Neasociativní algebra - Non-associative algebra - Wikipedia

Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideál • Kvocient prstenu • Zlomkový ideál • Celkový kvocient kvocientu • Produktový prsten • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový produkt prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniova endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Tříděný prsten • Intuutivní prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zvonění ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${ displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Lež prsten • Jordan prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrovaná uzavřená doména • Doména GCD • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prsten • Polynomiální kruh • Formální prsten řady power Algebraická teorie čísel • Algebraické číselné pole • Kruh čísel • Algebraická nezávislost • Teorie transcendentních čísel • Stupeň transcendence p-adic teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit /Inverzní limit • Nulový prsten ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo pn ${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Prüfer p-prsten ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ • Základna -p kruhový prsten ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Základna -p celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • p-adic racionální ${ displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Základna -p reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ • p-adická celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • p-adická čísla ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • p-adický solenoid ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nezávazné prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduché zazvonění • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra

A neasociativní algebra^[1] (nebo distribuční algebra) je algebra nad polem Kde operace binárního násobení se nepředpokládá asociativní. To znamená, že algebraická struktura A je neasociativní algebra nad a pole K. pokud je to vektorový prostor přes K. a je vybaven a K.-bilineární operace binárního násobení A × A → A které mohou, ale nemusí být asociativní. Mezi příklady patří Lež algebry, Jordan algebry, octonions a trojrozměrný euklidovský prostor vybavený křížový produkt úkon. Protože se nepředpokládá, že násobení je asociativní, je nutné použít závorky k označení pořadí násobení. Například výrazy (ab)(CD), (A(před naším letopočtem))d a A(b(CD)) mohou všichni přinést různé odpovědi.

Zatímco toto použití neasociativní znamená, že asociativita se nepředpokládá, neznamená to, že asociativita je zakázána. Jinými slovy, „neasociativní“ znamená „ne nutně asociativní“, stejně jako „nekomutativní“ znamená „ne nutně komutativní“ pro nekomutativní prsteny.

Algebra je unital nebo unitární pokud má prvek identity E s např = X = xe pro všechny X v algebře. Například octonions jsou jednotné, ale Lež algebry nikdy nejsou.

Neasociativní struktura algebry A mohou být studovány jeho přidružením k jiným asociativním algebrám, které jsou subalgebry plné algebry K.-endomorfismy z A jako K.-vektorový prostor. Dva takové jsou derivační algebra a (asociativní) obalová algebra, druhý je v jistém smyslu „nejmenší asociativní algebra obsahující A".

Obecněji řečeno, někteří autoři zvažují koncept neasociativní algebry nad a komutativní prsten R: An R-modul vybaven R-bilineární operace binárního násobení.^[2] Pokud se struktura řídí všemi prstencovými axiomy kromě asociativity (například libovolné R-algebra), pak je to přirozeně a ${ displaystyle mathbb {Z}}$-algebra, takže někteří autoři odkazují na neasociativní ${ displaystyle mathbb {Z}}$-algebry jako neasociativní kroužky.

Algebry uspokojující totožnost

Kruhové struktury se dvěma binárními operacemi a bez dalších omezení představují širokou třídu, která je příliš obecná pro studium. Z tohoto důvodu nejznámější druhy neasociativních algeber uspokojují identity, nebo vlastnosti, které poněkud zjednodušují násobení. Patří mezi ně následující.

Obvyklé vlastnosti

Nechat X, y a z označit libovolné prvky algebry A přes pole K.Nechť mocniny na kladné (nenulové) celé číslo rekurzivně definuje X¹ ≝ X a buď Xⁿ⁺¹ ≝ XⁿX^[3] (správné pravomoci) nebo Xⁿ⁺¹ ≝ xx^n[4][5] (levé pravomoci) v závislosti na autorech.

