Monoidní - Monoid - Wikipedia

Algebraické struktury mezi magmas a skupiny. Monoidy jsou poloskupiny s identitou.

v abstraktní algebra, pobočka matematika, a monoidní je sada vybavená asociativní binární operace a prvek identity.

Monoidy jsou poloskupiny s identitou. Takový algebraické struktury vyskytují se v několika oborech matematiky.

Například funkce ze sady do sebe tvoří monoid s ohledem na složení funkce. Obecněji v teorie kategorií, morfismy an objekt aby sám vytvořil monoid, a naopak, na monoid lze pohlížet jako na kategorii s jediným objektem.

v počítačová věda a programování, soubor struny postavené z dané sady postavy je volný monoid. Přechodové monoidy a syntaktické monoidy se používají při popisu stroje konečného stavu. Stopové monoidy a historické monoidy poskytnout základ pro zpracovat kalkul a souběžné výpočty.

v teoretická informatika, studium monoidů je pro teorie automatů (Krohn – Rhodesova teorie ), a teorie formálního jazyka (problém s výškou hvězdy ).

Vidět Poloskupina pro historii předmětu a některé další obecné vlastnosti monoidů.

Definice

A soubor S vybaven a binární operace S × S → S, který označíme •, je a monoidní pokud splňuje následující dva axiomy:

Asociativita

Pro všechny A, b a C v S, rovnice (A • b) • C = A • (b • C) drží.

Prvek identity

Existuje prvek E v S tak, že pro každý prvek A v S, rovnice E • A = A a A • E = A držet.

Jinými slovy, monoid je a poloskupina s prvek identity. Lze jej také považovat za magma s asociativitou a identitou. Identifikační prvek monoidu je jedinečný.^[1] Z tohoto důvodu je totožnost považována za a konstantní, i. E. 0-letá (nebo nulární) operace. Monoid je proto charakterizován specifikací trojnásobný (S, • , E).

V závislosti na kontextu může být symbol pro binární operaci vynechán, takže operace je označena juxtapozicí; například mohou být psány monoidní axiomy ${ displaystyle (ab) c = a (bc)}$ a ${ displaystyle ea = ae = a}$. Tento zápis neznamená, že jde o násobení čísel.

Monoid, ve kterém má každý prvek inverzní je skupina.

Monoidní struktury

Submonoidy

A submonoid monoidu (M, •) je podmnožina N z M který je uzavřen pod monoidní operací a obsahuje prvek identity E z M.^[2][3] Symbolicky, N je submonoidem M -li N ⊆ M, X • y ∈ N kdykoli X, y ∈ N, a E ∈ N. V tomto případě, N je monoid pod binární operací zděděnou z M.

Na druhou stranu, pokud N je podmnožinou monoidu, který je Zavřeno pod monoidní operací a je tedy monoidem pro tuto zděděnou operaci N není vždy submonoid, protože prvky identity se mohou lišit. Například singletonová sada {0} je uzavřen při násobení a není submonoidem (multiplikativního) monoidu nezáporná celá čísla.

Generátory

Podmnožina S z M říká se generovat M pokud je nejmenší submonoid z M obsahující S je M. Pokud existuje konečná množina, která generuje M, pak M se říká, že je konečně generovaný monoid.

Komutativní monoid

Monoid, jehož operace je komutativní se nazývá a komutativní monoid (nebo méně často an abelian monoid). Komutativní monoidy jsou často psány aditivně. Každý komutativní monoid je obdařen svým algebraický předobjednávka ≤, definován X ≤ y pokud existuje z takhle X + z = y.^[4] An objednávková jednotka komutativního monoidu M je prvek u z M takový, že pro jakýkoli prvek X z M, tady existuje proti v sadě generované u takhle X ≤ proti. To se často používá pro případ M je pozitivní kužel a částečně objednané abelianská skupina G, v tom případě to říkáme u je objednávková jednotka G.

Částečně komutativní monoid

Monoid, pro který je operace komutativní pro některé, ale ne všechny prvky, je a stopový monoid; stopové monoidy se běžně vyskytují v teorii souběžný výpočet.

