Semilattice - Semilattice

v matematika, a spojit-semilattice (nebo horní pololattice) je částečně objednaná sada který má připojit se (A nejmenší horní mez ) pro všechny neprázdný konečný podmnožina. Duálně, a setkat-semilattice (nebo dolní pololattice) je částečně objednaná sada, která má a setkat (nebo největší dolní mez ) pro jakoukoli neprázdnou konečnou podmnožinu. Každá spojovací semilattice je setkávací semilattice v inverzní pořadí a naopak.

Lze také definovat poloměstice algebraicky: připojte se a setkejte se asociativní, komutativní, idempotentní binární operace, a jakákoli taková operace indukuje dílčí pořadí (a příslušné inverzní pořadí) tak, že výsledkem operace pro kterékoli dva prvky je nejmenší horní mez (nebo největší dolní mez) prvků vzhledem k tomuto částečnému pořadí.

A mříž je částečně uspořádaná množina, která je setkávací i spojovací semilattice vzhledem ke stejnému částečnému pořadí. Algebraicky je mřížka množina se dvěma asociativními, komutativními idempotentními binárními operacemi spojenými odpovídajícími absorpční zákony.

Objednávkově teoretická definice

A soubor S částečně objednané podle binární relace ≤ je a setkat-semilattice -li

Pro všechny prvky X a y z S, největší dolní mez sady {X, y} existuje.

Největší dolní mez sady {X, y} se nazývá setkat z X a y, označeno X ∧ y.

Nahrazení slova „největší dolní mez“ slovy „nejmenší horní mez "má za následek dvojí koncept a spojit-semilattice. Nejmenší horní hranice {X, y} se nazývá připojit se z X a y, označeno X ∨ y. Seznamte se a připojte se binární operace na S. Jednoduchý indukce Argument ukazuje, že existence všech možných párových suprem (infima) podle definice implikuje existenci všech neprázdných konečných suprem (infima).

Spojení-semilattice je ohraničený pokud má nejmenší prvek, spojení prázdné množiny. Duálně, Meet-semilattice je ohraničený pokud má největší prvek, setkání prázdné sady.

Lze předpokládat i jiné vlastnosti; viz článek na úplnost teorie objednávek pro další diskusi na toto téma. Tento článek také pojednává o tom, jak můžeme přeformulovat výše uvedenou definici, pokud jde o existenci vhodného Galoisova spojení mezi souvisejícími posety - přístup zvláštního zájmu pro teoretická kategorie vyšetřování koncepce.

Algebraická definice

A setkat-semilattice je algebraická struktura ${ displaystyle langle S, land rangle}$ skládající se z a soubor S s binární operace Called, volal setkat, tak, že pro všechny členy X, y, a z z S, následující identity držet:

Asociativita

X ∧ (y ∧ z) = (X ∧ y) ∧ z

Komutativita

X ∧ y = y ∧ X

Idempotence

X ∧ X = X

Setkávací semilattice ${ displaystyle langle S, land rangle}$ je ohraničený -li S zahrnuje prvek identity 1 takové, že X ∧ 1 = X pro všechny X v S.

Pokud je symbol ∨, volaný připojit se, nahrazuje ∧ v právě dané definici, struktura se nazývá a spojit-semilattice. Jeden může být nejednoznačný ohledně konkrétního výběru symbolu pro operaci a mluvit jednoduše o pololattice.

Semilattice je a komutativní, idempotentní poloskupina; tj. komutativní kapela. Ohraničená semilattice je idempotentní komutativ monoidní.

Částečný řád je indukován na Meet-semilattice nastavením X ≤ y kdykoli X ∧ y = X. U spojení-semilattice je pořadí vyvoláno nastavením X ≤ y kdykoli X ∨ y = y. V ohraničeném setkání-semilattice je identita 1 největším prvkem S. Podobně je prvek identity ve spojovací semilattice nejméně prvkem.

