Unie (teorie množin) - Union (set theory) - Wikipedia

Spojení dvou sad:
${ displaystyle ~ A cup B}$

Unie tří sad:
${ displaystyle ~ A pohár B pohár C}$

Spojení A, B, C, D a E je všechno kromě bílé oblasti.

v teorie množin, svaz (označeno ∪) sbírky sady je množina všech elementy ve sbírce.^[1] Jedná se o jednu ze základních operací, pomocí kterých lze sady kombinovat a vzájemně se vztahovat.

Vysvětlení symbolů použitých v tomto článku naleznete v části tabulka matematických symbolů.

Spojení dvou sad

Spojení dvou sad A a B je sada prvků, které jsou v A, v B, nebo v obou A a B.^[2] V symbolech,

${ displaystyle A cup B = {x: x v A { textu {nebo}} x v B }}$.^[3]

Například pokud A = {1, 3, 5, 7} a B = Poté {1, 2, 4, 6, 7} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Složitější příklad (zahrnující dvě nekonečné množiny) je:

A = {X je sudý celé číslo větší než 1}

B = {X je liché celé číslo větší než 1}

${ displaystyle A pohár B = {2,3,4,5,6, tečky }}$

Jako další příklad je číslo 9 ne obsažené ve spojení souboru prvočísla {2, 3, 5, 7, 11, ...} a sada sudá čísla {2, 4, 6, 8, 10, ...}, protože 9 není ani prvočíslo, ani sudé.

Sady nemohou obsahovat duplicitní prvky,^[3][4] takže sjednocení množin {1, 2, 3} a {2, 3, 4} je {1, 2, 3, 4}. Několik výskytů identických prvků nemá na mohutnost sady nebo jejího obsahu.

Algebraické vlastnosti

Binární unie je asociativní úkon; to znamená pro všechny sady A, B, a C,

${ displaystyle A cup (B cup C) = (A cup B) cup C.}$

Operace lze provádět v libovolném pořadí a závorky lze bez dvojznačnosti vynechat (tj. Kteroukoli z výše uvedených možností lze vyjádřit ekvivalentně jako A ∪ B ∪ C). Podobně je tomu i v případě unie komutativní, takže sady lze zapisovat v libovolném pořadí.^[5]

The prázdná sada je prvek identity pro fungování unie. To znamená A ∪ ∅ = Apro jakoukoli sadu A. To vyplývá z analogických faktů o logická disjunkce.

Protože sady s odbory a křižovatky tvoří a Booleova algebra, křižovatka se distribuuje přes sjednocení

${ displaystyle A cap (B cup C) = (A cap B) cup (A cap C)}$

a sjednocení distribuuje přes křižovatku

${ displaystyle A cup (B cap C) = (A cup B) cap (A cup C)}$ .^[2]

V rámci daného univerzální sada, spojení lze psát, pokud jde o operace křižovatky a doplněk tak jako

${ displaystyle A cup B = left (A ^ {C} cap B ^ {C} right) ^ {C}}$

kde horní index ^C označuje doplněk s ohledem na univerzální sada.

Nakonec je idempotentní:

${ displaystyle A cup A = A}$

Konečné odbory

Jeden může mít sjednocení několika sad současně. Například sjednocení tří sad A, B, a C obsahuje všechny prvky A, všechny prvky Ba všechny prvky C, a nic jiného. Tím pádem, X je prvek A ∪ B ∪ C kdyby a jen kdyby X je alespoň v jednom z A, B, a C.

A konečná unie je spojení konečného počtu množin; fráze neznamená, že soubor odborů je a konečná množina.^[6][7]

Svévolné odbory

Nejobecnějším pojmem je spojení libovolné kolekce množin, někdy nazývané jako infinitární unie. Li M je sada nebo třída jejichž prvky jsou sady X je prvkem unie M kdyby a jen kdyby tady je aspoň jeden živel A z M takhle X je prvek A.^[8] V symbolech:

${ displaystyle x in bigcup mathbf {M} iff existuje A in mathbf {M}, x v A.}$

Tato myšlenka zahrnuje předchozí oddíly - například A ∪ B ∪ C je spojení sbírky {A, B, C}. Také pokud M je prázdná sbírka, pak spojení M je prázdná množina.

Zápisy

Zápis pro obecný koncept se může značně lišit. Pro konečné spojení množin ${ displaystyle S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, tečky, S_ {n}}$ jeden často píše ${ displaystyle S_ {1} pohár S_ {2} pohár S_ {3} pohár tečky pohár S_ {n}}$ nebo ${ displaystyle bigcup _ {i = 1} ^ {n} S_ {i}}$. Zahrnují různé běžné notace pro libovolné odbory ${ displaystyle bigcup mathbf {M}}$, ${ displaystyle bigcup _ {A in mathbf {M}} A}$, a ${ displaystyle bigcup _ {i in I} A_ {i}}$.^[9] Poslední z těchto zápisů odkazuje na sjednocení kolekce ${ displaystyle left {A_ {i}: i in I right }}$, kde Já je sada indexů a ${ displaystyle A_ {i}}$ je sada pro každého ${ displaystyle i in I}$. V případě, že index nastaven Já je sada přirozená čísla, jeden používá notaci ${ displaystyle bigcup _ {i = 1} ^ { infty} A_ {i}}$, což je analogické jako u nekonečné částky v sériích.^[8]

Když je symbol „∪“ umístěn před jiné symboly (místo mezi nimi), obvykle se vykreslí jako větší velikost.

Viz také

• Algebra množin
• Střídání (teorie formálního jazyka), spojení sad řetězců
• Axiom unie
• Nespojitá unie
• Průnik (teorie množin)
• Iterovaná binární operace
• Seznam nastavených identit a vztahů
• Naivní teorie množin
• Symetrický rozdíl

Poznámky

externí odkazy

• "Unie souborů", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morganovy zákony formálně prokázané z axiomů teorie množin.