Seznam malých skupin - List of small groups

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Seznam malých skupin"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Říjen 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Následující seznam v matematika obsahuje konečné skupiny malých objednat až do skupinový izomorfismus.

Počty

Pro ${ displaystyle n = 1,2, tečky}$ počet neizomorfních skupin řádu ${ displaystyle n}$ je

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... (sekvence A000001 v OEIS )

Skupiny se štítky viz OEIS: A034383.

Glosář

Každá skupina je pojmenována podle jejich Knihovna malých skupin jako G._Óⁱ, kde Ó je pořadí skupiny a i je index skupiny v tomto pořadí.

Běžné názvy skupin:

• Z_n: cyklická skupina řádu n (notace C_n je také používán; je izomorfní s aditivní skupina z Z/nZ).
• Dih_n: dihedrální skupina objednávky 2n (často notace D_n nebo D._2n se používá )
  • K.₄: Kleinova čtyřčlenná skupina řádu 4, stejně jako Z₂ × Z.₂ a Dih₂.
• S_n: symetrická skupina stupně n, obsahující n! obměny z n elementy.
• A_n: střídavá skupina stupně n, obsahující dokonce i obměny z n prvků, řádu 1 pro n = 0, 1a objednat n! / 2 jinak.
• Dic_n nebo Q_4n: dicyklická skupina objednávky 4n.
  • Q₈: čtveřice skupina objednávky 8, také Dic₂.

Zápisy Z_n a Dih_n mít tu výhodu, že bodové skupiny ve třech rozměrech C_n a D._n nemají stejnou notaci. Je jich více izometrické skupiny než tito dva, stejného typu abstraktní skupiny.

Zápis G × H označuje přímý produkt ze dvou skupin; Gⁿ označuje přímý produkt skupiny sám se sebou n krát. G ⋊ H označuje a polopřímý produkt kde H jedná G; to může také záviset na volbě akce H na G

Abelian a jednoduché skupiny jsou zaznamenány. (Pro skupiny objednávek n < 60, jednoduché skupiny jsou přesně cyklické skupiny Z_npro nejlepší n.) Znaménko rovnosti ("=") označuje izomorfismus.

Prvek identity v cyklické grafy je reprezentován černým kruhem. Nejnižší řád, pro který graf cyklu jednoznačně nereprezentuje skupinu, je řád 16.

V seznamech podskupin není uvedena triviální skupina a samotná skupina. Pokud existuje několik izomorfních podskupin, je počet těchto podskupin uveden v závorkách.

Seznam malých abelianských skupin

Konečné abelianové skupiny jsou buď cyklické skupiny, nebo jejich přímé produkty; vidět abelianské skupiny Počet neizomorfních abelianských skupin řádů ${ displaystyle n = 1,2, tečky}$ jsou

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... (sekvence A000688 v OEIS )

Označené Abelianské skupiny viz OEIS: A034382.