Příklady

• Ze 16 možných binární logické operátory, každá ze čtyř, která má oboustrannou identitu, je také komutativní a asociativní, a proto činí množinu {False, True} komutativním monoidem. Podle standardních definic A a XNOR mít identitu True while XOR a NEBO mít identitu False. Monoidy z AND a OR jsou také idempotentní zatímco ti z XOR a XNOR nejsou.
• Sada přirozená čísla ${ displaystyle mathbf {N} = {0,1,2, ldots }}$ je komutativní monoid pod sčítáním (prvek identity 0 ) nebo násobení (prvek identity 1 ). Submonoid z N pod sčítáním se nazývá a numerický monoid.
• Sada kladná celá čísla ${ displaystyle mathbf {N} setminus {0 }}$ je komutativní monoid při násobení (prvek identity 1).
• Vzhledem k sadě A, sada podmnožin A je komutativní monoid v průsečíku (prvek identity je A sám).
• Vzhledem k sadě A, sada podmnožin A je komutativní monoid ve spojení (prvek identity je prázdná sada ).
• Zobecnění předchozího příkladu, každý ohraničený semilattice je idempotentní komutativní monoid.
  • Zejména jakékoli ohraničené mříž může být obdařen oběma setkat - a připojit se - monoidní struktura. Prvky identity jsou horní mřížka a její spodní část. Být mřížemi, Ahoj algebry a Booleovy algebry jsou obdařeni těmito monoidními strukturami.
• Každý singletonová sada {X} uzavřeno binární operací • tvoří triviální (jednoprvkový) monoid, který je také triviální skupina.
• Každý skupina je monoid a každý abelianská skupina komutativní monoid.
• Žádný poloskupina S lze proměnit v monoid jednoduše připojením k prvku E ne v S a definování E • s = s = s • E pro všechny s ∈ S. Tato konverze jakékoli poloskupiny na monoid se provádí pomocí volný funktor mezi kategorií poloskupin a kategorií monoidů.^[5]
  • Tedy idempotentní monoid (někdy známý jako najděte první) mohou být vytvořeny připojením k prvku identity E do levá nulová poloskupina přes sadu S. Opačný monoid (někdy nazývaný najít poslední) je vytvořen z pravá nulová poloskupina přes S.
    • Připojte se k identitě E do poloskupiny vlevo-nula se dvěma prvky {lt, gt}. Potom výsledný idempotentní monoid {lt, E, gt} modely lexikografický řád posloupnosti dané pořadí jejích prvků, s E představující rovnost.
• Základní sada libovolného prsten, s přidáním nebo násobením jako operací. (Podle definice má prsten multiplikativní identitu 1.)
  • The celá čísla, racionální čísla, reálná čísla nebo komplexní čísla, sčítání nebo násobení jako operace.^[6]
  • Sada všech n podle n matice přes daný prsten, s přidání matice nebo násobení matic jako operace.
• Sada všech konečných struny přes nějakou pevnou abecedu Σ tvoří monoid s zřetězení řetězce jako operace. The prázdný řetězec slouží jako prvek identity. Tento monoid je označen Σ^∗ a nazývá se volný monoid přes Σ.
• Vzhledem k tomu, jakýkoli monoid M, opačný monoid M^op má stejnou sadu nosiče a prvek identity jako Ma jeho provoz je definován X •^op y = y • X. Žádný komutativní monoid je opačný monoid sám o sobě.
• Vzhledem k tomu, dvě sady M a N obdařen monoidní strukturou (nebo obecně jakýmkoli konečným počtem monoidů, M₁, ..., M_k), jejich kartézský součin M × N je také monoid (respektive M₁ × ... × M_k). Asociativní operace a prvek identity jsou definovány po dvou.^[7]
• Opravte monoid M. Sada všech funkcí od dané sady do M je také monoid. Prvek identity je a konstantní funkce mapování jakékoli hodnoty na identitu M; asociativní operace je definována bodově.
• Opravte monoid M s operací • a prvek identity E, a zvažte jeho napájecí sada P(M) skládající se ze všech podmnožiny z M. Binární operaci pro takové podmnožiny lze definovat pomocí S • T = { s • t : s ∈ S, t ∈ T }. To se otočí P(M) do monoida s prvkem identity {E}. Stejným způsobem je sada energie skupiny G je monoid pod produkt skupinových podmnožin.
• Nechat S být sadou. Sada všech funkcí S → S tvoří monoid pod složení funkce. Identita je jen funkce identity. Také se tomu říká plný transformační monoid z S. Li S je konečný s n prvky, monoid funkcí na S je konečný s nⁿ elementy.
• Zobecnění předchozího příkladu, pojďme C být kategorie a X předmět C. Sada všech endomorfismy z X, označeno Konec_C(X), tvoří monoid ve složení morfismy. Více o vztahu mezi teorií kategorií a monoidy viz níže.
• Sada homeomorfismus třídy z kompaktní povrchy s připojená suma. Jeho jednotkovým prvkem je třída obyčejné 2-koule. Kromě toho, pokud A označuje třídu torus, a b označuje třídu projektivní roviny, pak každý prvek C monoid má jedinečný výraz ve formě C = na + mb kde n je kladné celé číslo a m = 0, 1nebo 2. My máme 3b = A + b.
• Nechat ${ displaystyle langle f rangle}$ být cyklickým monoidem řádu n, to znamená, ${ displaystyle langle f rangle = {f ^ {0}, f ^ {1}, tečky, f ^ {n-1} }}$. Pak ${ displaystyle f ^ {n} = f ^ {k}}$ pro některé ${ displaystyle 0 leq k$. Ve skutečnosti každý takový k dává zřetelný monoid řádu na každý cyklický monoid je isomorfní s jedním z nich.
  Navíc, F lze považovat za funkci na bodech ${ displaystyle {0,1,2, tečky, n-1 }}$ dána

