + ν_str(|Gω |) = ν_str(|G|) = k + r. To znamená, že pro ty ω s |G_ω| = str^k, ty, které hledáme, máme ν_str(|Gω |) = r, zatímco pro jakýkoli jiný ω jeden má ν_str(|Gω |)> r (jako 0 <|G_ω| < str^k naznačuje ν_str(|Gω |) < k). Protože | Ω | je součet |Gω | na všech odlišných drahách Gω, lze ukázat existenci ω bývalého typu tím, že to ukážeme ν_str(| Ω |) = r (pokud by žádný neexistoval, toto ocenění by překročilo r). Toto je příklad Kummerova věta (od základny str zápis číslo |G| končí přesně k + r číslice nula, odečítání str^k z toho zahrnuje nosení r místa) a lze je také zobrazit jednoduchým výpočtem:

${ displaystyle | Omega | = {p ^ {k} m zvolit p ^ {k}} = prod _ {j = 0} ^ {p ^ {k} -1} { frac {p ^ {k } mj} {p ^ {k} -j}} = m prod _ {j = 1} ^ {p ^ {k} -1} { frac {p ^ {k- nu _ {p} (j )} mj / p ^ { nu _ {p} (j)}} {p ^ {k- nu _ {p} (j)} - j / p ^ { nu _ {p} (j)} }}}$

a žádná síla str zůstává v některém z faktorů uvnitř produktu vpravo. Proto ν_str(| Ω |) = ν_str(m) = r, vyplnění důkazu.

Je možné poznamenat, že naopak každá podskupina H řádu str^k dává vznik množinám ω ∈ Ω, pro které G_ω = H, jmenovitě kterýkoli z m odlišné kosety Hg.

Lemma: Nechte G být konečný str-skupina, nechť Ω je konečná množina, nechť Ω_G být množina generovaná akcí G na všech prvcích Ω a nechť Ω₀ označme množinu bodů Ω_G které jsou stanoveny v rámci akce G. Pak | Ω_G| ≡ | Ω₀| (modstr).

Důkaz: Napište Ω_G jako disjunktní součet jeho oběžných drah pod G. Libovolný prvek X ∈ Ω_G není stanoveno G bude ležet na oběžné dráze řádu |G|/|G_X| (kde G_X označuje stabilizátor ), což je násobek str podle předpokladu. Výsledek následuje okamžitě.

Věta 2: Pokud H je str- podskupina G a P je Sylow str- podskupina G, pak existuje prvek G v G takhle G⁻¹Hg ≤ P. Zejména všechny Sylow str- podskupiny G jsou sdružené navzájem (a proto izomorfní ), tedy pokud H a K. jsou Sylow str- podskupiny G, pak existuje prvek G v G s G⁻¹Hg = K..

Důkaz: Nechť Ω je množina vlevo kosety z P v G a nechte H působte na Ω násobením vlevo. Uplatňování lemma na H na Ω, vidíme, že | Ω₀| ≡ | Ω | = [G : P] (modstr). Nyní str ${ displaystyle nmid}$ [G : P] podle definice ano str ${ displaystyle nmid}$ | Ω₀|, tedy zejména | Ω₀| ≠ 0, takže nějaké existují gP ∈ Ω₀. Z toho vyplývá, že pro některé G ∈ G a ∀ h ∈ H my máme hgP = gP tak G⁻¹HgP = P a proto G⁻¹Hg ≤ P. Teď když H je Sylow str-podskupina, |H| = |P| = |gPg⁻¹| aby H = gPg⁻¹ pro některé G ∈ G.

Věta 3: Nechte q označte objednávku jakéhokoli Sylow str- podskupina P konečné skupiny G. Nechat n_str označte číslo Sylow str- podskupiny G. Pak n_str = |G : N_G(P)|, n_str ${ displaystyle mid}$ |G|/q a n_str ≡ 1 (modstr), kde N_G(P) je normalizátor z P

Důkaz: Nechť Ω je množina všech Sylow str- podskupiny G a nechte G působte na Ω konjugací. Nechat P ∈ Ω být Sylow str- podskupina. Věrou o stabilizaci oběžné dráhy, n_str = [G : Bodnout_G(P)]. Bodnout_G(P) = { G ∈ G | gPg⁻¹ = P } = N_G (P), normalizátor P v G. Tím pádem, n_str = |G : N_G(P) | a z toho vyplývá, že toto číslo je dělitelem |G|/[G : P].
Teď nech P působte na Ω konjugací. Nechat Q ∈ Ω₀ a pak to pozorujte Q = xQx⁻¹ pro všechny X ∈ P aby P ≤ N_G(Q). Podle věty 2, P a Q jsou konjugovány v N_G(Q) zejména a Q je normální v N_G(Q), tak tedy P = Q. Z toho vyplývá, že Ω₀ = {P} takže pomocí Lemmy | | Ω | ≡ | Ω₀| = 1 (modstr).

Algoritmy

Problém nalezení podskupiny Sylow dané skupiny je důležitým problémem v teorie výpočetních grup.