Seznam všech abelianských skupin do objednávky 31

Objednat	ID	GÓi	Skupina	Netriviální vlastní podskupiny	Cyklus graf	Vlastnosti
1	1	G11	Z1 = S1 = A2	–		Triviální. Cyklický. Střídavě. Symetrický. Základní.
2	2	G21	Z2 = S2 = Dih1	–		Jednoduchý. Symetrický. Cyklický. Základní. (Nejmenší netriviální skupina.)
3	3	G31	Z3 = A3	–		Jednoduchý. Střídavě. Cyklický. Základní.
4	4	G41	Z4 = Dic1	Z2		Cyklický.
	5	G42	Z22 = K.4 = Dih2	Z2 (3)		Základní. Produkt. (Kleinova čtyřčlenná skupina. Nejmenší necyklická skupina.)
5	6	G51	Z5	–		Jednoduchý. Cyklický. Základní.
6	8	G62	Z6 = Z3 × Z.2[1]	Z3, Z2		Cyklický. Produkt.
7	9	G71	Z7	–		Jednoduchý. Cyklický. Základní.
8	10	G81	Z8	Z4, Z2		Cyklický.
	11	G82	Z4 × Z.2	Z22, Z4 (2), Z2 (3)		Produkt.
	14	G85	Z23	Z22 (7), Z2 (7)		Produkt. Základní. (Neidentifikační prvky odpovídají bodům v Fano letadlo, Z2 × Z.2 podskupiny k řádkům.)
9	15	G91	Z9	Z3		Cyklický.
	16	G92	Z32	Z3 (4)		Základní. Produkt.
10	18	G102	Z10 = Z5 × Z.2	Z5, Z2		Cyklický. Produkt.
11	19	G111	Z11	–		Jednoduchý. Cyklický. Základní.
12	21	G122	Z12 = Z4 × Z.3	Z6, Z4, Z3, Z2		Cyklický. Produkt.
	24	G125	Z6 × Z.2 = Z3 × Z.22	Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22		Produkt.
13	25	G131	Z13	–		Jednoduchý. Cyklický. Základní.
14	27	G142	Z14 = Z7 × Z.2	Z7, Z2		Cyklický. Produkt.
15	28	G151	Z15 = Z5 × Z.3	Z5, Z3		Cyklický. Produkt.
16	29	G161	Z16	Z8, Z4, Z2		Cyklický.
	30	G162	Z42	Z2 (3), Z4 (6), Z22, Z4 × Z.2 (3)		Produkt.
	33	G165	Z8 × Z.2	Z2 (3), Z4 (2), Z22, Z8 (2), Z4 × Z.2		Produkt.
	38	G1610	Z4 × Z.22	Z2 (7), Z4 (4), Z22 (7), Z23, Z4 × Z.2 (6)		Produkt.
	42	G1614	Z24 = K.42	Z2 (15), Z22 (35), Z23 (15)		Produkt. Základní.
17	43	G171	Z17	–		Jednoduchý. Cyklický. Základní.
18	45	G182	Z18 = Z9 × Z.2	Z9, Z6, Z3, Z2		Cyklický. Produkt.
	48	G185	Z6 × Z.3 = Z32 × Z.2	Z6, Z3, Z2		Produkt.
19	49	G191	Z19	–		Jednoduchý. Cyklický. Základní.
20	51	G202	Z20 = Z5 × Z.4	Z10, Z5, Z4, Z2		Cyklický. Produkt.
	54	G205	Z10 × Z.2 = Z5 × Z.22	Z5, Z2		Produkt.
21	56	G212	Z21 = Z7 × Z.3	Z7, Z3		Cyklický. Produkt.
22	58	G222	Z22 = Z11 × Z.2	Z11, Z2		Cyklický. Produkt.
23	59	G231	Z23	–		Jednoduchý. Cyklický. Základní.
24	61	G242	Z24 = Z8 × Z.3	Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2		Cyklický. Produkt.
	68	G249	Z12 × Z.2 = Z6 × Z.4 = Z4 × Z.3 × Z.2	Z12, Z6, Z4, Z3, Z2		Produkt.
	74	G2415	Z6 × Z.22 = Z3 × Z.23	Z6, Z3, Z2		Produkt.
25	75	G251	Z25	Z5		Cyklický.
	76	G252	Z52	Z5		Produkt. Základní.
26	78	G262	Z26 = Z13 × Z.2	Z13, Z2		Cyklický. Produkt.
27	79	G271	Z27	Z9, Z3		Cyklický.
	80	G272	Z9 × Z.3	Z9, Z3		Produkt.
	83	G275	Z33	Z3		Produkt. Základní.
28	85	G282	Z28 = Z7 × Z.4	Z14, Z7, Z4, Z2		Cyklický. Produkt.
	87	G284	Z14 × Z.2 = Z7 × Z.22	Z14, Z7, Z4, Z2		Produkt.
29	88	G291	Z29	–		Jednoduchý. Cyklický. Základní.
30	92	G304	Z30 = Z15 × Z.2 = Z10 × Z.3 = Z6 × Z.5 = Z5 × Z.3 × Z.2	Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2		Cyklický. Produkt.
31	93	G311	Z31	–		Jednoduchý. Cyklický. Základní.

Seznam malých neabelovských skupin

Počty neabelovských skupin podle pořadí se počítají podle (sekvence A060689 v OEIS Mnoho objednávek však nemá žádné neabelovské skupiny. Objednávky, pro které existuje neabelská skupina, jsou

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (sekvence A060652 v OEIS )

