Prsten (matematika) - Ring (mathematics)

Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideál • Kvocient prstenu • Zlomkový ideál • Celkový kvocient kvocientu • Produktový prsten • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový produkt prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniova endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Tříděný prsten • Intuutivní prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zvonění ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${ displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Lež prsten • Jordan prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrovaná uzavřená doména • Doména GCD • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prsten • Polynomiální kruh • Formální prsten řady power Algebraická teorie čísel • Algebraické číselné pole • Kruh čísel • Algebraická nezávislost • Teorie transcendentních čísel • Stupeň transcendence str-adic teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit /Inverzní limit • Nulový prsten ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo strn ${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Prüfer str-prsten ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ • Základna -str kruhový prsten ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Základna -str celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • str-adic racionální ${ displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Základna -str reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ • str-adická celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • str-adická čísla ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • str-adický solenoid ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nezávazné prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduché zazvonění • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra

v matematika, a prsten je jedním ze základních algebraické struktury použito v abstraktní algebra. Skládá se z a soubor vybaveno dvěma binární operace které zobecňují aritmetické operace z přidání a násobení. Prostřednictvím tohoto zevšeobecnění, věty z aritmetický jsou rozšířeny na nečíselné objekty, jako např polynomy, série, matice a funkce.

Prsten je abelianská skupina s druhou binární operací, která je asociativní, je distribuční nad operací abelianské skupiny a má prvek identity (tato poslední vlastnost není požadována některými autory, viz § Poznámky k definici ). Rozšířením z celá čísla se nazývá operace abelianské skupiny přidání a je volána druhá binární operace násobení.

Zda je prsten komutativní nebo ne (tj. Zda pořadí, ve kterém jsou dva prvky násobeny, mění výsledek nebo ne) má hluboké důsledky na jeho chování jako abstraktního objektu. Jako výsledek, komutativní prstenová teorie, běžně známá jako komutativní algebra, je klíčovým tématem v teorie prstenů. Jeho vývoj byl do značné míry ovlivněn problémy a nápady, které se přirozeně vyskytují v algebraická teorie čísel a algebraická geometrie. Příklady komutativní prsteny zahrnuje množinu celých čísel vybavených operacemi sčítání a násobení, množinu polynomů vybavenou jejich sčítáním a násobením, souřadnicový kruh z afinní algebraická odrůda a kruh celých čísel číselného pole. Mezi příklady nekomutativních kruhů patří kruh n × n nemovitý čtvercové matice s n ≥ 2, skupinové kroužky v teorie reprezentace, operátorské algebry v funkční analýza, prstence diferenciálních operátorů v teorii diferenciální operátory a cohomologický prsten a topologický prostor v topologie.

Konceptualizace prstenů začala v 70. letech 19. století a byla dokončena ve 20. letech 20. století. Mezi klíčové přispěvatele patří Dedekind, Hilbert, Fraenkel, a Noether. Prsteny byly nejprve formalizovány jako zobecnění Dedekindovy domény které se vyskytují v teorie čísel a polynomiální kroužky a kruhy invarianty, které se vyskytují v algebraická geometrie a invariantní teorie. Poté se ukázaly být užitečné i v jiných oborech matematiky, jako např geometrie a matematická analýza.

Definice a ilustrace

The celá čísla, spolu se dvěma operacemi přidání a násobení, tvoří prototypový příklad prstenu.

Nejznámějším příkladem prstenu je množina všech celých čísel, ${ displaystyle mathbb {Z}}$, skládající se z čísla

… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Známé vlastnosti pro sčítání a násobení celých čísel slouží jako model pro axiomy pro prstence.

Definice

A prsten je soubor R vybaven dvěma binárními operacemi^[1] + a · splňující následující tři sady axiomů, nazývané kruhové axiomy^[2][3][4]

1. R je abelianská skupina navíc, což znamená, že:
   • (A + b) + C = A + (b + C) pro všechny A, b, C v R (tj. + je asociativní ).
   • A + b = b + A pro všechny A, b v R (tj. + je komutativní ).
   • V prvku je 0 R takhle A + 0 = A pro všechny A v R (to znamená, že 0 je aditivní identita ).
   • Pro každého A v R existuje -A v R takhle A + (−A) = 0 (to znamená, -A je aditivní inverzní z A).
2. R je monoidní při násobení, což znamená, že:
   • (A · b) · C = A · (b · C) pro všechny A, b, C v R (tj. · je asociativní).
   • K dispozici je prvek 1 v R takhle A · 1 = A a 1 · A = A pro všechny A v R (to znamená, že 1 je multiplikativní identita ).^[5]
3. Násobení je distribuční s ohledem na sčítání, což znamená, že:
   • A ⋅ (b + C) = (A · b) + (A · C) pro všechny A, b, C v R (levá distribuce).
   • (b + C) · A = (b · A) + (C · A) pro všechny A, b, C v R (správná distribuce).

Poznámky k definici

Jak je vysvětleno v § Dějiny níže se mnoho autorů řídí alternativní konvencí, ve které prsten není definován tak, aby měl multiplikativní identitu. Tento článek přijímá konvenci, že pokud není uvedeno jinak, předpokládá se, že prsten má takovou identitu. Autoři, kteří se řídí touto konvencí, někdy odkazují na strukturu splňující všechny axiomy až na požadavek, že existuje multiplikativní prvek identity jako a rng (běžně vyslovováno příčka) a někdy jako pseudokroužek. Například sada sudých celých čísel s obvyklými + a ⋅ je rng, ale ne kruh.

Jsou volány operace + a called přidání a násobení, resp. Symbol násobení ⋅ je obvykle vynechán; například, xy prostředek X ⋅ y.

Ačkoli přidání prstenu je komutativní, násobení kruhu nemusí být komutativní: ab nemusí se nutně rovnat ba. Prsteny, které také uspokojují komutativitu pro násobení (například kruh celých čísel), se nazývají komutativní prsteny. Knihy o komutativní algebře nebo algebraické geometrii často přijímají konvenci prsten prostředek komutativní prsten, pro zjednodušení terminologie.

V kruhu nemusí existovat multiplikativní inverze. Nenula komutativní kruh, ve kterém má každý nenulový prvek a multiplikativní inverzní se nazývá a pole.

Aditivní skupina prstenu je základní sada vybavená pouze operací sčítání. Ačkoli definice předpokládá, že skupina aditiv je abelian, lze ji odvodit z ostatních kruhových axiomů.^[6] Důkaz využívá „1“, takže nefunguje v souboru rng. (V případě rng, vymazání předpokladu sčítání a komutativity to ponechá nepochopitelné (ze zbývajících předpokladů rng) pro prvky, které jsou produkty: ab + CD = CD + ab.)

Ačkoli většina moderních autorů vyžaduje, aby násobení v kruhu bylo asociativní, existuje několik, kteří tak nečiní.^[7] U těchto ostatních každý algebra je prsten.

Základní vlastnosti

Některé základní vlastnosti prstenu bezprostředně vyplývají z axiomů:

• Aditivní identita, aditivní inverze každého prvku a multiplikativní identita jsou jedinečné.
• Pro jakýkoli prvek X v kruhu R, jeden má X0 = 0 = 0X (nula je absorpční prvek s ohledem na násobení) a (–1)X = –X.
• Pokud 0 = 1 v kruhu R (nebo obecněji je 0 jednotkovým prvkem) R má pouze jeden prvek a nazývá se nulový kroužek.
• The binomický vzorec platí pro jakoukoli dvojici dojíždějících (tj. jakékoli X a y takhle xy = yx).

Příklad: Celá čísla 4

Vybavte sadu ${ displaystyle mathbf {Z} _ {4} = left {{ overline {0}}, { overline {1}}, { overline {2}}, { overline {3}} vpravo }}$ s následujícími operacemi:

• Součet ${ displaystyle { overline {x}} + { overline {y}}}$ v Z₄ je zbytek, když je celé číslo X + y je rozděleno 4 (jako X + y je vždy menší než 8, tento zbytek je buď X + y nebo X + y - 4). Například, ${ displaystyle { overline {2}} + { overline {3}} = { overline {1}}}$ a ${ displaystyle { overline {3}} + { overline {3}} = { overline {2}}}$.
• Produkt ${ displaystyle { overline {x}} cdot { overline {y}}}$ v Z₄ je zbytek, když je celé číslo xy je vyděleno 4. Například ${ displaystyle { overline {2}} cdot { overline {3}} = { overline {2}}}$ a ${ displaystyle { overline {3}} cdot { overline {3}} = { overline {1}}}$.