Jeden důkaz o existenci Sylow str-subgroups je konstruktivní: if H je str- podskupina G a index [G:H] je dělitelné strpak normalizátor N = N_G(H) z H v G je také takový, že [N : H] je dělitelné str. Jinými slovy, polycyklický generující systém Sylow str-podskupinu lze najít spuštěním od libovolného str- podskupina H (včetně identity) a převzetí prvků str- objednávka energie obsažená v normalizátoru H ale ne v H sám. Algoritmická verze tohoto (a mnoho vylepšení) je popsána ve formě učebnice v (Butler 1991, Kapitola 16), včetně algoritmu popsaného v (Dělo 1971 ). Tyto verze se stále používají v Počítačový algebraický systém GAP.

v permutační skupiny, bylo prokázáno v (Kantor1985a, 1985b, 1990; Kantor & Taylor 1988 ) že Sylow str-subgroup a její normalizátor najdete v polynomiální čas vstupu (stupeň skupiny krát počet generátorů). Tyto algoritmy jsou popsány ve formě učebnice v (Seress 2003 ), a nyní se stávají praktickými, protože konstruktivní rozpoznávání konečných jednoduchých skupin se stává realitou. Zejména verze tohoto algoritmu se používají v Systém počítačové algebry Magma.

Viz také

Poznámky

Reference

• Sylow, L. (1872), „Théorèmes sur les groupes de substitutions“, Matematika. Ann. (francouzsky), 5 (4): 584–594, doi:10.1007 / BF01442913, JFM  04.0056.02

Důkazy

• Casadio, Giuseppina; Zappa, Guido (1990), „Historie věty Sylow a její důkazy“, Boll. Storia Sci. Rohož. (v italštině), 10 (1): 29–75, ISSN  0392-4432, PAN  1096350, Zbl  0721.01008
• Gow, Rod (1994), „Sylowův důkaz Sylowovy věty“, Irská matematika. Soc. Býk. (33): 55–63, ISSN  0791-5578, PAN  1313412, Zbl  0829.01011
• Kammüller, Florian; Paulson, Lawrence C. (1999), „Formální důkaz Sylowovy věty. Experiment v abstraktní algebře s Isabelle HOL“ (PDF), J. Automat. Důvod., 23 (3): 235–264, doi:10.1023 / A: 1006269330992, ISSN  0168-7433, PAN  1721912, Zbl  0943.68149, archivovány z originál (PDF) dne 03.01.2006
• Meo, M. (2004), „Matematický život Cauchyho věty o skupině“, Historia Math., 31 (2): 196–221, doi:10.1016 / S0315-0860 (03) 00003-X, ISSN  0315-0860, PAN  2055642, Zbl  1065.01009
• Scharlau, Winfried (1988), "Die Entdeckung der Sylow-Sätze", Historia Math. (v němčině), 15 (1): 40–52, doi:10.1016/0315-0860(88)90048-1, ISSN  0315-0860, PAN  0931678, Zbl  0637.01006
• Waterhouse, William C. (1980), „Rané důkazy Sylowovy věty“, Oblouk. Hist. Přesné Sci., 21 (3): 279–290, doi:10.1007 / BF00327877, ISSN  0003-9519, PAN  0575718, Zbl  0436.01006
• Wielandt, Helmut (1959), „Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen“, Oblouk. Matematika. (v němčině), 10 (1): 401–402, doi:10.1007 / BF01240818, ISSN  0003-9268, PAN  0147529, Zbl  0092.02403

Algoritmy

• Butler, G. (1991), Základní algoritmy pro permutační skupiny, Přednášky z informatiky, 559, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/3-540-54955-2, ISBN  978-3-540-54955-0, PAN  1225579, Zbl  0785.20001
• Cannon, John J. (1971), „Výpočet místní struktury velkých konečných skupin“, Počítače v algebře a teorii čísel (Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Matematika., New York, 1970), SIAM-AMS Proc., 4, Providence, RI: AMS, s. 161–176, ISSN  0160-7634, PAN  0367027, Zbl  0253.20027
• Kantor, William M. (1985a), „Algoritmy polynomiálního času pro hledání prvků podskupin nejvyššího řádu a Sylow“ (PDF), J. Algoritmy, 6 (4): 478–514, CiteSeerX  10.1.1.74.3690, doi:10.1016 / 0196-6774 (85) 90029-X, ISSN  0196-6774, PAN  0813589, Zbl  0604.20001
• Kantor, William M. (1985b), „Sylowova věta v polynomiálním čase“, J. Comput. Syst. Sci., 30 (3): 359–394, doi:10.1016/0022-0000(85)90052-2, ISSN  1090-2724, PAN  0805654, Zbl  0573.20022
• Kantor, William M .; Taylor, Donald E. (1988), „Polynomiální verze Sylowovy věty“, J. Algoritmy, 9 (1): 1–17, doi:10.1016/0196-6774(88)90002-8, ISSN  0196-6774, PAN  0925595, Zbl  0642.20019
• Kantor, William M. (1990), "Hledání normalizátorů Sylow v polynomiálním čase", J. Algoritmy, 11 (4): 523–563, doi:10.1016/0196-6774(90)90009-4, ISSN  0196-6774, PAN  1079450, Zbl  0731.20005
• Seress, Ákos (2003), Algoritmy permutační skupiny„Cambridge Tracts in Mathematics“, 152, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-66103-4, PAN  1970241, Zbl  1028.20002

externí odkazy

• "Sylowovy věty", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Abstrakt Algebra / Skupinová teorie / Sylowovy věty na Wikibooks
• Weisstein, Eric W. „Sylow p-podskupina“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Sylowovy věty". MathWorld.