• Unital: existuje prvek E aby např = X = xe; v takovém případě můžeme definovat X⁰ ≝ E.
• Asociativní: (xy)z = X(yz).
• Komutativní: xy = yx.
• Anticommutative:^[6] xy = −yx.
• Jacobi identita:^[6][7] (xy)z + (yz)X + (zx)y = 0 nebo X(yz) + y(zx) + z(xy) = 0 v závislosti na autorech.
• Jordánská identita:^[8][9] (X²y)X = X²(yx) nebo (xy)X² = X(yx²) v závislosti na autorech.
• Alternativní:^[10][11][12] (xx)y = X(xy) (levá alternativa) a (yx)X = y(xx) (správná alternativa).
• Flexibilní:^[13][14] (xy)X = X(yx).
• nth síla asociativní s n ≥ 2: X^{n − k}X^k = Xⁿ pro všechna celá čísla k aby 0 < k < n.
  • Třetí asociativní síla: X²X = xx².
  • Čtvrtá asociativní síla: X³X = X²X² = xx³ (srovnat s čtvrtý komutativní výkon níže).
• Moc asociativní:^{[4][5][15][16][3]} subalgebra generovaná jakýmkoli prvkem je asociativní, tj. nth síla asociativní pro všechny n ≥ 2.
• nth mocnina komutativní s n ≥ 2: X^{n − k}X^k = X^kX^{n − k} pro všechna celá čísla k aby 0 < k < n.
  • Třetí komutativní síla: X²X = xx².
  • Čtvrtá komutativní síla: X³X = xx³ (srovnat s čtvrtá asociativní síla výše).
• Síla komutativní: subalgebra generovaná jakýmkoli prvkem je komutativní, tj. nkomutativní síla pro všechny n ≥ 2.
• Nilpotentní indexu n ≥ 2: produkt libovolného n prvky v jakékoli asociaci zmizí, ale u některých ne n−1 elementy: X₁X₂…X_n = 0 a existují n−1 prvky tak y₁y₂…y_n−1 ≠ 0 pro konkrétní sdružení.
• Nula indexu n ≥ 2: moc asociativní a Xⁿ = 0 a existuje prvek y aby yⁿ⁻¹ ≠ 0.

Vztahy mezi vlastnostmi

Pro K. ze všech charakteristický:

• Asociativní naznačuje alternativní.
• Jakékoli dvě ze tří vlastností levá alternativa, správná alternativa, a flexibilní, naznačují třetí.
  • Tím pádem, alternativní naznačuje flexibilní.
• Alternativní naznačuje Jordánská identita.^[17][A]
• Komutativní naznačuje flexibilní.
• Anticommutative naznačuje flexibilní.
• Alternativní naznačuje moc asociativní.^[A]
• Flexibilní naznačuje třetí asociativní síla.
• Druhá asociativní síla a druhá mocnina komutativní jsou vždy pravdivé.
• Třetí asociativní síla a třetí mocnina komutativní jsou ekvivalentní.
• nth síla asociativní naznačuje nkomutativní síla.
• Žádný index 2 naznačuje antikomutativní.
• Žádný index 2 naznačuje Jordánská identita.
• Nilpotent indexu 3 naznačuje Jacobi identita.
• Nilpotent indexu n naznačuje nula indexu N s 2 ≤ N ≤ n.
• Unital a nula indexu n jsou nekompatibilní.

Li K. ≠ GF (2) nebo ztlumit(A) ≤ 2:

• Jordánská identita a komutativní společně znamenají moc asociativní.^{[18][19][20][Citace je zapotřebí ]}

Li char (K.) ≠ 2:

• Správná alternativa naznačuje moc asociativní.^{[21][22][23][24]}
  • Podobně, levá alternativa naznačuje moc asociativní.
• Unital a Jordánská identita společně znamenají flexibilní.^[25]
• Jordánská identita a flexibilní společně znamenají moc asociativní.^[26]
• Komutativní a antikomutativní společně znamenají nilpotent indexu 2.
• Anticommutative naznačuje nula indexu 2.
• Unital a antikomutativní jsou nekompatibilní.

Li char (K.) ≠ 3:

• Unital a Jacobi identita jsou nekompatibilní.

Li char (K.) ∉ {2,3,5}:

• Komutativní a X⁴ = X²X² (jedna ze dvou identit definujících čtvrtá asociativní síla) společně naznačují moc asociativní.^[27]

Li char (K.) = 0:

• Třetí asociativní síla a X⁴ = X²X² (jedna ze dvou identit definujících čtvrtá asociativní síla) společně naznačují moc asociativní.^[28]

Li char (K.) = 2:

• Komutativní a antikomutativní jsou ekvivalentní.