Pak Z₄ je prsten: každý axiom vyplývá z odpovídajícího axiomu pro Z. Li X je celé číslo, zbytek X po dělení 4 lze považovat za prvek Z₄, a tento prvek je často označován "X mod 4 " nebo ${ displaystyle { overline {x}}}$, což je v souladu se zápisem pro 0, 1, 2, 3. Aditivní inverzní funkce libovolného ${ displaystyle { overline {x}}}$ v Z₄ je ${ displaystyle { overline {-x}}}$. Například, ${ displaystyle - { overline {3}} = { overline {-3}} = { overline {1}}.}$

Příklad: matice 2 na 2

Sada 2 na 2 matice s reálné číslo položky jsou zapsány

${ displaystyle { mathcal {M}} _ {2} ( mathbb {R}) = left { left. { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} right | a , b, c, d in mathbb {R} vpravo }.}$

S operacemi sčítání matice a násobení matic, tato sada splňuje výše uvedené kruhové axiomy. Prvek ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ je multiplikativní identita prstenu. Li ${ displaystyle A = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}}}$ a ${ displaystyle B = { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}}}$, pak ${ displaystyle AB = { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ zatímco ${ displaystyle BA = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}}}$; tento příklad ukazuje, že prsten je nekomutativní.

Obecněji pro jakýkoli prsten Rkomutativní nebo ne a jakékoli nezáporné celé číslo n, jeden může tvořit prsten z n-podle-n matice s položkami v R: viz Maticový prsten.

Dějiny

Richard Dedekind, jeden ze zakladatelů společnosti teorie prstenů.

Dedekind

Studium prstenů vycházelo z teorie polynomiální kroužky a teorie algebraická celá čísla.^[8] V roce 1871 Richard Dedekind definoval koncept prstence celých čísel číselného pole.^[9] V této souvislosti zavedl pojmy „ideální“ (inspirovaný Ernst Kummer Pojem ideálního počtu) a "modulu" a studoval jejich vlastnosti. Dedekind ale nepoužil termín „prsten“ a nedefinoval koncept prstenu v obecném prostředí.

Hilbert

Termín „Zahlring“ (číselný kruh) vytvořil David Hilbert v roce 1892 a publikován v roce 1897.^[10] V němčině 19. století by slovo „prsten“ mohlo znamenat „sdružení“, které se v angličtině v omezeném smyslu dodnes používá (například špionážní prsten),^[11] pokud by to tedy byla etymologie, bylo by to podobné tomu, jak „skupina“ vstoupila do matematiky tím, že byla netechnickým slovem pro „sbírku souvisejících věcí“. Podle Harveyho Cohna použil Hilbert termín pro prsten, který měl vlastnost „kroužit přímo zpět“ k prvku sám o sobě.^[12] Specificky, v kruhu algebraických celých čísel, všechny vysoké síly algebraického celého čísla mohou být zapsány jako integrální kombinace pevné sady nižších sil, a tak síly "cyklují zpět". Například pokud A³ − 4A + 1 = 0 pak A³ = 4A − 1, A⁴ = 4A² − A, A⁵ = −A² + 16A − 4, A⁶ = 16A² − 8A + 1, A⁷ = −8A² + 65A − 16, a tak dále; obecně, Aⁿ bude integrální lineární kombinací 1, A, a A².

Fraenkel a Noether

První axiomatická definice prstenu byla dána Adolf Fraenkel v roce 1915,^[13][14] ale jeho axiomy byly přísnější než ty v moderní definici. Například vyžadoval všechny nenulový dělitel mít multiplikativní inverzní.^[15] V roce 1921 Emmy Noetherová podala moderní axiomatickou definici (komutativního) kruhu a ve své práci rozvinula základy teorie komutativního kruhu Idealtheorie v Ringbereichen.^[16]

Multiplikativní identita: povinná vs. volitelná

Fraenkel potřeboval prsten, aby měl multiplikativní identitu 1,^[17] zatímco Noether ne.^[16]

Většina nebo všechny knihy o algebře^[18][19] až do roku 1960 následovala Noetherova konvence nevyžadující 1. Počínaje šedesátými léty se stále častěji objevovaly knihy včetně existence 1 v definici prstenu, zejména v pokročilých knihách významných autorů, jako je Artin,^[20] Atiyah a MacDonald,^[21] Bourbaki,^[22] Eisenbud,^[23] a Lang.^[24] Existují však knihy vydané až v roce 2006, které nevyžadují 1.^[25][26][27]

Tváří v tvář této terminologické nejednoznačnosti se někteří autoři pokusili prosadit své názory, zatímco jiní se pokusili přijmout přesnější pojmy.

V první kategorii najdeme například Gardnera a Wiegandta, kteří tvrdí, že pokud jeden vyžaduje, aby všechny prsteny měly 1, pak některé důsledky zahrnují neexistenci nekonečných přímých součtů prstenů a skutečnost, že správné přímé součty prstenů nejsou podřetězce. Došli k závěru, že „v mnoha, možná ve většině odvětvích prstenové teorie není požadavek na existenci prvku jednoty rozumný, a proto nepřijatelný“.^[28] Poonen dělá protiargument, že prsteny bez multiplikativní identity nejsou zcela asociativní (produkt jakékoli konečné posloupnosti elementů prstenu, včetně prázdné sekvence, je dobře definovaný, nezávislý na pořadí operací) a píše „přirozené rozšíření požadavků asociativity že prsteny by měly obsahovat prázdný produkt, takže je přirozené požadovat, aby prsteny měly 1 “.^[29]

Ve druhé kategorii najdeme autory, kteří používají následující výrazy:^[30][31]

• prsteny s multiplikativní identitou: jednotný prsten, jednotný prsten, jednotkový prsten, zvonit jednotně, prsten s identitounebo prsten s 1
• prsteny nevyžadující multiplikativní identitu: rng nebo pseudokroužek,^[32] i když to může být matoucí, protože má jiné významy.

Základní příklady

Komutativní prsteny

• Příkladem prototypu je kruh celých čísel se dvěma operacemi sčítání a násobení.
• Racionální, reálná a komplexní čísla jsou komutativní prstence typu, který se nazývá pole.
• An algebra přes prsten je sám o sobě prsten. To jsou také moduly. Nějaké příklady:
  • Žádný algebra nad polem.
  • The polynomiální kruh R[X] polynomů nad prstencem R je sám o sobě prsten. A bezplatný modul přes R nekonečné dimenze.
  • ${ displaystyle mathbf {Z} [c]}$, celá čísla s iracionálním číslem C sousedil. Volný modul nekonečné dimenze, pokud C je transcendentní číslo, bezplatný modul konečné dimenze, pokud C je algebraické celé číslo.
  • ${ displaystyle mathbf {Z} [1 / n]}$, soubor zlomky jejichž jmenovatelé jsou mocí n (včetně negativních). Nesvobodný modul.
  • ${ displaystyle mathbf {Z} [1/10]}$, soubor desetinné zlomky.
  • ${ displaystyle mathbf {Z} doleva [ doleva (1 + { sqrt {d}} doprava) / 2 doprava]}$, kde d je bez čtverce celé číslo formuláře 4n + 1. Volný modul druhé úrovně. Srov. Kvadratická celá čísla.
  • ${ displaystyle mathbf {Z} [i]}$, Gaussova celá čísla.
  • ${ displaystyle mathbf {Z} doleva [ doleva (1 + { sqrt {-3}} doprava) / 2 doprava]}$, Eisensteinova celá čísla. Také jejich zobecnění, a Kummerův prsten.
• Sada všech algebraických celých čísel tvoří kruh. Vyplývá to například ze skutečnosti, že se jedná o integrální uzávěr kruhu racionálních celých čísel v oblasti komplexních čísel. Kroužky ve třech předchozích příkladech jsou podřetězci tohoto kruhu.
• Sada formální mocenské řady R[[X₁, …, X_n]] přes komutativní kruh R je prsten.
• Li S je sada, pak napájecí sada z S se stane prstenem, pokud definujeme doplněk jako symetrický rozdíl množin a násobení průsečík. To odpovídá a prsten sad a je příkladem a Booleovský prsten.
• Sada všech kontinuální skutečný funkce definovaný na reálné linii tvoří komutativní kruh. Operace jsou bodově sčítání a násobení funkcí.
• Nechat X být sadou a R prsten. Pak sada všech funkcí z X na R tvoří kruh, který je komutativní, pokud R je komutativní. Kruh spojitých funkcí v předchozím příkladu je podřetězcem tohoto kruhu, pokud X je skutečná linie a R je pole reálných čísel.

Nezávazné prsteny

• Pro jakýkoli prsten R a jakékoli přirozené číslo n, množina všech čtverců n-podle-n matice se záznamy z R, tvoří kruh s přidáním matice a násobením matice jako operací. Pro n = 1, tento maticový kruh je izomorfní R sám. Pro n > 1 (a R není nulový kruh), tento maticový kruh je nekomutativní.
• Li G je abelianská skupina, pak endomorfismy z G tvoří prsten, endomorfismus prsten Konec(G) z G. Operace v tomto kruhu jsou sčítání a složení endomorfismů. Obecněji, pokud PROTI je levý modul přes prsten R, pak soubor všech R-lineární mapy tvoří kruh, který se také nazývá endomorfní kruh a označuje ho End_R(PROTI).
• Li G je skupina a R je prsten, skupinové vyzvánění z G přes R je bezplatný modul přes R mít G jako základ. Násobení je definováno pravidly, jejichž prvky G dojíždět s živly R a množit se společně jako ve skupině G.
• Mnoho prstenů, které se objevují v analýze, je nekomutativních. Například většina Banachovy algebry jsou nekomutativní.