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 & 2 & dots & n-2 & n-1 1 & 2 & 3 & dots & n-1 & k end {bmatrix}}}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle f (i): = { begin {cases} i + 1, & { text {if}} 0 leq i$

Násobení prvků v ${ displaystyle langle f rangle}$ je pak dáno složením funkce.

Když ${ displaystyle k = 0}$ pak funkce F je obměna ${ displaystyle {0,1,2, tečky, n-1 },}$ a dává to jedinečné cyklická skupina řádu n.

Vlastnosti

V monoidu lze definovat celé kladné síly prvku X : X¹ = X, a Xⁿ = X • ... • X (n krát) pro n > 1. Vláda moci X^{n + str} = Xⁿ • X^str je zřejmé.

Z definice monoidu je možné ukázat, že prvek identity E je jedinečný. Pak pro všechny X, lze nastavit X⁰ = E a pravidlo moci je stále pravdivé s nezápornými exponenty.

Je možné definovat invertibilní prvky: prvek X se nazývá invertible, pokud existuje prvek y takhle X • y = E a y • X = E. Prvek y se nazývá inverzní k X. Li y a z jsou inverzní z X, pak asociativitou y = (zx)y = z(xy) = z. Inverze, pokud existují, jsou tedy jedinečné.^[8]

Li y je inverzní k X, lze definovat negativní mocniny X nastavením X⁻¹ = y a X⁻ⁿ = y • ... • y (n krát) pro n > 1. A pravidlo exponentů je stále ověřeno pro všechna celá čísla n, str. To je důvod, proč inverzní z X je obvykle psáno X⁻¹. Sada všech invertibilních prvků v monoidu M, společně s operací • tvoří a skupina. V tomto smyslu obsahuje každý monoid skupinu (možná pouze triviální skupina skládající se pouze z totožnosti).

Ne každý monoid však sedí uvnitř skupiny. Například je naprosto možné mít monoid, ve kterém jsou dva prvky A a b existují takové A • b = A drží, i když b není prvek identity. Takový monoid nelze vložit do skupiny, protože ve skupině bychom mohli obě strany znásobit inverzní funkcí k A a dostal by to b = E, což není pravda. Monoid (M, •) má zrušení majetku (nebo je zrušující ) pokud pro všechny A, b a C v M, A • b = A • C vždy znamená b = C a b • A = C • A vždy znamená b = C. Komutativní monoid s vlastností zrušení lze vždy vložit do skupiny pomocí Grothendieckova konstrukce. Tak je sestrojena aditivní skupina celých čísel (skupina s operací +) z aditivního monoidu přirozených čísel (komutativní monoid s operací + a vlastností zrušení). Avšak nekomutativní stornovací monoid nemusí být ve skupině zabudovatelný.