Spojení mezi těmito dvěma definicemi

Objednávkový teoretický meet-semilattice ⟨S, ≤⟩ dává vzniknout a binární operace ∧ takové ⟨S, ∧⟩ je algebraická meet-semilattice. Naopak setkávání-semilattice ⟨S, ∧⟩ dává vzniknout a binární relace ≤ to částečně objednává S následujícím způsobem: pro všechny prvky X a y v S, X ≤ y kdyby a jen kdyby X = X ∧ y.

Takto zavedený vztah ≤ definuje částečné uspořádání, ze kterého lze binární operaci ∧ obnovit. Naopak pořadí vyvolané algebraicky definovanou semilattice ⟨S, ∧⟩ shoduje se s indukovanou ≤.

Proto lze tyto dvě definice používat zaměnitelně, podle toho, která z nich je pro konkrétní účel výhodnější. Podobný závěr platí pro join-semilattices a dvojí uspořádání ≥.

Příklady

Semilattices se používají ke konstrukci jiných struktur objednávek nebo ve spojení s jinými vlastnostmi úplnosti.

• A mříž je spojovací a setkávací semilattice. Interakce těchto dvou semilattices prostřednictvím absorpční zákon je to, co skutečně odlišuje mřížku od semilattice.
• The kompaktní prvky algebraické mříž, pod indukovaným částečným uspořádáním, tvoří ohraničenou spojovací semilattice.
• Jakákoli konečná semilattice je omezena indukcí.
• A úplně objednaná sada je distribuční mříž, tedy zejména setkávací-semilattice a join-semilattice: jakékoli dva odlišné prvky mají větší a menší, které jsou jejich meet a join.
  • A dobře uspořádaná sada je dále a ohraničený join-semilattice, protože množina jako celek má nejméně prvku, a proto je ohraničená.
    • Nezáporná celá čísla ℕ, se svým obvyklým řádem ≤, jsou ohraničená spojovací semilattice s nejmenším prvkem 0, i když nemají největší prvek: jsou nejmenší nekonečnou řádně uspořádanou množinou.
• Jakékoli kořeny strom (s jediným kořenem jako nejmenším prvkem) výšky ${ displaystyle leq omega}$ je (obecně neomezený) meet-semilattice. Zvažte například množinu konečných slov nad nějakou abecedou seřazenou podle pořadí prefixů. Má nejméně element (prázdné slovo), což je anihilační prvek operace meet, ale žádný největší (identity) prvek.
• A Scott doména je meet-semilattice.
• Členství v jakékoli sadě L lze brát jako a Modelka pololattice se základnou L, protože semilattice zachycuje podstatu množiny extenzionalita. Nechat A∧b označit A∈L & b∈L. Dvě sady, které se liší pouze v jedné nebo v obou:

1. Pořadí, ve kterém jsou jejich členové uvedeni;
2. Násobnost jednoho nebo více členů,

jsou ve skutečnosti stejná sada. Komutativita a asociativita ∧ ujištění (1), idempotence, (2). Tato semilattice je zdarma semilattice přes L. Není omezen L, protože množina není jejím členem.

• Klasické prodloužení pouhá teologie definuje join-semilattice, s join čten jako binární fúze. Tato semilattice je svrchu ohraničena světovým jednotlivcem.
• Vzhledem k sadě S, kolekce oddílů ${ displaystyle xi}$ z S je spojnice-semilattice. Ve skutečnosti je částečné pořadí dáno ${ displaystyle xi leq eta}$ -li ${ displaystyle forall Q in eta, existuje P in xi}$ takhle ${ displaystyle Q podmnožina P}$ a spojení dvou oddílů je dáno ${ displaystyle xi vee eta = {P cap Q mid P in xi & Q in eta }}$. Tato semilattice je ohraničená, přičemž nejmenším prvkem je singletonový oddíl ${ displaystyle {S }}$.

Semilattické morfismy

Výše uvedená algebraická definice semilattice naznačuje pojem morfismus mezi dvěma polovičními mřížkami. Vzhledem k tomu, dva spojit-semilattices (S, ∨) a (T, ∨), a homomorfismus of (join-) semilattices is a function F: S → T takhle

F(X ∨ y) = F(X) ∨ F(y).