Non-kroužky

Základní pojmy

Prvky v kruhu

A vlevo nulový dělitel prstenu ${ displaystyle R}$ je prvek ${ displaystyle a}$ v kruhu tak, že existuje nenulový prvek ${ displaystyle b}$ z ${ displaystyle R}$ takhle ${ displaystyle ab = 0}$.^[33] Pravý nulový dělitel je definován podobně.

A nilpotentní prvek je prvek ${ displaystyle a}$ takhle ${ displaystyle a ^ {n} = 0}$ pro některé ${ displaystyle n> 0}$. Jedním příkladem nilpotentního prvku je a nilpotentní matice. Nilpotentní prvek v a nenulový prsten je nutně nulovým dělitelem.

An idempotentní ${ displaystyle e}$ je prvek takový, že ${ displaystyle e ^ {2} = e}$. Jedním příkladem idempotentního prvku je a projekce v lineární algebře.

A jednotka je prvek ${ displaystyle a}$ mít a multiplikativní inverzní; v tomto případě je inverze jedinečná a je označena ${ displaystyle a ^ {- 1}}$. Sada jednotek prstenu je a skupina pod kruhovým množením; tato skupina je označena ${ displaystyle R ^ { times}}$ nebo ${ displaystyle R ^ {*}}$ nebo ${ displaystyle U (R)}$. Například pokud R je prstenec všech čtvercových matic velikosti n tedy přes pole ${ displaystyle R ^ { times}}$ sestává ze sady všech invertibilních matic velikosti na nazývá se obecná lineární skupina.

Subring

Podmnožina S z R se nazývá a podřízený pokud platí některá z následujících rovnocenných podmínek:

• sčítání a množení R omezit dát operace S × S → S tvorba S prsten se stejnou multiplikativní identitou jako R.
• 1 ∈ S; a pro všechny X,y v S, elementy xy, X+y, a -X jsou v S.
• S může být vybaven operacemi, které z něj dělají kruh tak, že mapa začlenění S → R je prstenový homomorfismus.

Například prsten Z of integers is a subring of the pole reálných čísel a také podřetězec kruhu polynomy Z[X] (v obou případech, Z obsahuje 1, což je multiplikativní identita větších kruhů). Na druhou stranu podmnožina sudých celých čísel 2Z neobsahuje prvek identity 1, a proto se nekvalifikuje jako podřetězec Z; dalo by se zavolat 2Z A subrng, nicméně.

Průsečík podřetězců je podřetězec. Vzhledem k podmnožině E z R, nejmenší podřetězec z R obsahující E je průsečík všech podřetězců R obsahující Ea nazývá se podřetěz generovaný E.

Pro prsten R, nejmenší podřetězec z R se nazývá charakteristický podřetězec z R. Lze jej získat mnohonásobným přidáním kopií 1 a -1 v jakékoli směsi. Je možné, že ${ displaystyle n cdot 1 = 1 + 1 + ldots +1}$ (n krát) může být nula. Li n je tedy nejmenší kladné celé číslo tak, že k tomu dojde n se nazývá charakteristický z R. V některých kruzích ${ displaystyle n cdot 1}$ není nikdy nula pro žádné kladné celé číslo na ty prsteny prý mají charakteristická nula.

Dostal prsten R, nechť ${ displaystyle operatorname {Z} (R)}$ označit množinu všech prvků X v R takhle X dojíždí s každým prvkem v R: ${ displaystyle xy = yx}$ pro všechny y v R. Pak ${ displaystyle operatorname {Z} (R)}$ je podřetězec z R; volal centrum z R. Obecněji řečeno, vzhledem k podmnožině X z R, nechť S být množinou všech prvků v R které dojíždějí s každým prvkem v X. Pak S je podřetězec z R, nazvaný centralizátor (nebo komutant) z X. Střed je centralizátorem celého prstenu R. Říká se, že jsou prvky nebo podmnožiny centra centrální v R; oni (každý jednotlivě) generují podřetězec středu.

Ideál

Definice ideál v kruhu je analogický jako v kruhu normální podskupina ve skupině. Ve skutečnosti však hraje roli idealizovaného zevšeobecnění prvku v kruhu; odtud název „ideální“. Stejně jako prvky prstenů je studium ideálů ústředním bodem strukturálního porozumění prstenu.

Nechat R ložisko. Neprázdná podmnožina Já z R pak se říká, že je vlevo ideální v R pokud vůbec X, y v Já a r v R, ${ displaystyle x + y}$ a ${ displaystyle rx}$ jsou v Já. Li ${ displaystyle RI}$ označuje rozpětí Já přes R, tj. množina konečných součtů

${ displaystyle r_ {1} x_ {1} + cdots + r_ {n} x_ {n}, quad r_ {i} v R, quad x_ {i} v I,}$

pak Já je levý ideální, pokud ${ displaystyle RI subseteq I}$. Podobně, Já se říká, že je správně ideální -li ${ displaystyle IR subseteq I}$. Podmnožina Já se říká, že je oboustranný ideál nebo jednoduše ideál pokud je to levý i pravý ideál. Jednostranný nebo oboustranný ideál je potom aditivní podskupinou R. Li E je podmnožinou R, pak ${ displaystyle RE}$ je levý ideál, který se nazývá levý ideál generovaný E; je to nejmenší levý ideální obsah E. Podobně lze považovat správný ideál nebo oboustranný ideál generovaný podmnožinou R.

Li X je v R, pak ${ displaystyle Rx}$ a ${ displaystyle xR}$ jsou levé ideály a pravé ideály; oni se nazývají ředitel školy levé ideály a pravé ideály generované X. Hlavní ideál ${ displaystyle RxR}$ je psán jako ${ displaystyle (x)}$. Například množina všech kladných a záporných násobků 2 spolu s 0 tvoří ideál celých čísel a tento ideál je generován celým číslem 2. Ve skutečnosti je každý ideál prstence celých čísel principiální.

Jako skupina se říká, že je prsten jednoduchý pokud je nenulová a nemá správné nenulové oboustranné ideály. Komutativní jednoduchý prsten je přesně pole.

Prsteny jsou často studovány se zvláštními podmínkami stanovenými podle jejich ideálů. Například prsten, ve kterém není přísně rostoucí nekonečno řetěz levých ideálů se nazývá levý Noetherian ring. Prsten, ve kterém neexistuje přísně se zmenšující nekonečný řetězec levých ideálů, se nazývá levý Artinian prsten. Je poněkud překvapivým faktem, že levý artiniánský prsten je ponechán noetherianem ( Hopkinsova-Levitzkiho věta ). Celá čísla však tvoří noetherovský kruh, který není artiniánský.

Pro komutativní prsteny ideály zobecňují klasický pojem dělitelnosti a rozkladu celého čísla na prvočísla v algebře. Správný ideál P z R se nazývá a hlavní ideál pokud pro nějaké prvky ${ displaystyle x, y v R}$ máme to ${ displaystyle xy v P}$ naznačuje buď ${ displaystyle x v P}$ nebo ${ displaystyle v P}$. Ekvivalentně P je pro všechny ideály prvotřídní ${ displaystyle I, J}$ máme to ${ displaystyle IJ subseteq P}$ naznačuje buď ${ displaystyle I subseteq P}$ nebo ${ displaystyle J subseteq P.}$ Tato druhá formulace ilustruje myšlenku ideálů jako zevšeobecňování prvků.

Homomorfismus

A homomorfismus z prstenu (R, +, ·) na prsten (S, ‡, *) je funkce F z R na S který zachovává operace prstenu; totiž takové, že pro všechny A, b v R platí následující identity:

• F(A + b) = F(A) ‡ F(b)
• F(A · b) = F(A) * F(b)
• F(1_R) = 1_S

Pokud někdo pracuje s ne nutně jednotnými kroužky, třetí podmínka je zrušena.

Prstencový homomorfismus je považován za izomorfismus pokud existuje inverzní homomorfismus k F (tj. kruhový homomorfismus, který je inverzní funkce ). Žádný bijektivní kruhový homomorfismus je kruhový izomorfismus. Dva kroužky ${ displaystyle R, S}$ jsou považovány za izomorfní, pokud mezi nimi existuje izomorfismus, a v takovém případě se píše ${ displaystyle R simeq S}$. Kruhový homomorfismus mezi stejným prstenem se nazývá endomorfismus a izomorfismus mezi stejným prstenem automorfismus.