Pokud má monoid vlastnost zrušení a je konečný, pak je to ve skutečnosti skupina. Důkaz: Opravte prvek X v monoidu. Protože monoid je konečný, Xⁿ = X^m pro některé m > n > 0. Ale pak, zrušením to máme X^{m − n} = E kde E je identita. Proto, X • X^{m − n − 1} = E, tak X má inverzní.

Pravý a levý zrušovací prvek monoidu každý zase tvoří submonoid (tj. Zjevně zahrnuje identitu a není tak zjevně uzavřen pod operací). To znamená, že zrušující prvky libovolného komutativního monoidu lze rozšířit na skupinu.

Ukazuje se, že k provedení Grothendieckovy konstrukce není vyžadována stornovací vlastnost v monoidu - postačuje komutativita. Pokud však původní monoid má absorpční prvek pak jeho skupina Grothendieck je triviální skupina. Homomorfismus tedy obecně není injekční.

An inverzní monoid je monoid, kde pro každého A v Mexistuje jedinečný A⁻¹ v M takhle A = A • A⁻¹ • A a A⁻¹ = A⁻¹ • A • A⁻¹. Pokud je inverzní monoid storna, pak jde o skupinu.

V opačném směru, a monoid bez nuly je aditivně psaný monoid, ve kterém A + b = 0 to naznačuje A = 0 a b = 0:^[9] ekvivalentně, že žádný jiný prvek než nula nemá aditivní inverzní.

Činy a operátorské monoidy

Nechat M být monoidem, s binární operací označenou • a elementem identity označeným E. Pak (vlevo) M-akt (nebo nechal jednat znovu M) je sada X společně s operací ⋅ : M × X → X který je kompatibilní s monoidní strukturou takto:

• pro všechny X v X: E ⋅ X = X;
• pro všechny A, b v M a X v X: A ⋅ (b ⋅ X) = (A • b) ⋅ X.

Toto je analog v teorii monoidů a (vlevo) skupinová akce. Že jo M-akce jsou definovány podobným způsobem. Monoid s činem je také známý jako operátor monoid. Mezi důležité příklady patří přechodové systémy z poloautomata. A transformační poloskupina může být přeměněn na operátorský monoid připojením transformace identity.

Monoidní homomorfismy

Příklad monomorfního homomorfismu X ↦ 2^X z (N, +, 0) na (N, ×, 1). Je to injekční, ale nikoli surjektivní.

A homomorfismus mezi dvěma monoidy (M, ∗) a (N, •) je funkce F : M → N takhle

• F(X ∗ y) = F(X) • F(y) pro všechny X, y v M
• F(E_M) = E_N,

kde E_M a E_N jsou totožnosti na M a N resp. Monoidní homomorfismy se někdy jednoduše nazývají monoidní morfismy.

Ne každý poloskupinový homomorfismus mezi monoidy je monomorfní homomorfismus, protože nemusí mapovat identitu na identitu cílového monoidu, přestože identita je identitou obrazu homomorfismu.^[10] Zvažte například ${ displaystyle M_ {n}}$, soubor zbytkové třídy modulo ${ displaystyle n}$ vybavené násobením. Zejména třída ${ displaystyle 1}$ je identita. Funkce ${ displaystyle f colon M_ {3} až M_ {6}}$ dána ${ displaystyle f (k) = 3k}$ je poloskupinový homomorfismus jako ${ displaystyle 3k cdot 3l = 9kl = 3kl}$ v ${ displaystyle M_ {6}}$. Nicméně, ${ displaystyle f (1) = 3 neq 1}$, takže monoidní homomorfismus je poloskupinový homomorfismus mezi monoidy, který mapuje identitu prvního monoidu na identitu druhého monoidu a druhou podmínku nelze vynechat.

Naproti tomu homosféra semigroup mezi skupinami je vždy a skupinový homomorfismus, protože nutně zachovává identitu (protože ve skupině je identita jediným takovým prvkem X ⋅ X = X).

A bijektivní monomorfní homomorfismus se nazývá monoid izomorfismus. O dvou monoidech se říká, že jsou izomorfní, pokud mezi nimi existuje monoidní izomorfismus.

Rovnocenná prezentace

Monoidům může být uděleno a prezentace, podobně jako skupiny lze specifikovat pomocí a skupinová prezentace. Jeden to provede zadáním sady generátorů Σ a sady vztahů na volný monoid Σ^∗. Jeden to dělá prodloužením (konečným) binární vztahy na Σ^∗ na monoidní kongruence a poté sestrojení kvocientového monoidu, jak je uvedeno výše.