Proto F je jen homomorfismus těchto dvou poloskupiny spojené s každou semilattice. Li S a T oba tedy obsahují nejmenší prvek 0 F by měl být také monoidní homomorfismus, tj. to navíc požadujeme

F(0) = 0.

V teoreticko-formulované formulaci tyto podmínky pouze uvádějí, že homomorfismus spojovacích polotuh je funkce, která zachovává binární spojení a nejméně prvků, pokud existují. Zjevná dvojice - nahrazení ∧ za ∨ a 0 za 1 - transformuje tuto definici homomorfismu spojovacího a semilattického spojení na jeho ekvivalent se semilattickým ekvivalentem.

Všimněte si, že jakýkoli semilattický homomorfismus je nutně monotónní s ohledem na související objednávkový vztah. Vysvětlení viz záznam zachování limitů.

Rovnocennost s algebraickými mřížemi

Tam je dobře známý rovnocennost mezi kategorií ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ join-semilattices s nulou s ${ displaystyle ( vee, 0)}$-homomorfismy a kategorie ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ z algebraické mřížky s kompaktnost -zachování úplných homomorfismů spojení, následovně. Se spojovací pololatticí ${ displaystyle S}$ s nulou spojíme její ideální mřížku ${ displaystyle operatorname {Id} S}$. S ${ displaystyle ( vee, 0)}$-homomorfismus ${ displaystyle f dvojtečka S až T}$ z ${ displaystyle ( vee, 0)}$-semilattices, přidružíme mapu ${ displaystyle operatorname {Id} f dvojtečka operatorname {Id} S do operatorname {Id} T}$, že s jakýmkoli ideálem ${ displaystyle I}$ z ${ displaystyle S}$ sdružuje ideál ${ displaystyle T}$ generováno uživatelem ${ displaystyle f (I)}$. To definuje funktor ${ displaystyle operatorname {Id} colon { mathcal {S}} do { mathcal {A}}}$. Naopak s každou algebraickou mřížkou ${ displaystyle A}$ sdružujeme ${ displaystyle ( vee, 0)}$-semilattice ${ displaystyle K (A)}$ ze všech kompaktní prvky z ${ displaystyle A}$a při každém kompaktním zachování úplného homomorfismu spojení ${ displaystyle f dvojtečka A až B}$ mezi algebraickými mřížemi spojujeme omezení ${ displaystyle K (f) dvojtečka K (A) až K (B)}$. To definuje funktor ${ displaystyle K colon { mathcal {A}} do { mathcal {S}}}$. Dvojice ${ displaystyle ( operatorname {Id}, K)}$ definuje rovnocennost kategorie mezi ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {A}}}$.

Distribuční semilattices

Překvapivě existuje pojem „distributivity“ použitelný pro poloviční ceny, i když distribuce obvykle vyžaduje interakci dvou binárních operací. Tato představa vyžaduje pouze jednu operaci a zobecňuje podmínku distribuce pro svazy. Spojení-semilattice je distribuční pokud pro všechny A, b, a X s X ≤ A ∨ b existují A' ≤ A a b ' ≤ b takhle X = A' ∨ b ' . Distribuční meet-semilattices jsou definovány duálně. Tyto definice jsou odůvodněny skutečností, že jakákoli distribuční spojovací semilattice, ve které existuje binární setkávání, je distribuční mřížka. Podívejte se na záznam distributivita (teorie objednávek).

Spojení-semilattice je distribuční právě tehdy, když je jeho mřížka ideály (v zařazení) je distribuční.

Kompletní poloviční mřížky

V dnešní době nemá termín „úplná semilattice“ žádný obecně přijímaný význam a existují různé vzájemně nekonzistentní definice. Pokud je úplnost považována za podmínku existence všech nekonečných spojení nebo všech nekonečných setkání, ať už je to jakýkoli případ, nebo konečných, vede to okamžitě k dílčím příkazům, které jsou ve skutečnosti kompletní mříže. Proč existence všech možných nekonečných spojení znamená existenci všech možných nekonečných setkání (a naopak), viz záznam úplnost (teorie objednávek).