Příklady:

• Funkce, která mapuje každé celé číslo X k jeho zbytku modulo 4 (číslo v {0, 1, 2, 3}) je homomorfismus z kruhu Z do kvocientu Z/4Z („kvocientový kruh“ je definován níže).
• Li ${ displaystyle u}$ je jednotkový prvek v kruhu R, pak ${ displaystyle R až R, x mapsto uxu ^ {- 1}}$ je prstenový homomorfismus, nazývaný an vnitřní automorfismus z R.
• Nechat R být komutativní prsten primární charakteristiky str. Pak ${ displaystyle x mapsto x ^ {p}}$ je prstenový endomorfismus z R volal Frobeniova homomorfismus.
• The Galoisova skupina rozšíření pole ${ displaystyle L / K}$ je množina všech automorfismů L jejichž omezení K. jsou identita.
• Pro jakýkoli prsten R, existuje jedinečný prstenový homomorfismus Z → R a jedinečný prstenový homomorfismus R → 0.
• An epimorfismus (tj. morfismus se správným zrušením) prstenů nemusí být surjektivní. Například jedinečná mapa ${ displaystyle mathbb {Z} do mathbb {Q}}$ je epimorfismus.
• Homomorfismus algebry z a k-algebra k endomorfismus algebra vektorového prostoru k se nazývá a reprezentace algebry.

Vzhledem k prstencovému homomorfismu ${ displaystyle f: R až S}$, sada všech prvků mapovaných na 0 uživatelem F se nazývá jádro z F. Jádro je oboustranný ideál R. Obrázek uživatele F, na druhou stranu, není vždy ideál, ale je to vždy podřetězec S.

Chcete-li dát prsten homomorfismus z komutativního kruhu R na prsten A s obrazem uprostřed A je stejné jako dát strukturu algebra přes R na A (který zejména dává strukturu A-modul).

Kvocient prstenu

The kvocientový kroužek prstenu je analogický pojmu a kvocientová skupina skupiny. Více formálně, vzhledem k prstenu (R, +, · ) a oboustranný ideál Já z (R, +, · ), kvocientový kroužek (nebo faktorový prsten) R / já je sada kosety z Já (s respektem k aditivní skupina z (R, +, · ), tj. kosety s ohledem na (R, +)) společně s operacemi:

(A + Já) + (b + Já) = (A + b) + Já a

(A + Já)(b + Já) = (ab) + Já.

pro všechny A, b v R.

Stejně jako v případě skupiny kvocientů existuje i kanonická mapa ${ displaystyle p: R až R / I}$ dána ${ displaystyle x mapsto x + I}$. Je surjektivní a splňuje univerzální vlastnost: pokud ${ displaystyle f: R až S}$ je takový kruhový homomorfismus ${ displaystyle f (I) = 0}$, pak existuje jedinečný ${ displaystyle { overline {f}}: R / I to S}$takhle ${ displaystyle f = { overline {f}} circ p}$. Zejména brát Já být jádrem, jeden vidí, že kvocient prsten ${ displaystyle R / operatorname {ker} f}$ je isomorfní s obrazem F; skutečnost známá jako první věta o izomorfismu. Poslední skutečnost to ve skutečnosti znamená žádný homomorfismus surjektivního prstence uspokojuje univerzální vlastnost, protože obraz takové mapy je kvocientový prsten.

Modul

Koncept a modul přes prsten zobecňuje pojem a vektorový prostor (přes pole ) zobecněním z násobení vektorů s prvky pole (skalární násobení ) k množení s prvky prstenu. Přesněji řečeno, prsten R s 1, an R-modul M je abelianská skupina vybaven úkon R × M → M (sdružující prvek M ke každému páru prvku R a prvek M), který splňuje určité axiomy. Tato operace se běžně označuje multiplikativně a nazývá se multiplikace. Axiomy modulů jsou následující: pro všechny A, b v R a všechno X, y v M, my máme:

• M je adelská skupina.
• ${ displaystyle a (x + y) = sekera + ay}$
• ${ displaystyle (a + b) x = sekera + bx}$
• ${ displaystyle 1x = x}$
• ${ displaystyle (ab) x = a (bx)}$

Když je prsten nekomutativní tyto axiomy definují levé moduly; správné moduly jsou definovány podobně psaním xa namísto sekera. To není jen změna notace, jako posledního axiomu správných modulů (tj X(ab) = (xa)b) se stává (ab)X = b(sekera), je-li pro pravý modul použito násobení vlevo (prstencovými prvky).

Základní příklady modulů jsou ideály, včetně samotného prstenu.

I když je teorie modulů definována podobně, je mnohem komplikovanější než teorie vektorového prostoru, protože na rozdíl od vektorových prostorů nejsou moduly charakterizovány (až do izomorfismu) jediným invariantem ( rozměr vektorového prostoru ). Zejména ne všechny moduly mají a základ.

Axiomy modulů to naznačují (−1)X = −X, kde první minus označuje aditivní inverzní v kruhu a druhá minus aditivní inverze v modulu. Použití tohoto a označení opakovaného sčítání násobením kladným celým číslem umožňuje identifikovat abelianské skupiny s moduly přes kruh celých čísel.

Libovolný prstencový homomorfismus indukuje strukturu modulu: pokud F : R → S je tedy kruhový homomorfismus S je levý modul R násobením: rs = F(r)s. Li R je komutativní nebo pokud F(R) je obsažen v centrum z S, prsten S se nazývá a R-algebra. Každý prsten je zejména algebra nad celými čísly.

Stavby

Přímý produkt

Nechat R a S být prsteny. Pak produkt R × S mohou být vybaveny následující přirozenou prstencovou strukturou:

• (r₁, s₁) + (r₂, s₂) = (r₁ + r₂, s₁ + s₂)
• (r₁, s₁) ⋅ (r₂, s₂) = (r₁ ⋅ r₂, s₁ ⋅ s₂)

pro všechny r₁, r₂ v R a s₁, s₂ v S. Prsten R × S s výše uvedenými operacemi sčítání a množení a multiplikativní identity ${ displaystyle (1,1)}$ se nazývá přímý produkt z R s S. Stejná konstrukce funguje i pro libovolnou rodinu prstenů: pokud ${ displaystyle R_ {i}}$ jsou kroužky indexované sadou Já, pak ${ displaystyle prod _ {i v I} R_ {i}}$ je prsten s komponentním sčítáním a množením.

Nechat R být komutativní prsten a ${ displaystyle { mathfrak {a}} _ {1}, cdots, { mathfrak {a}} _ {n}}$ být takovými ideály ${ displaystyle { mathfrak {a}} _ {i} + { mathfrak {a}} _ {j} = (1)}$ kdykoli ${ displaystyle i neq j}$. Pak Čínská věta o zbytku říká, že existuje kanonický prstenový izomorfismus:

${ displaystyle R / { textstyle bigcap _ {i = 1} ^ {n} {{ mathfrak {a}} _ {i}}} simeq prod _ {i = 1} ^ {n} {R / { mathfrak {a}} _ {i}}, qquad x ; operatorname {mod} ; { textstyle bigcap _ {i = 1} ^ {n} {{ mathfrak {a}} _ {i}}} mapsto (x ; operatorname {mod} ; { mathfrak {a}} _ {1}, ldots, x ; operatorname {mod} ; { mathfrak {a}} _ {n})}$.

Na „konečný“ přímý produkt lze pohlížet také jako na přímý součet ideálů.^[34] Jmenovitě ${ displaystyle R_ {i}, 1 leq i leq n}$ být prsteny, ${ displaystyle R_ {i} až R = prod R_ {i}}$ inkluze s obrázky ${ displaystyle { mathfrak {a}} _ {i}}$ (zejména ${ displaystyle { mathfrak {a}} _ {i}}$ jsou kroužky, i když ne podřetězce). Pak ${ displaystyle { mathfrak {a}} _ {i}}$ jsou ideály R a

${ displaystyle R = { mathfrak {a}} _ {1} oplus cdots oplus { mathfrak {a}} _ {n}, quad { mathfrak {a}} _ {i} { mathfrak {a}} _ {j} = 0, i neq j, quad { mathfrak {a}} _ {i} ^ {2} subseteq { mathfrak {a}} _ {i}}$

jako přímý součet abelianských skupin (protože pro abelianské skupiny jsou konečné produkty stejné jako přímé součty). Je zřejmé, že přímý součet těchto ideálů také definuje produkt prstenů, který je izomorfní R. Ekvivalentně lze výše uvedené provést prostřednictvím centrální idempotents. Převzít R má výše uvedený rozklad. Pak můžeme psát

${ displaystyle 1 = e_ {1} + cdots + e_ {n}, quad e_ {i} in { mathfrak {a}} _ {i}.}$

Podle podmínek dne ${ displaystyle { mathfrak {a}} _ {i}}$, jeden to má ${ displaystyle e_ {i}}$ jsou ústředními idempotenty a ${ displaystyle e_ {i} e_ {j} = 0, i neq j}$ (ortogonální). Konstrukci lze opět obrátit. Jmenovitě, pokud je dán oddíl 1 v ortogonálních centrálních idempotentech, pak nechť ${ displaystyle { mathfrak {a}} _ {i} = Re_ {i}}$, což jsou oboustranné ideály. Pokud každý ${ displaystyle e_ {i}}$ není součet ortogonálních centrálních idempotentů,^[35] pak je jejich přímý součet izomorfní s R.

Důležitou aplikací nekonečného přímého produktu je konstrukce a projektivní limit prstenů (viz níže). Další aplikace je a omezený produkt rodiny prstenů (srov. Adele prsten ).