Spolupracovník

The spolupracovník na A je K.-multilineární mapa ${ displaystyle [ cdot, cdot, cdot]: A krát A krát A až A}$ dána

[X,y,z] = (xy)z − X(yz).

Měří stupeň neasociativity ${ displaystyle A}$, a lze je použít k pohodlnému vyjádření některých možných identit uspokojených uživatelem A.

Nechat X, y a z označit libovolné prvky algebry.

• Asociativní: [X,y,z] = 0.
• Alternativní: [X,X,y] = 0 (levá alternativa) a [y,X,X] = 0 (správná alternativa).
  • Znamená to, že permutace jakýchkoli dvou podmínek změní znaménko: [X,y,z] = −[X,z,y] = −[z,y,X] = −[y,X,z]; konverzace platí, pouze pokud char (K.) ≠ 2.
• Flexibilní: [X,y,X] = 0.
  • Znamená to, že permutace extrémních podmínek mění znaménko: [X,y,z] = −[z,y,X]; konverzace platí, pouze pokud char (K.) ≠ 2.
• Jordánská identita:^[29] [X²,y,X] = 0 nebo [X,y,X²] = 0 v závislosti na autorech.
• Třetí asociativní síla: [X,X,X] = 0.

The jádro je sada prvků, které se sdružují se všemi ostatními:^[30] toto je n v A takhle

[n,A,A] = [A,n,A] = [A,A,n] = {0}.

Jádro je asociativní podřetězec A.

Centrum

The centrum z A je sada prvků, které dojíždějí a sdružují se se vším A, to je křižovatka

${ displaystyle C (A) = {n v A | nr = rn , pro všechny r v A , }}$

s jádrem. Ukazuje se, že pro prvky C (A) stačí, že dvě sady ${ displaystyle ([n, A, A], [A, n, A], [A, A, n])}$ jsou ${ displaystyle {0 }}$ pro třetí také nulovou množinu.

Příklady

• Euklidovský prostor R³ s násobením daným vektor křížový produkt je příklad algebry, která je antikomutativní a neasociativní. Křížový produkt také splňuje Jacobi identitu.
• Lež algebry jsou algebry uspokojující antikomutativitu a Jacobi identitu.
• Algebry vektorová pole na diferencovatelné potrubí (li K. je R nebo komplexní čísla C) nebo algebraická rozmanitost (obecně K.);
• Jordan algebry jsou algebry, které splňují komutativní právo a jordánskou identitu.^[9]
• Každá asociativní algebra dává vzniknout Lieově algebře pomocí komutátor jako ležák. Ve skutečnosti může být každá Lieova algebra budována tímto způsobem, nebo je subalgebrou takto postavené Algebry.
• Každá asociativní algebra nad polem charakteristický jiný než 2 dává vzniknout Jordanské algebře definováním nového násobení x * y = (xy+yx) / 2. Na rozdíl od případu Lieovy algebry nelze takto postavit každou Jordanovu algebru. Ti, kteří mohou, se nazývají speciální.
• Alternativní algebry jsou algebry splňující alternativní vlastnost. Nejdůležitější příklady alternativních algeber jsou octonions (algebra nad reálemi) a zobecnění octonionů nad jinými poli. Všechny asociativní algebry jsou alternativní. Až do izomorfismu jsou jedinou konečnou dimenzionální skutečnou alternativou, divizní algebry (viz níže) reals, komplexy, kvaterniony a octoniony.
• Moc-asociativní algebry, jsou ty algebry, které uspokojují moc-asociativní identitu. Mezi příklady patří všechny asociativní algebry, všechny alternativní algebry, Jordanské algebry nad jiným polem než GF (2) (viz předchozí část) a sedimenty.
• The hyperbolický čtveřice algebra skončila R, což byla experimentální algebra před přijetím Minkowského prostor pro speciální relativita.