Vzhledem k binárnímu vztahu R ⊂ Σ^∗ × Σ^∗, jeden definuje jeho symetrické uzavření jako R ∪ R⁻¹. To lze rozšířit na symetrický vztah E ⊂ Σ^∗ × Σ^∗ definováním X ~_E y kdyby a jen kdyby X = sut a y = svt pro některé struny u, proti, s, t ∈ Σ^∗ s (u,proti) ∈ R ∪ R⁻¹. Nakonec se vezme reflexivní a přechodné uzavření E, což je pak monoidní kongruence.

V typické situaci vztah R je jednoduše uveden jako sada rovnic, takže ${ displaystyle R = {u_ {1} = v_ {1}, cdots, u_ {n} = v_ {n} }}$. Tak například

${ displaystyle langle p, q , vert ; pq = 1 rangle}$

je rovnicová prezentace pro bicyklický monoid, a

${ displaystyle langle a, b , vert ; aba = baa, bba = bab rangle}$

je plaktický monoid stupně 2 (má nekonečné pořadí). Prvky tohoto plaktického monoidu lze psát jako ${ displaystyle a ^ {i} b ^ {j} (ba) ^ {k}}$ pro celá čísla i, j, k, jak to ukazují vztahy ba dojíždí s oběma A a b.

Vztah k teorii kategorií

Monoidy lze považovat za speciální třídu Kategorie. Ve skutečnosti jsou axiomy požadované pro monoidní operaci přesně ty, které jsou vyžadovány morfismus kompozice, je-li omezena na soubor všech morfismů, jejichž zdrojem a cílem je daný objekt.^[11] To znamená

Monoid je v podstatě to samé jako kategorie s jediným objektem.

Přesněji řečeno, dostal monoid (M, •), lze sestrojit malou kategorii pouze s jedním objektem a jejíž morfismy jsou prvky M. Složení morfismů je dáno monoidní operací •.

Stejně tak monoidní homomorfismy jsou spravedlivé funktory mezi jednotlivými kategoriemi objektů.^[11] Tato konstrukce tedy dává rovnocennost mezi kategorie (malých) monoidů Pondělí a úplnou podkategorii kategorie (malých) kategorií Kočka. Podobně kategorie skupin je ekvivalentní jiné úplné podkategorii Kočka.

V tomto smyslu lze teorii kategorií považovat za rozšíření pojmu monoid. Mnoho definic a vět o monoidech lze zobecnit na malé kategorie s více než jedním objektem. Například kvocient kategorie s jedním objektem je pouze kvocient monoid.

Monoidy, stejně jako jiné algebraické struktury, také tvoří svoji vlastní kategorii, Pondělí, jejichž objekty jsou monoidy a jejichž morfismy jsou monoidní homomorfismy.^[11]

Existuje také pojem monoidní objekt což je abstraktní definice toho, co je v kategorii monoid. Monoidní objekt v Soubor je jen monoid.

Monoidy v informatice

V počítačové vědě mnoho abstraktní datové typy může být obdařen monoidní strukturou. V běžném vzoru, a sekvence prvků monoidu je "složený „nebo“ akumulované "k vytvoření konečné hodnoty. Například mnoho iteračních algoritmů potřebuje aktualizovat nějaký druh„ průběžného součtu “při každé iteraci; tento vzor může být elegantně vyjádřen monoidní operací. Alternativně asociativita monoidních operací zajišťuje že operace může být paralelně zaměstnáním a součet prefixů nebo podobný algoritmus, aby bylo možné efektivně využívat více jader nebo procesorů.

Vzhledem k posloupnosti hodnot typu M s prvkem identity ${ displaystyle varepsilon}$ a asociativní provoz ${ displaystyle bullet}$, složit operace je definována takto:

${ displaystyle mathrm {fold}: M ^ {*} rightarrow M = l mapsto { begin {cases} varepsilon & { mbox {if}} l = mathrm {nil} m bullet mathrm {fold} , l '& { mbox {if}} l = mathrm {cons} , m , l' end {případy}}}$

Kromě toho jakékoli datová struktura lze „složit“ podobným způsobem, vzhledem k serializaci jeho prvků. Například výsledek „skládání“ a binární strom se mohou lišit v závislosti na předobjednávce a po objednávce traversal strom.