Polynomiální kruh

Dostal symbol t (nazývá se proměnná) a komutativní kruh R, množina polynomů

${ displaystyle R [t] = left {a_ {n} t ^ {n} + a_ {n-1} t ^ {n-1} + dots + a_ {1} t + a_ {0} uprostřed n geq 0, a_ {j} v R vpravo }}$

tvoří komutativní kruh s obvyklým sčítáním a násobením, obsahující R jako podřetězec. Říká se tomu polynomiální kruh přes R. Obecněji řečeno, sada ${ displaystyle R left [t_ {1}, ldots, t_ {n} right]}$ všech polynomů v proměnných ${ displaystyle t_ {1}, ldots, t_ {n}}$ tvoří komutativní kruh obsahující ${ displaystyle R left [t_ {i} right]}$ jako podřetězce.

Li R je integrální doména, pak ${ displaystyle R [t]}$ je také integrální doménou; jeho pole zlomků je pole racionální funkce. Li R je tedy noetherovský prsten ${ displaystyle R [t]}$ je noetherovský prsten. Li R je tedy jedinečná faktorizační doména ${ displaystyle R [t]}$ je jedinečná faktorizační doména. Konečně, R je pole právě tehdy, když ${ displaystyle R [t]}$ je hlavní ideální doménou.

Nechat ${ displaystyle R subseteq S}$ být komutativní prsteny. Vzhledem k prvku X z Slze považovat prstenový homomorfismus

${ displaystyle R [t] na S, quad f mapsto f (x)}$

(toto je substituce ). Li S = R[t] a X = t, pak F(t) = F. Z tohoto důvodu je polynom F je často také označován ${ displaystyle f (t)}$. Obrázek mapy ${ displaystyle f mapsto f (x)}$ je označen ${ displaystyle R [x]}$; je to totéž jako podřetězec z S generováno uživatelem R a X.

Příklad: ${ displaystyle k left [t ^ {2}, t ^ {3} right]}$ označuje obraz homomorfismu

${ displaystyle k [x, y] až k [t], , f mapsto f left (t ^ {2}, t ^ {3} right).}$

Jinými slovy, je to subalgebra ${ displaystyle k [t]}$ generováno uživatelem t² a t³.

Příklad: let F být polynomem v jedné proměnné, tj. prvkem v polynomiálním kruhu R. Pak ${ displaystyle f (x + h)}$ je prvek v ${ displaystyle R [h]}$ a ${ displaystyle f (x + h) -f (x)}$ je dělitelné h v tom prstenu. Výsledek dosazení nuly na h v ${ displaystyle (f (x + h) -f (x)) / h}$ je ${ displaystyle f '(x)}$, derivát F v X.

Substituce je zvláštní případ univerzální vlastnosti polynomiálního kruhu. Vlastnost uvádí: daný prstenový homomorfismus ${ displaystyle phi: R až S}$ a prvek X v S existuje jedinečný prstenový homomorfismus ${ displaystyle { overline { phi}}: R [t] na S}$ takhle ${ displaystyle { overline { phi}} (t) = x}$ a ${ displaystyle { overline { phi}}}$ omezuje na ${ displaystyle phi}$.^[36] Například výběr základny, a symetrická algebra splňuje univerzální vlastnost a stejně tak polynomiální kruh.

Uveďme příklad S být prstenem všech funkcí od R sama sobě; sčítání a násobení jsou funkce. Nechat X být funkcí identity. Každý r v R definuje konstantní funkci, která vede k homomorfismu ${ displaystyle R to S}$. Univerzální vlastnost říká, že tato mapa se jedinečným způsobem rozšiřuje na

${ displaystyle R [t] na S, quad f mapsto { overline {f}}}$

(t mapy do X) kde ${ displaystyle { overline {f}}}$ je polynomiální funkce definován F. Výsledná mapa je injektivní právě tehdy R je nekonečný.

Vzhledem k nekonstantnímu monickému polynomu F v ${ displaystyle R [t]}$, existuje prsten S obsahující R takhle F je produkt lineárních faktorů v ${ displaystyle S [t]}$.^[37]

Nechat k být algebraicky uzavřené pole. The Hilbertův Nullstellensatz (věta nul) uvádí, že existuje přirozená vzájemná korespondence mezi množinou všech hlavních ideálů v ${ displaystyle k left [t_ {1}, ldots, t_ {n} right]}$ a soubor uzavřených poddruhů ${ displaystyle k ^ {n}}$. Zejména mnoho místních problémů v algebraické geometrii může být napadeno studiem generátorů ideálu v polynomiálním kruhu. (srov. Gröbnerův základ.)

Existuje několik dalších souvisejících konstrukcí. A formální kruh mocninných řad ${ displaystyle R [! [t] !]}$ sestává z formální mocenské řady

${ displaystyle sum _ {0} ^ { infty} a_ {i} t ^ {i}, quad a_ {i} v R}$

spolu s násobením a sčítáním, které napodobují ty pro konvergentní řady. Obsahuje ${ displaystyle R [t]}$ jako podřetězec. Formální kruh mocninové řady nemá univerzální vlastnost polynomiálního kruhu; řada nemusí po střídání konvergovat. Důležitou výhodou formálního prstence mocninové řady oproti polynomickému prstenci je to, že je místní (ve skutečnosti, kompletní ).

Maticový prsten a prsten endomorfismu

Nechat R být prsten (nemusí být nutně komutativní). Sada všech čtvercových matic velikosti n se záznamy v R tvoří kruh se vstupním sčítáním a obvyklým násobením matic. Říká se tomu maticový prsten a je označen M._n(R). Získané právo R-modul ${ displaystyle U}$soubor všech R-lineární mapy z U samo o sobě tvoří prsten s přídavkem, který má funkci a násobení composition of functions; it is called the endomorphism ring of U and is denoted by ${displaystyle operatorname {End} _{R}(U)}$.

As in linear algebra, a matrix ring may be canonically interpreted as an endomorphism ring: ${displaystyle operatorname {End} _{R}(R^{n})simeq operatorname {M} _{n}(R)}$. This is a special case of the following fact: If ${displaystyle f:oplus _{1}^{n}U o oplus _{1}^{n}U}$ je R-linear map, then F may be written as a matrix with entries ${displaystyle f_{ij}}$ v ${displaystyle S=operatorname {End} _{R}(U)}$, resulting in the ring isomorphism:

${displaystyle operatorname {End} _{R}(oplus _{1}^{n}U) o operatorname {M} _{n}(S),quad fmapsto (f_{ij}).}$

Any ring homomorphism R → S indukuje M_n(R) → M_n(S).^[38]

Schurovo lemma says that if U is a simple right R- tedy modul ${displaystyle operatorname {End} _{R}(U)}$ is a division ring.^[39] Li ${displaystyle displaystyle U=igoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{oplus m_{i}}}$ je přímý součet m_i-copies of simple R-modules ${displaystyle U_{i}}$, pak

${displaystyle operatorname {End} _{R}(U)simeq prod _{i=1}^{r}operatorname {M} _{m_{i}}(operatorname {End} _{R}(U_{i}))}$.

The Artin – Wedderburnova věta states any polojednoduchý prsten (cf. below) is of this form.

A ring R and the matrix ring M_n(R) over it are Morita equivalent: kategorie of right modules of R is equivalent to the category of right modules over M_n(R).^[38] In particular, two-sided ideals in R correspond in one-to-one to two-sided ideals in M_n(R).

Limits and colimits of rings

Nechat R_i be a sequence of rings such that R_i is a subring of R_i+1 pro všechny i. Then the union (or filtered colimit ) z R_i is the ring ${displaystyle varinjlim R_{i}}$ defined as follows: it is the disjoint union of all R_i's modulo the equivalence relation ${displaystyle xsim y}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle x=y}$ v R_i pro dostatečně velké i.

Examples of colimits:

• A polynomial ring in infinitely many variables: ${displaystyle R[t_{1},t_{2},cdots ]=varinjlim R[t_{1},t_{2},cdots ,t_{m}].}$
• The algebraic closure z finite fields of the same characteristic ${displaystyle {overline {mathbf {F} }}_{p}=varinjlim mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• Pole formal Laurent series přes pole k: ${displaystyle k(!(t)!)=varinjlim t^{-m}k[![t]!]}$ (it is the field of fractions of the formal power series ring ${displaystyle k[![t]!]}$.)
• The function field of an algebraic variety přes pole k je ${displaystyle varinjlim k[U]}$ where the limit runs over all the coordinate rings ${displaystyle k[U]}$ of nonempty open subsets U (more succinctly it is the stonek of the structure sheaf at the obecný bod.)

Any commutative ring is the colimit of finitely generated subrings.

A projective limit (nebo a filtered limit ) of rings is defined as follows. Suppose we're given a family of rings ${displaystyle R_{i}}$, i running over positive integers, say, and ring homomorphisms ${displaystyle R_{j} o R_{i},jgeq i}$ takhle ${displaystyle R_{i} o R_{i}}$ are all the identities and ${displaystyle R_{k} o R_{j} o R_{i}}$ je ${displaystyle R_{k} o R_{i}}$ kdykoli ${displaystyle kgeq jgeq i}$. Pak ${displaystyle varprojlim R_{i}}$ is the subring of ${displaystyle prod R_{i}}$ skládající se z ${ displaystyle (x_ {n})}$ takhle ${ displaystyle x_ {j}}$ mapy do ${ displaystyle x_ {i}}$ pod ${displaystyle R_{j} o R_{i},jgeq i}$.

