Element (matematika) - Element (mathematics)

v matematika, an živel (nebo člen) a soubor je některý z výrazných předměty které patří do této sady.

Sady

Psaní ${ displaystyle A = {1,2,3,4 }}$ znamená, že prvky množiny A jsou čísla 1, 2, 3 a 4. Sady prvků z A, například ${ displaystyle {1,2 }}$, jsou podmnožiny z A.

Sady mohou být samy o sobě prvky. Zvažte například sadu ${ displaystyle B = {1,2, {3,4 } }}$. Prvky B jsou ne 1, 2, 3 a 4. Spíše existují pouze tři prvky B, jmenovitě čísla 1 a 2, a množina ${ displaystyle {3,4 }}$.

Prvky sady mohou být cokoli. Například, ${ displaystyle C = { mathrm { color {red} red}, mathrm { color {green} green}, mathrm { color {blue} blue} }}$ je sada, jejíž prvky jsou barvy Červené, zelená a modrý.

Zápis a terminologie

The vztah „je prvek“, také nazývaný nastavit členství, je označen symbolem „∈“. Psaní

${ displaystyle x v A}$

znamená, že "X je prvekA".^[1][2] Ekvivalentní výrazy jsou „X je členemA", "X patříA", "X je vA" a "X leží vA". Výrazy"A zahrnuje X" a "A obsahuje X„se také používají k označení členství v sadě, i když někteří autoři je používají místo toho“X je podmnožina zA".^[3] Logik George Boolos důrazně žádáme, aby „obsahuje“ bylo použito pouze pro členství a „obsahuje“ pouze pro relaci podmnožiny.^[4]

Pro vztah ∈ platí konverzní vztah ∈^T lze psát

${ displaystyle A ni x,}$ význam "A obsahuje nebo obsahuje X".

The negace nastaveného členství je označeno symbolem „∉“. Psaní

${ displaystyle x notin A}$ znamená, že "X není prvkemA".^[1]

Symbol ∈ poprvé použil Giuseppe Peano ve své práci z roku 1889 Arithmetices principia, nova methodo exposita.^[5] Zde napsal na stránce X:

Signum ∈ mantik est. Ita a legit b legitur a est quoddam b; …

což znamená

Symbol ∈ znamená je. Takže ∈ b se čte jako a je b; …

Samotný symbol je stylizované malé řecké písmeno epsilon ("ϵ"), první písmeno slova ἐστί, což znamená „je“.^[5]

Mohutnost množin

Počet prvků v konkrétní sadě je vlastnost známá jako mohutnost; neformálně se jedná o velikost sady.^[6] Ve výše uvedených příkladech je mohutnost množinyA je 4, zatímco mohutnost množiny B a nastavit C jsou obě 3. Nekonečná množina je množina s nekonečným počtem prvků, zatímco a konečná množina je sada s konečným počtem prvků. Výše uvedené příklady jsou příklady konečných množin. Příkladem nekonečné množiny je množina kladných celých čísel {1, 2, 3, 4, ...}.

Příklady

Pomocí výše definovaných sad, jmenovitě A = {1, 2, 3, 4 }, B = {1, 2, {3, 4}} a C = {červená, zelená, modrá}, následující tvrzení jsou pravdivá:

• 2 ∈ A
• 5 ∉ A
• {3,4} ∈ B
• 3 ∉ B
• 4 ∉ B
• Žlutá ∉ C

Viz také

• Prvek identity
• Singleton (matematika)

Reference

Další čtení

• Halmos, Paul R. (1974) [1960], Naivní teorie množin, Pregraduální texty z matematiky (Vázaná kniha ed.), NY: Springer-Verlag, ISBN  0-387-90092-6 - „Naivní“ znamená, že není plně axiomatizován, ne že je hloupý nebo snadný (Halmosovo ošetření není ani jedno).
• Jech, Thomas (2002), „Teorie množin“, Stanfordská encyklopedie filozofie
• Suppes, Patricku (1972) [1960], Teorie axiomatických množin, NY: Dover Publications, Inc., ISBN  0-486-61630-4 - Pro důkladnější pochopení pojmu množiny (kolekce členů), členství nebo kapuce prvků, axiomu extenze, axiomu oddělení a unijního axiomu (Suppes jej nazývá sumární axiom) nastavený prvek ".