Seznam všech neabelských skupin do objednávky 31

Objednat	ID	GÓi	Skupina	Netriviální vlastní podskupiny	Cyklus graf	Vlastnosti
6	7	G61	Dih3 = S3 = D6	Z3, Z2 (3)		Vzepětí skupina, nejmenší neabelovská skupina, symetrická skupina, Frobeniova skupina
8	12	G83	Dih4 = D8	Z4, Z22 (2), Z2 (5)		Vzepětí skupina. Mimořádná skupina. Nilpotentní.
	13	G84	Q8 = Dic2 = <2,2,2>[je zapotřebí objasnění ]	Z4 (3), Z2		Čtveřice skupina, Hamiltonovská skupina. všechny podskupiny jsou normální aniž by skupina byla abelian. Nejmenší skupina G demonstrovat to pro normální podskupinu H the kvocientová skupina G/H nemusí být izomorfní s podskupinou G. Mimořádná skupina Binární dihedrální skupina. Nilpotentní.
10	17	G101	Dih5 = D10	Z5, Z2 (5)		Vzepětí skupina, Frobenius skupina
12	20	G121	Q12 = Dic3 = <3,2,2> = Z3 ⋊ Z4	Z2, Z3, Z4 (3), Z6		Binární dihedrální skupina
	22	G123	A4 = K.4 ⋊ Z3 = (Z.2 × Z.2) ⋊ Z3	Z22, Z3 (4), Z2 (3)		Střídavá skupina. Žádné podskupiny řádu 6, ačkoli 6 rozděluje jeho pořadí. Skupina Frobenius
	23	G124	Dih6 = D12 = Dih3 × Z.2	Z6, Dih3 (2), Z22 (3), Z3, Z2 (7)		Dihedral skupina, produkt
14	26	G141	Dih7 = D14	Z7, Z2 (7)		Vzepětí skupina, Skupina Frobenius
16[2]	31	G163	G4,4 = K.4 ⋊ Z4 (Z4 × Z.2) ⋊ Z2	E8, Z4 × Z.2 (2), Z4 (4), K.4 (6), Z2 (6)		Má stejný počet prvků každé objednávky jako skupina Pauli. Nilpotentní.
	32	G164	Z4 ⋊ Z4			Čtverce prvků netvoří podskupinu. Má stejný počet prvků každé objednávky jako Q8 × Z.2. Nilpotentní.
	34	G166	Z8 ⋊ Z2			Někdy se tomu říká modulární skupina řádu 16, i když je to zavádějící jako abelianské skupiny a Q8 × Z.2 jsou také modulární. Nilpotentní.
	35	G167	Dih8 = D16	Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9)		Vzepětí skupina. Nilpotentní.
	36	G168	QD16			Objednávka 16 kvazidihedrální skupina. Nilpotentní.
	37	G169	Q16 = Dic4 = <4,2,2>			zobecněná čtveřice skupina, binární dihedrální skupina. Nilpotentní.
	39	G1611	Dih4 × Z.2	Dih4 (4), Z4 × Z.2, Z23 (2), Z22 (13), Z4 (2), Z2 (11)		Produkt. Nilpotentní.
	40	G1612	Q8 × Z.2			Hamiltonian, produkt. Nilpotentní.
	41	G1613	(Z4 × Z.2) ⋊ Z2			The Skupina Pauli generované Pauliho matice. Nilpotentní.
18	44	G181	Dih9 = D18			Vzepětí skupina, Frobenius skupina
	46	G183	S3 × Z.3			Produkt
	47	G184	(Z3 × Z.3) ⋊ Z2			Skupina Frobenius
20	50	G201	Q20 = Dic5 = <5,2,2>			Binární dihedrální skupina
	52	G203	Z5 ⋊ Z4			Skupina Frobenius
	53	G204	Dih10 = Dih5 × Z.2 = D20			Dihedral skupina, produkt
21	55	G211	Z7 ⋊ Z3	Z7, Z3 (7)		Nejmenší neabelovská skupina lichého řádu. Skupina Frobenius
22	57	G221	Dih11 = D22	Z11, Z2 (11)		Vzepětí skupina, Frobenius skupina
24	60	G241	Z3 ⋊ Z8			Centrální rozšíření S3
	62	G243	SL (2,3) = 2T = Q8 ⋊ Z3			Binární čtyřboká skupina
	63	G244	Q24 = Dic6 = <6,2,2> = Z3 ⋊ Q8			Binární vzepětí
	64	G245	Z4 × S.3			Produkt
	65	G246	Dih12			Vzepětí skupina
	66	G247	Dic3 × Z.2 = Z2 × (Z3 ⋊ Z4)			Produkt
	67	G248	(Z6 × Z.2) ⋊ Z2 = Z3 Ih Dih4			Dvojitá obálka vzepjaté skupiny
	69	G2410	Dih4 × Z.3			Produkt. Nilpotentní.
	70	G2411	Q8 × Z.3			Produkt. Nilpotentní.
	71	G2412	S4	28 správných, netriviálních podskupin. 9 podskupin, kombinujících ty, které jsou izomorfní. Podskupiny zahrnují S2, S.3, A3, A4, D8. [3]		Symetrická skupina. Nemá normální Podskupiny Sylow.
	72	G2413	A4 × Z.2			Produkt
	73	G2414	D12× Z.2			Produkt
26	77	G261	Dih13			Vzepětí skupina, Frobenius skupina
27	81	G273	Z32 ⋊ Z3			Všechny netriviální prvky mají pořadí 3. Mimořádná skupina. Nilpotentní.
	82	G274	Z9 ⋊ Z3			Mimořádná skupina. Nilpotentní.
28	84	G281	Z7 ⋊ Z4			Binární dihedrální skupina
	86	G283	Dih14			Dihedral skupina, produkt
30	89	G301	Z5 × S.3			Produkt
	90	G302	Z3 × Dih5			Produkt
	91	G303	Dih15			Vzepětí skupina, Frobenius skupina