For an example of a projective limit, see § Completion.

Lokalizace

The lokalizace generalizes the construction of the field of fractions of an integral domain to an arbitrary ring and modules. Given a (not necessarily commutative) ring R and a subset S z R, there exists a ring ${displaystyle R[S^{-1}]}$ together with the ring homomorphism ${displaystyle R o Rleft[S^{-1} ight]}$ that "inverts" S; that is, the homomorphism maps elements in S to unit elements in ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$, and, moreover, any ring homomorphism from R that "inverts" S uniquely factors through ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$.^[40] Prsten ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$ se nazývá lokalizace z R s ohledem na S. Například pokud R je komutativní prsten a F an element in R, then the localization ${displaystyle Rleft[f^{-1} ight]}$ consists of elements of the form ${displaystyle r/f^{n},,rin R,,ngeq 0}$ (to be precise, ${displaystyle Rleft[f^{-1} ight]=R[t]/(tf-1).}$)^[41]

The localization is frequently applied to a commutative ring R with respect to the complement of a prime ideal (or a union of prime ideals) in R. V tom případě ${displaystyle S=R-{mathfrak {p}}}$, one often writes ${displaystyle R_{mathfrak {p}}}$ pro ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$. ${displaystyle R_{mathfrak {p}}}$ is then a místní prsten s maximální ideál ${displaystyle {mathfrak {p}}R_{mathfrak {p}}}$. This is the reason for the terminology "localization". The field of fractions of an integral domain R is the localization of R at the prime ideal zero. Li ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ is a prime ideal of a commutative ring R, then the field of fractions of ${displaystyle R/{mathfrak {p}}}$ is the same as the residue field of the local ring ${displaystyle R_{mathfrak {p}}}$ and is denoted by ${displaystyle k({mathfrak {p}})}$.

Li M je levice R-module, then the localization of M s ohledem na S is given by a change of rings ${displaystyle Mleft[S^{-1} ight]=Rleft[S^{-1} ight]otimes _{R}M}$.

The most important properties of localization are the following: when R je komutativní prsten a S a multiplicatively closed subset

• ${displaystyle {mathfrak {p}}mapsto {mathfrak {p}}left[S^{-1} ight]}$ is a bijection between the set of all prime ideals in R disjoint from S and the set of all prime ideals in ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$.^[42]
• ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]=varinjlim Rleft[f^{-1} ight]}$, F running over elements in S with partial ordering given by divisibility.^[43]
• The localization is exact:

  ${displaystyle 0 o M'left[S^{-1} ight] o Mleft[S^{-1} ight] o M''left[S^{-1} ight] o 0}$ is exact over ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$ kdykoli ${displaystyle 0 o M' o M o M'' o 0}$ is exact over R.

• Naopak, pokud ${displaystyle 0 o M'_{mathfrak {m}} o M_{mathfrak {m}} o M''_{mathfrak {m}} o 0}$ is exact for any maximal ideal ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$, pak ${displaystyle 0 o M' o M o M'' o 0}$ is exact.
• A remark: localization is no help in proving a global existence. One instance of this is that if two modules are isomorphic at all prime ideals, it does not follow that they are isomorphic. (One way to explain this is that the localization allows one to view a module as a sheaf over prime ideals and a sheaf is inherently a local notion.)

v teorie kategorií, a localization of a category amounts to making some morphisms isomorphisms. An element in a commutative ring R may be thought of as an endomorphism of any R-modul. Thus, categorically, a localization of R with respect to a subset S z R je funktor from the category of R-modules to itself that sends elements of S viewed as endomorphisms to automorphisms and is universal with respect to this property. (Of course, R then maps to ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$ a R-modules map to ${displaystyle Rleft[S^{-1} ight]}$-modules.)

Dokončení

Nechat R be a commutative ring, and let Já be an ideal of R.v dokončení z R v Já is the projective limit ${displaystyle {hat {R}}=varprojlim R/I^{n}}$; it is a commutative ring. The canonical homomorphisms from R to the quotients ${displaystyle R/I^{n}}$ induce a homomorphism ${displaystyle R o {hat {R}}}$. The latter homomorphism is injective if R is a Noetherian integral domain and Já is a proper ideal, or if R is a Noetherian local ring with maximal ideal Játím, že Krull's intersection theorem.^[44] The construction is especially useful when Já is a maximal ideal.

The basic example is the completion Z_str z Z at the principal ideal (str) generated by a prime number str; it is called the ring of str-adická celá čísla. The completion can in this case be constructed also from the str-adic absolute value na Q. The str-adic absolute value on Q je mapa ${displaystyle xmapsto |x|}$ z Q na R dána ${displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$ kde ${displaystyle v_{p}(n)}$ denotes the exponent of str in the prime factorization of a nonzero integer n into prime numbers (we also put ${displaystyle |0|_{p}=0}$ a ${displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$). It defines a distance function on Q and the completion of Q jako metric space je označen Q_str. It is again a field since the field operations extend to the completion. The subring of Q_str consisting of elements X s ${displaystyle |x|_{p}leq 1}$ je izomorfní s Z_str.

Similarly, the formal power series ring ${displaystyle R[{[t]}]}$ is the completion of ${displaystyle R[t]}$ v ${displaystyle (t)}$ (viz také Hensel's lemma )

A complete ring has much simpler structure than a commutative ring. This owns to the Cohen structure theorem, which says, roughly, that a complete local ring tends to look like a formal power series ring or a quotient of it. On the other hand, the interaction between the integral closure and completion has been among the most important aspects that distinguish modern commutative ring theory from the classical one developed by the likes of Noether. Pathological examples found by Nagata led to the reexamination of the roles of Noetherian rings and motivated, among other things, the definition of excellent ring.

Rings with generators and relations

The most general way to construct a ring is by specifying generators and relations. Nechat F být zdarma vyzvánění (that is, free algebra over the integers) with the set X of symbols, that is, F consists of polynomials with integral coefficients in noncommuting variables that are elements of X. A free ring satisfies the universal property: any function from the set X to a ring R faktory F aby ${displaystyle F o R}$ is the unique ring homomorphism. Just as in the group case, every ring can be represented as a quotient of a free ring.^[45]

Now, we can impose relations among symbols in X by taking a quotient. Explicitly, if E je podmnožinou F, then the quotient ring of F by the ideal generated by E is called the ring with generators X and relations E. If we used a ring, say, A as a base ring instead of Z, then the resulting ring will be over A. Například pokud ${displaystyle E={xy-yxmid x,yin X}}$, then the resulting ring will be the usual polynomial ring with coefficients in A in variables that are elements of X (It is also the same thing as the symmetric algebra přes A with symbols X.)

In the category-theoretic terms, the formation ${displaystyle Smapsto { ext{the free ring generated by the set }}S}$ is the left adjoint functor of the forgetful functor z category of rings na Soubor (and it is often called the free ring functor.)

Nechat A, B be algebras over a commutative ring R. Then the tensor product of R-modules ${displaystyle Aotimes _{R}B}$ je R-modul. We can turn it to a ring by extending linearly ${displaystyle (xotimes u)(yotimes v)=xyotimes uv}$. Viz také: tensor product of algebras, change of rings.

Special kinds of rings

Domény

A nenulové ring with no nonzero zero-divisors se nazývá a doména. A commutative domain is called an integrální doména. The most important integral domains are principal ideals domains, PID for short, and fields. A principal ideal domain is an integral domain in which every ideal is principal. An important class of integral domains that contain a PID is a unique factorization domain (UFD), an integral domain in which every nonunit element is a product of prime elements (an element is prime if it generates a hlavní ideál.) The fundamental question in algebraic number theory is on the extent to which the ring of (generalized) integers v pole s číslem, where an "ideal" admits prime factorization, fails to be a PID.

Among theorems concerning a PID, the most important one is the věta o struktuře pro konečně generované moduly nad hlavní ideální doménou. The theorem may be illustrated by the following application to linear algebra.^[46] Nechat PROTI be a finite-dimensional vector space over a field k a ${displaystyle f:V o V}$ a linear map with minimal polynomial q. Pak od té doby ${displaystyle k[t]}$ is a unique factorization domain, q factors into powers of distinct irreducible polynomials (that is, prime elements):

${displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}ldots p_{s}^{e_{s}}.}$

Pronájem ${displaystyle tcdot v=f(v)}$, we make PROTI A k[t]-module. The structure theorem then says PROTI je přímý součet cyclic modules, each of which is isomorphic to the module of the form ${displaystyle k[t]/left(p_{i}^{k_{j}} ight)}$. Teď když ${displaystyle p_{i}(t)=t-lambda _{i}}$, then such a cyclic module (for ${ displaystyle p_ {i}}$) has a basis in which the restriction of F is represented by a Jordan matrix. Thus, if, say, k is algebraically closed, then all ${ displaystyle p_ {i}}$'s are of the form ${displaystyle t-lambda _{i}}$ and the above decomposition corresponds to the Jordan canonical form z F.