MapReduce

Aplikace monoidů v počítačové vědě je tzv MapReduce programovací model (viz Kódování mapy - zmenšení jako monoid se skládáním doleva ). MapReduce se ve výpočetní technice skládá ze dvou nebo tří operací. Vzhledem k datové sadě se „mapa“ skládá z mapování libovolných dat na prvky konkrétního monoidu. "Reduce" se skládá ze skládání těchto prvků, takže nakonec vyrobíme pouze jeden prvek.

Například pokud máme a multiset, v programu je reprezentován jako mapa od prvků k jejich číslům. Prvky se v tomto případě nazývají klíče. Počet odlišných klíčů může být příliš velký, v tomto případě multiset je střep. Aby byla redukce správně dokončena, fáze „Shuffling“ přeskupuje data mezi uzly. Pokud tento krok nepotřebujeme, celá mapa / redukce se skládá z mapování a redukce; obě operace jsou paralelizovatelné, první kvůli své elementární povaze, druhá kvůli asociativitě monoidu.

Kompletní monoidy

A kompletní monoid je komutativní monoid vybavený nekonečný součet operace ${ displaystyle Sigma _ {I}}$ pro všechny sada indexů Já takové, že:^{[12][13][14][15]}

${ displaystyle sum _ {i in emptyset} {m_ {i}} = 0; quad sum _ {i in {j }} {m_ {i}} = m_ {j}; quad sum _ {i in {j, k }} {m_ {i}} = m_ {j} + m_ {k} quad { text {for}} j neq k}$

a

${ displaystyle sum _ {j v J} { sum _ {i v I_ {j}} {m_ {i}}} = sum _ {i v I} (m_ {i}) quad { text {if}} bigcup _ {j in J} I_ {j} = I { text {and}} I_ {j} cap I_ {j '} = emptyset quad { text {pro }} j neq j '}$

A kontinuální monoid je uspořádaný komutativní monoid, ve kterém každý řízená sada má nejmenší horní mez kompatibilní s monoidní operací:

${ displaystyle a + sup S = sup (a + S) .}$

Tyto dva pojmy spolu úzce souvisejí: spojitý monoid je úplný monoid, ve kterém lze definovat nekonečný součet jako

${ displaystyle sum _ {I} a_ {i} = sup sum _ {E} a_ {i}}$

kde supremum na pravé straně běží přes všechny konečné podmnožiny E z Já a každý součet vpravo je konečný součet v monoidu.^[15]

Viz také

• Greenovy vztahy
• Monad (funkční programování)
• Semiring a Kleene algebra
• Problém s výškou hvězdy
• Védské náměstí

Poznámky

Reference

• Howie, John M. (1995), Základy teorie poloskupin, Monografie matematické společnosti v Londýně. Nová řada, 12Oxford: Clarendon Press, ISBN  0-19-851194-9, Zbl  0835.20077
• Jacobson, Nathan (1951), Přednášky z abstraktní algebry, JáSpolečnost D. Van Nostrand, ISBN  0-387-90122-1
• Jacobson, Nathan (2009), Základní algebra, 1 (2. vyd.), Dover, ISBN  978-0-486-47189-1CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mikhalev, Alexander V. (2000), Monoidy, činy a kategorie. S aplikacemi na věnec produkty a grafy. Příručka pro studenty a výzkumné pracovníky, de Gruyter Expositions in Mathematics, 29, Berlín: Walter de Gruyter, ISBN  3-11-015248-7, Zbl  0945.20036
• Lothaire, M. (1997), Kombinatorika slovEncyklopedie matematiky a její aplikace 17, Perrin, D .; Reutenauer, C .; Berstel, J .; Pin, J. E .; Pirillo, G .; Foata, D .; Sakarovitch, J .; Simon, I .; Schützenberger, M. P .; Choffrut, C .; Cori, R .; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Předmluva Rogera Lyndona (2. vyd.), Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511566097, ISBN  0-521-59924-5, PAN  1475463, Zbl  0874.20040

externí odkazy

• „Monoid“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Monoid“. MathWorld.
• Monoidní na PlanetMath.