Další třídy algeber:

• Odstupňované algebry. Patří mezi ně většina zajímavých algeber multilineární algebra, tak jako tenzorová algebra, symetrická algebra, a vnější algebra nad daným vektorový prostor. Odstupňované algebry lze zobecnit na filtrované algebry.
• Divize algebry, ve kterém existují multiplikativní inverze. Byly klasifikovány konečněrozměrné alternativní dělení algeber nad polem reálných čísel. Jsou to reálná čísla (rozměr 1), komplexní čísla (rozměr 2), čtveřice (rozměr 4) a octonions (rozměr 8). Čtverce a oktoniony nejsou komutativní. Z těchto algeber jsou všechny asociativní, kromě octonionů.
• Kvadratické algebry, které to vyžadují xx = re + sx, pro některé prvky r a s v pozemním poli a E jednotka pro algebru. Mezi příklady patří všechny konečně-dimenzionální alternativní algebry a algebra skutečných matic 2 ku 2. Až do izomorfismu jsou jedinou alternativou, kvadratické reálné algebry bez dělitelů nuly reals, komplexy, čtveřice a octoniony.
• The Cayley – Dicksonovy algebry (kde K. je R), které začínají:
  • C (komutativní a asociativní algebra);
  • the čtveřice H (asociativní algebra);
  • the octonions (an alternativní algebra );
  • the sedimenty a nekonečná sekvence Cayley-Dicksonových algeber (silové asociativní algebry ).
• Hyperkomplexní algebry jsou konečně-dimenzionální jednotné R-algebry, zahrnují tedy Cayley-Dicksonovy algebry a mnoho dalších.
• The Poissonovy algebry jsou považovány za geometrická kvantizace. Nesou dvě násobení, která je různými způsoby mění na komutativní algebry a Lieovy algebry.
• Genetické algebry jsou neasociativní algebry používané v matematické genetice.
• Trojité systémy

Vlastnosti

Existuje několik vlastností, které mohou být známy z prstencové teorie nebo z asociativních algeber, které pro neasociativní algebry nemusí vždy platit. Na rozdíl od asociativního případu mohou být prvky s (oboustrannou) multiplikativní inverzí také a nulový dělitel. Například všechny nenulové prvky prvku sedimenty mají oboustranný inverzní program, ale některé z nich jsou také nulovými děliteli.

Zdarma neasociativní algebra

The bezplatná neasociativní algebra na setu X přes pole K. je definována jako algebra se základem skládajícím se ze všech neasociativních monomiálů, konečných formálních produktů prvků X závorky. Produkt monomiálů u, proti je jen (u)(proti). Algebra je jednotná, pokud se bere prázdný produkt jako monomiál.^[31]

Kurosh dokázal, že každá subalgebra volné neasociativní algebry je zdarma.^[32]

Přidružené algebry

Algebra A přes pole K. je zejména a K.-vektorový prostor, takže lze uvažovat o asociativní algebře End_K.(A) z K.-lineární vektorový prostorový endomorfismus A. Můžeme se spojit se strukturou algebry na A dvě subalgebry Endu_K.(A), derivační algebra a (asociativní) obalová algebra.

Derivační algebra

A derivace na A je mapa D s majetkem

${ displaystyle D (x cdot y) = D (x) cdot y + x cdot D (y) .}$

Odvození na A tvoří podprostor Der_K.(A) na konci_K.(A). The komutátor dvou derivací je opět derivace, takže Ležící závorka dává Der_K.(A) struktura Lež algebra.^[33]

Obálka algebry

Existují lineární mapy L a R připojené ke každému prvku A algebry A:^[34]

${ displaystyle L (a): x mapsto ax; R (a): x mapsto xa .}$

The asociativní obalová algebra nebo multiplikační algebra z A je asociativní algebra generovaná levou a pravou lineární mapou.^[29][35] The těžiště z A je centralizátor obklopující algebry v endomorfistické algebře End_K.(A). Algebra je centrální pokud se jeho těžiště skládá z K.- skalární násobky identity.^[16]

Některé z možných identit uspokojených neasociativními algebrami lze pohodlně vyjádřit pomocí lineárních map:^[36]

• Komutativní: každý L(A) se rovná odpovídajícímu R(A);
• Asociativní: libovolný L dojíždí s jakýmkoli R;
• Flexibilní: každý L(A) dojíždí s odpovídajícími R(A);
• Jordan: každý L(A) dojíždí s R(A²);
• Alternativa: každý L(A)² = L(A²) a podobně pro pravici.