In algebraic geometry, UFDs arise because of smoothness. More precisely, a point in a variety (over a perfect field) is smooth if the local ring at the point is a pravidelný místní kroužek. A regular local ring is a UFD.^[47]

The following is a chain of class inclusions that describes the relationship between rings, domains and fields:

Komutativní prsteny ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ pole

Divizní prsten

A division ring is a ring such that every non-zero element is a unit. A commutative division ring is a pole. A prominent example of a division ring that is not a field is the ring of čtveřice. Any centralizer in a division ring is also a division ring. In particular, the center of a division ring is a field. It turned out that every konečný domain (in particular finite division ring) is a field; in particular commutative (the Wedderburn's little theorem ).

Every module over a division ring is a free module (has a basis); consequently, much of linear algebra can be carried out over a division ring instead of a field.

The study of conjugacy classes figures prominently in the classical theory of division rings. Cartan famously asked the following question: given a division ring D and a proper sub-division-ring S that is not contained in the center, does each inner automorphism of D restrict to an automorphism of S? The answer is negative: this is the Cartan–Brauer–Hua theorem.

A cyclic algebra, představil L. E. Dickson, is a generalization of a quaternion algebra.

Semisimple rings

A ring is called a polojednoduchý prsten Pokud to je semisimple as a left module (or right module) over itself, that is, a direct sum of simple modules. A ring is called a semiprimitive ring jestli je to Jacobson radical je nula. (The Jacobson radical is the intersection of all maximal left ideals.) A ring is semisimple if and only if it is artinian and is semiprimitive.

An algebra over a field k is artinian if and only if it has finite dimension. Thus, a semisimple algebra over a field is necessarily finite-dimensional, while a simple algebra may have infinite dimension, for example, the ring of differential operators.

Any module over a semisimple ring is semisimple. (Důkaz: jakýkoli bezplatný modul přes polojednoduchý kruh je zjevně poloviční a jakýkoli modul je kvocientem volného modulu.)

Příklady polokruhových kroužků:

• Maticový prsten nad dělícím prstencem je poloviční (ve skutečnosti jednoduchý).
• Skupinové vyzvánění ${ displaystyle k [G]}$ konečné skupiny G přes pole k je poloviční, pokud je charakteristika k nerozděluje pořadí G. (Maschkeova věta )
• The Weylova algebra (přes pole) je jednoduchý prsten; není to jednoduché, protože má nekonečný rozměr, a proto není artinian.
• Cliffordské algebry jsou polojednoduché.

Polojednodušost úzce souvisí s oddělitelností. An algebra A přes pole k se říká, že je oddělitelný pokud základní rozšíření ${ displaystyle A otimes _ {k} F}$ je poloviční pro všechny rozšíření pole ${ displaystyle F / k}$. Li A shodou okolností pole, pak je to ekvivalentní obvyklé definici v teorii pole (srov. oddělitelný nástavec.)

Centrální jednoduchá algebra a Brauerova skupina

Pro pole k, a k-algebra je centrální, pokud je její střed k a je jednoduchý, pokud je jednoduchý prsten. Od centra jednoduchého k-algebra je pole, jakékoli jednoduché k-algebra je centrální jednoduchá algebra nad jejím středem. V této části se předpokládá, že centrální jednoduchá algebra má konečnou dimenzi. Většinou také opravujeme základní pole; algebra tedy označuje a k-algebra. Maticový kruh velikosti n přes prsten R bude označen ${ displaystyle R_ {n}}$.

The Věta Skolem – Noether uvádí, že jakýkoli automorfismus centrální jednoduché algebry je vnitřní.

Dvě centrální jednoduché algebry A a B se říká, že jsou podobný pokud existují celá čísla n a m takhle ${ displaystyle A otimes _ {k} k_ {n} přibližně B otimes _ {k} k_ {m}}$.^[48] Od té doby ${ displaystyle k_ {n} další _ {k} k_ {m} simeq k_ {nm}}$, podobnost je ekvivalenční vztah. Třídy podobnosti ${ displaystyle [A]}$ s množením ${ displaystyle [A] [B] = doleva [A otimes _ {k} B doprava]}$ tvoří abelianskou skupinu nazvanou Brauerova skupina z k a je označen ${ displaystyle operatorname {Br} (k)}$. Podle Artin – Wedderburnova věta, centrální jednoduchá algebra je maticový kruh dělícího kruhu; tedy každá třída podobnosti je reprezentována jedinečným dělícím prstencem.

Například, ${ displaystyle operatorname {Br} (k)}$ je triviální, pokud k je konečné pole nebo algebraicky uzavřené pole (obecněji kvazi-algebraicky uzavřené pole; srov. Tsenova věta ). ${ displaystyle operatorname {Br} ( mathbb {R})}$ má objednávku 2 (speciální případ Frobeniova věta ). Nakonec, pokud k je nonarchimedean místní pole (například, ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$), pak ${ displaystyle operatorname {Br} (k) = mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ skrz invariantní mapa.

Teď když F je rozšíření pole o k, pak základní prodloužení ${ displaystyle - otimes _ {k} F}$ indukuje ${ displaystyle operatorname {Br} (k) na operatorname {Br} (F)}$. Jeho jádro je označeno ${ displaystyle operatorname {Br} (F / k)}$. Skládá se z ${ displaystyle [A]}$ takhle ${ displaystyle A otimes _ {k} F}$ je maticový kruh F (to znamená, A je rozdělen F.) Pokud je rozšíření konečné a Galois, pak ${ displaystyle operatorname {Br} (F / k)}$ je kanonicky izomorfní s ${ displaystyle H ^ {2} left ( operatorname {Gal} (F / k), k ^ {*} right)}$.^[49]

Azumaya algebry zobecnit pojem centrálních jednoduchých algeber na komutativní místní kruh.

Oceňovací kruh

Li K. je pole, a ocenění proti je skupinový homomorfismus z multiplikativní skupiny K.^* do zcela objednané abelianské skupiny G takové, že pro každého F, G v K. s F + G nenulové, proti(F + G) ≥ min {proti(F), proti(G)}. The oceňovací prsten z proti je podřetězec z K. skládající se z nuly a všech nenulových hodnot F takhle proti(F) ≥ 0.

Příklady:

Viz také: Novikov prsten a uniserial prsten.

Prsteny s extra strukturou

Na prsten lze pohlížet jako na abelianská skupina (pomocí operace sčítání), s extra strukturou: jmenovitě kruhové násobení. Stejným způsobem existují i ​​jiné matematické objekty, které lze považovat za prsteny s extra strukturou. Například:

• An asociativní algebra je prsten, který je také a vektorový prostor přes pole K. tak, že skalární násobení je kompatibilní s kruhovým násobením. Například sada n-podle-n matice nad skutečným polem R má rozměr n² jako skutečný vektorový prostor.
• Prsten R je topologický prsten pokud je to jeho sada prvků R dostává a topologie což vytváří mapu přidání ( ${ displaystyle +: R krát R až R ,}$) a mapa násobení ( ${ displaystyle cdot: R krát R až R ,}$) být oba kontinuální jako mapy mezi topologickými prostory (kde X × X zdědí topologie produktu nebo jakýkoli jiný produkt v kategorii). Například, n-podle-n matice nad reálnými čísly lze dát buď Euklidovská topologie, nebo Zariski topologie, a v obou případech by člověk získal topologický prsten.
• A λ-kroužek je komutativní prsten R společně s operacemi λⁿ: R → R které jsou jako n-th vnější síly:

${ displaystyle lambda ^ {n} (x + y) = součet _ {0} ^ {n} lambda ^ {i} (x) lambda ^ {n-i} (y)}$.

Například, Z je λ-kroužek s ${ displaystyle lambda ^ {n} (x) = { binom {x} {n}}}$, binomické koeficienty. Pojem hraje ústřední pravidlo v algebraickém přístupu k Riemann – Rochova věta.

• A úplně objednaný prsten je prsten s a celkové objednání který je kompatibilní s operacemi vyzvánění.

Několik příkladů všudypřítomnosti prstenů

Mnoho různých druhů matematické objekty lze plodně analyzovat z hlediska některých přidružený prsten.

Kohomologický prsten topologického prostoru

Každému topologický prostor X lze spojit jeho integrál cohomologický prsten

${ displaystyle H ^ {*} (X, mathbb {Z}) = bigoplus _ {i = 0} ^ { infty} H ^ {i} (X, mathbb {Z}),}$

A odstupňovaný prsten. Jsou tu také homologické skupiny ${ displaystyle H_ {i} (X, mathbb {Z})}$ prostoru, a ty byly definovány jako první, jako užitečný nástroj pro rozlišení mezi určitými páry topologických prostorů, jako je koule a Tori, pro které jsou metody bodová topologie nejsou vhodné. Kohomologické skupiny byly později definovány z hlediska skupin homologie způsobem, který je zhruba analogický s duálem a vektorový prostor. Znát každou jednotlivou skupinu integrální homologie je v podstatě stejné jako znát každou jednotlivou skupinu integrální homologie, protože věta o univerzálním koeficientu. Výhodou kohomologických skupin však je, že existuje přírodní produkt, což je analogické s pozorováním, že lze násobit bodově a k-multilineární forma a l-multilineární forma k získání (k + l) -multilineární forma.