Klasifikace skupin malých objednávek

Malé skupiny nejvyššího řádu strⁿ jsou uvedeny takto:

• Objednat str: Jediná skupina je cyklická.
• Objednat str²: Existují jen dvě skupiny, obě abelianské.
• Objednat str³: Existují tři abelianské skupiny a dvě neabelianské skupiny. Jednou z neabelovských skupin je polopřímý produkt normální cyklické podskupiny řádu str² cyklickou skupinou řádu str. Druhou skupinou je čtveřice pro str = 2 a skupina exponentů str pro str > 2.
• Objednat str⁴: Klasifikace je komplikovaná a je mnohem těžší než její exponent str zvyšuje.

Většina skupin malých objednávek má Sylow str podskupina P s normálem str-doplněk N pro některé prime str rozdělení objednávky, takže lze klasifikovat z hlediska možných prvočísel str, str-skupiny P, skupiny Na akce P na N. V určitém smyslu to snižuje klasifikaci těchto skupin na klasifikaci str-skupiny. Některé malé skupiny, které nemají normální str doplněk zahrnuje:

• Pořadí 24: Symetrická skupina S₄
• Objednávka 48: Binární oktaedrická skupina a produkt S₄ × Z.₂
• Objednávka 60: Střídavá skupina A₅.

Knihovna malých skupin

Skupina teoretická počítačový algebraický systém MEZERA obsahuje "Knihovnu malých skupin", která poskytuje přístup k popisům skupin malých objednávek. Skupiny jsou uvedeny až do izomorfismus. V současné době knihovna obsahuje následující skupiny:^[4]

• objednávky nejvýše 2 000 (kromě objednávky 1024);
• ty v pořadí bez kostek maximálně 50 000 (395 703 skupin);
• řády bez čtverců;
• ty řádové strⁿ pro n maximálně 6 a str primární;
• ty řádové str⁷ pro str = 3, 5, 7, 11 (907 489 skupin);
• ty řádové pqⁿ kde qⁿ dělí 2⁸, 3⁶, 5⁵ nebo 7⁴ a str je libovolné prvočíslo, které se liší od q;
• ti, jejichž objednávky se rozdělí na maximálně 3 prvočísla (nemusí být nutně odlišná).

Obsahuje explicitní popisy dostupných skupin v počítačově čitelném formátu.

Nejmenší pořadí, o kterém knihovna SmallGroups nemá informace, je 1024.

Viz také

• Klasifikace konečných jednoduchých skupin
• Složení série
• Seznam konečných jednoduchých skupin
• Počet skupin dané objednávky
• Malé latinské čtverce a kvazoskupiny

Poznámky

Reference

• Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. (1980). Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-09212-9., Tabulka 1, Pořadí neabelských skupin <32.
• Hall, Jr., Marshall; Senior, James K. (1964). „Skupiny řádu 2ⁿ (n ≤ 6) ". Macmillan. PAN  0168631. Katalog 340 skupin řádků dělících 64 s tabulkami definujících vztahy, konstanty a mřížka podskupin každé skupiny. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

externí odkazy

• Jednotlivé skupiny ve Wiki Vlastnosti skupiny
• Skupiny dané objednávky
• Besche, H. U .; Eick, B .; O'Brien, E. "malá skupinová knihovna". Archivovány od originál dne 2012-03-05.
• Databáze GroupNames