The kvadratické znázornění Q je definováno:^[37]

${ displaystyle Q (a): x mapsto 2a cdot (a cdot x) - (a cdot a) cdot x }$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle Q (a) = 2L ^ {2} (a) -L (a ^ {2}) .}$

Článek o univerzální obklopující algebry popisuje kanonickou konstrukci obklopujících algeber, stejně jako věty typu PBW pro ně. Pro Lieovy algebry mají takové obklopující algebry univerzální vlastnost, která obecně neplatí pro neasociativní algebry. Nejznámějším příkladem je možná Albert algebra, výjimečný Jordan algebra která není obklopena kanonickou konstrukcí obklopující algebry pro Jordanské algebry.

Viz také

• Seznam algeber
• Komutativní neasociativní magma, které vedou k vzniku neasociativních algeber

Citace

Poznámky

Reference

• Albert, A. Adrian (2003) [1939]. Struktura algeber. American Mathematical Society Colloquium Publ. 24 (Opravený dotisk revidovaného vydání z roku 1961). New York: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-1024-3. Zbl  0023.19901.
• Albert, A. Adrian (1948a). "Asociativní prsteny". Transakce Americké matematické společnosti. 64: 552–593. doi:10.2307/1990399. ISSN  0002-9947. JSTOR  1990399. PAN  0027750. Zbl  0033.15402.
• Albert, A. Adrian (1948b). "Na pravé alternativní algebře". Annals of Mathematics. 50: 318–328. doi:10.2307/1969457. JSTOR  1969457.
• Bremner, Murray; Murakami, Lúcia; Shestakov, Ivan (2013) [2006]. „Kapitola 86: Asociační algebry“ (PDF). V Hogben, Leslie (ed.). Příručka lineární algebry (2. vyd.). CRC Press. ISBN  978-1-498-78560-0.
• Herstein, I.N., vyd. (2011) [1965]. Některé aspekty teorie prstenů: Přednášky na letní škole Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) konané ve Varenně (Como) v Itálii 23. - 31. srpna 1965. C.I.M.E. Letní školy. 37 (dotisk ed.). Springer-Verlag. ISBN  3-6421-1036-3.
• Jacobson, Nathan (1968). Struktura a reprezentace jordánských algeber. American Mathematical Society Colloquium Publications, sv. XXXIX. Providence, R.I .: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-821-84640-7. PAN  0251099.
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). Kniha involucí. Publikace kolokvia. 44. S předmluvou J. Tits. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-0904-0. Zbl  0955.16001.
• Koecher, Max (1999). Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian (eds.). Poznámky z Minnesoty o algebrách v Jordánsku a jejich aplikacích. Přednášky z matematiky. 1710. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-66360-6. Zbl  1072.17513.
• Kokoris, Louis A. (1955). „Asociativní prstence síly charakteristické pro dva“. Proceedings of the American Mathematical Society. Americká matematická společnost. 6 (5): 705–710. doi:10.2307/2032920.
• Kurosh, A.G. (1947). "Neasociativní algebry a bezplatné produkty algeber". Rohož. Sbornik. 20 (62). PAN  0020986. Zbl  0041.16803.
• McCrimmon, Kevin (2004). Chuť jordánských algeber. Universitext. Berlín, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007 / b97489. ISBN  978-0-387-95447-9. PAN  2014924. Zbl  1044.17001. Errata.
• Mikheev, I.M. (1976). Msgstr "Správná nilpotence ve správných alternativních kruzích". Sibiřský matematický deník. 17 (1): 178–180. doi:10.1007 / BF00969304.
• Okubo, Susumu (2005) [1995]. Úvod do oktonionu a dalších neasociativních algeber ve fyzice. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. 2. Cambridge University Press. doi:10.1017 / CBO9780511524479. ISBN  0-521-01792-0. Zbl  0841.17001.
• Rosenfeld, Boris (1997). Geometrie Lieových skupin. Matematika a její aplikace. 393. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-4390-5. Zbl  0867.53002.
• Rowen, Louis Halle (2008). Absolventská algebra: nekomutativní pohled. Postgraduální studium matematiky. Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-8408-5.
• Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Úvod do neasociativních algeber. Doveru. ISBN  0-486-68813-5. Zbl  0145.25601.
• Zhevlakov, Konstantin A .; Slin'ko, Arkadii M .; Shestakov, Ivan P .; Shirshov, Anatoly I. (1982) [1978]. Prsteny, které jsou téměř asociativní. Přeložil Smith, Harry F. ISBN  0-12-779850-1.