Kruhová struktura v cohomologii poskytuje základ pro charakteristické třídy z svazky vláken, teorie průniku na potrubí a algebraické odrůdy, Schubertův počet a mnohem víc.

Burnsideův prsten skupiny

Každému skupina je spojen s jeho Burnsideův prsten který pomocí kruhu popisuje různé způsoby, jakými skupina může akt na konečné sadě. Doplňkovou skupinou prstenu Burnside je bezplatná abelianská skupina jejichž základem jsou tranzitivní akce skupiny a jejichž doplněním je disjunktní spojení akce. Vyjádření akce z hlediska základu rozkládá akci na její přechodné složky. Násobení lze snadno vyjádřit pomocí reprezentační prsten: multiplikace v kruhu Burnside je vytvořena zápisem tenzorového produktu dvou permutačních modulů jako permutačního modulu. Kruhová struktura umožňuje formální způsob odečtení jedné akce od druhé. Vzhledem k tomu, že Burnsideův kruh je obsažen jako konečný indexový podřetězec reprezentačního kruhu, lze snadno přecházet z jednoho do druhého rozšířením koeficientů z celých čísel na racionální čísla.

Reprezentační prsten skupinového kruhu

Každému skupinové vyzvánění nebo Hopfova algebra je spojen s jeho reprezentační prsten nebo „Zelený prsten“. Aditivní skupina reprezentačního kruhu je volná abelianská skupina, jejíž základem jsou nerozložitelné moduly a jehož přidání odpovídá přímému součtu. Vyjádření modulu z hlediska základu je nalezení nerozložitelného rozkladu modulu. Násobení je tenzorový produkt. Když je algebra poloviční, je reprezentační prsten pouze prstenem postavy teorie znaků, což je víceméně Grothendieckova skupina vzhledem k prstencové struktuře.

Funkční pole neredukovatelné algebraické odrůdy

Každému neredukovatelnému algebraická rozmanitost je spojen s jeho funkční pole. Body algebraické odrůdy odpovídají oceňovací prsteny obsažené v poli funkce a obsahující souřadnicový kruh. Studium algebraická geometrie těžce využívá komutativní algebra studovat geometrické pojmy z hlediska prstencově teoretických vlastností. Birational geometrie studuje mapy mezi podřetězci funkčního pole.

Obličejový kruh zjednodušeného komplexu

Každý zjednodušený komplex má přidružený obličejový prsten, nazývaný také jeho Stanley – Reisnerův prsten. Tento prsten odráží mnoho kombinatorických vlastností zjednodušeného komplexu, takže je obzvláště zajímavý algebraická kombinatorika. Zejména algebraická geometrie Stanleyho-Reisnerova prstenu byla použita k charakterizaci počtu ploch v každé dimenzi jednoduché polytopy.

Teoretický popis kategorie

Každý prsten lze považovat za monoidní v Ab, kategorie abelianských skupin (myšlenka jako monoidní kategorie pod tenzorový produkt ${ displaystyle { mathbb {Z}}}$- moduly ). Monoidní akce prstenu R na abelianské skupině je prostě R-modul. V zásadě R-module je zobecnění pojmu a vektorový prostor - kde spíše než vektorový prostor nad polem má člověk „vektorový prostor nad prstencem“.

Nechť (A, +) být abelianskou skupinou a nechat End (A) být jeho endomorfismus prsten (viz výše). Všimněte si, že v podstatě End (A) je množina všech morfismů A, kde pokud F je na konci (A), a G je na konci (A), lze k výpočtu použít následující pravidla F + G a F · G:

• (F + G)(X) = F(X) + G(X)
• (F · G)(X) = F(G(X))

kde + jako v F(X) + G(X) je doplněk v Aa složení funkce je označeno zprava doleva. Proto, spojené jakékoli abelianské skupině je prsten. Naopak, vzhledem k libovolnému prstenu, (R, +, · ), (R, +) je abelianská skupina. Navíc pro každého r v R, pravé (nebo levé) násobení r vede k morfismu (R, +), pravou (nebo levou) distribucí. Nechat A = (R, +). Zvažte ty endomorfismy z A, toto "faktorování" doprava (nebo doleva) násobení R. Jinými slovy, nechme Konec_R(A) být množinou všech morfismů m z A, které mají vlastnost, že m(r · X) = r · m(X). Bylo vidět, že každý r v R vede k morfismu A: správné násobení r. Je ve skutečnosti pravda, že toto sdružení jakéhokoli prvku R, k morfismu A, jako funkce od R do konce_R(A), je izomorfismus prstenů. V tomto smyslu lze tedy na jakýkoli prsten pohlížet jako na prsten endomorfismu nějakého abeliana X-skupina vytvořená X-skupina, znamená to skupinu s X být jeho sada operátorů ).^[50] V podstatě nejobecnější forma prstenu je skupina endomorfismu nějakého abelianu X-skupina.

Jakýkoli prsten lze považovat za preadditive kategorie s jediným objektem. Je proto přirozené považovat libovolné přednastavené kategorie za zobecnění prstenů. Do tohoto obecnějšího kontextu lze skutečně přeložit mnoho definic a vět, které byly původně uvedeny pro prsteny. Aditivní funktory mezi preadditive kategoriemi zobecnit koncept kruhového homomorfismu a ideály v aditivních kategoriích lze definovat jako sady morfismy uzavřeno sčítáním a složením s libovolnými morfismy.

Zobecnění

Algebraisté definovali struktury obecnější než prstence oslabením nebo vypuštěním některých axiomů prstence.

Rng

A rng je stejný jako prsten, kromě toho, že se nepředpokládá existence multiplikativní identity.^[51]

Neasociativní prsten

A neasociativní kruh je algebraická struktura, která splňuje všechny kruhové axiomy kromě asociativní vlastnosti a existence multiplikativní identity. Pozoruhodným příkladem je a Lež algebra. Existuje nějaká teorie struktury pro takové algebry, která zobecňuje analogické výsledky pro Lieovy algebry a asociativní algebry.^{[Citace je zapotřebí ]}

Semiring

A semiring (někdy souprava) se získá oslabením předpokladu, že (R, +) je abelianská skupina za předpokladu, že (R, +) je komutativní monoid a přidáním axiomu, že 0 · A = A · 0 = 0 pro všechny A v R (protože to již nevyplývá z ostatních axiomů).

Příklady:

• nezáporná celá čísla ${ displaystyle {0,1,2, ldots }}$ s běžným sčítáním a násobením;
• the tropický semiring.

Další objekty podobné prstenu

Vyzvánět objekt v kategorii

Nechat C být kategorií s konečnými produkty. Nechť pt označuje a koncový objekt z C (prázdný produkt). A prstenový objekt v C je objekt R vybavené morfismy ${ displaystyle R krát R ; { stackrel {a} { to}} , R}$ (přidání), ${ displaystyle R krát R ; { stackrel {m} { to}} , R}$ (násobení), ${ displaystyle operatorname {pt} { stackrel {0} { to}} , R}$ (aditivní identita), ${ displaystyle R ; { stackrel {i} { to}} , R}$ (aditivní inverzní) a ${ displaystyle operatorname {pt} { stackrel {1} ​​{ to}} , R}$ (multiplikativní identita) splňující obvyklé prstencové axiomy. Ekvivalentně je objekt prstenu objektem R vybaven faktorizací svého funktoru bodů ${ displaystyle h_ {R} = operatorname {Hom} (-, R): C ^ { operatorname {op}} to mathbf {Sady}}$ prostřednictvím kategorie prstenů: ${ displaystyle C ^ { operatorname {op}} to mathbf {prsteny} { stackrel { textrm {zapomnětlivé}} { longrightarrow}} mathbf {sady}}$.

Schéma prstenu

V algebraické geometrii, a kruhové schéma přes základnu systém S je prstenový objekt v kategorii S-schémata. Jedním z příkladů je kruhové schéma Ž_n přes Spec Z, což pro jakýkoli komutativní kruh A vrací prsten Ž_n(A) z str-izotypové Wittovy vektory délky n přes A.^[52]

Prstencové spektrum

v algebraická topologie, a kruhové spektrum je spektrum X společně s násobením ${ displaystyle mu tlustého střeva X klín X až X}$ a jednotkovou mapu ${ displaystyle S až X}$ z sférické spektrum S, takže kruhové axiomové diagramy dojíždějí až k homotopii. V praxi je běžné definovat kruhové spektrum jako a monoidní objekt v dobré kategorii spekter, jako je kategorie symetrická spektra.

Viz také

Speciální typy prstenů:

Poznámky

Citace

Reference

Obecné odkazy

Speciální reference