Nicméně literatura příležitostně stále vyžaduje úplné spojovací nebo setkávací semilatice, aby byly úplnými mřížemi. V tomto případě „úplnost“ označuje omezení oblasti působnosti homomorfismy. Konkrétně úplná spojka-semilattice vyžaduje, aby homomorfismy zachovaly všechna spojení, ale na rozdíl od situace, kterou najdeme pro vlastnosti úplnosti, to nevyžaduje, aby homomorfismy zachovaly všechny splnění. Na druhou stranu můžeme konstatovat, že každé takové mapování je u některých dolním adjunktem Galoisovo spojení. Odpovídající (jedinečné) horní adjoint pak bude homomorfismus úplných meet-semilattices. To vede k řadě užitečných kategorické duality mezi kategoriemi všech úplných semilattices s morfismem zachovávajícím všechny splnění nebo připojení.

Další použití výrazu „úplná setkání-semilattice“ se týká a ohraničený kompletní CPO. Úplná semi-mřížka v tomto smyslu je pravděpodobně „nejúplnější“ semi-mřížka, která nemusí být nutně úplnou mřížkou. Opravdu, úplná setkání-semilattice má všechno neprázdný schází (což odpovídá tomu, že je ohraničen úplný) a všechny směrované spojování. Pokud taková struktura má také největší prvek (splnění prázdné množiny), je to také úplná mříž. Kompletní semilattice se tedy ukazuje jako „úplná mříž, která možná postrádá vrchol“. Tato definice je předmětem zvláštního zájmu v teorie domény, kde je ohraničená úplná algebraický cpos jsou studovány jako Scott domény. Proto byly povolány domény Scott algebraické poloplátky.

V literatuře byly zřídka uvažovány pojmy úplnosti pro poloviční mříže omezené na mohutnost.^[1][2]

Zdarma semilattices

Tato část předpokládá určité znalosti o teorie kategorií. V různých situacích volný, uvolnit existují poloviční mřížky. Například zapomnětlivý funktor z kategorie join-semilattices (a jejich homomorfismů) do kategorie množin (a funkcí) připouští a vlevo adjoint. Proto je volná spojka-semilattice F(S) přes sadu S je konstruováno převzetím kolekce všech neprázdných konečný podmnožiny z S, seřazeno podle zařazení podmnožiny. Jasně, S lze vložit do F(S) mapováním E který bere jakýkoli prvek s v S do singletonové sady {s}. Pak libovolná funkce F od a S do spojovací semilattice T (formálněji k podkladové sadě T) vyvolává jedinečný homomorfismus F' mezi spojovacími polotovary F(S) a T, takový, že F = F' Ó E. Výslovně, F' darováno F' (A) = ${ displaystyle vee}${F(s) | s v A}. Nyní zjevná jedinečnost F' stačí k získání požadovaného přídavku - morfismu - části funktoru F lze odvodit z obecných úvah (viz adjunkční funktory ). Případ bezplatných meet-semilattices je dvojí, s použitím opačné podmnožiny zahrnutí jako objednávka. Pro join-semilattices with bottom, we just add the empty set to the above collection of subsets.

Částečné mříže navíc často slouží jako generátory pro volné objekty v jiných kategoriích. Je pozoruhodné, že oba zapomnětliví funktory z kategorie rámy a rámové homomorfismy a z kategorie distribučních mřížek a mřížkových homomorfismů mají levé adjoint.

Viz také

• Řízená sada, zobecnění spojení semilattice
• Seznam témat zakázky
• Semiring

Poznámky

Reference

• Davey, B. A .; Priestley, H. A. (2002). Úvod do mřížek a řádu (druhé vydání). Cambridge University Press. ISBN  0-521-78451-4.
• Vickers, Steven (1989). Topologie pomocí logiky. Cambridge University Press. ISBN  0-521-36062-5.

Často se stává, že standardní zpracování teorie mřížky definují semilattice, pokud k tomu dojde, a pak už nic neříkají. Viz odkazy v položkách teorie objednávek a teorie mřížky. Kromě toho neexistuje žádná literatura o semilattices srovnatelné velikosti jako na poloskupiny.

externí odkazy

• Stránka Jipsenovy algebrické struktury: Semilattices.