Elementární algebra - Elementary algebra

${displaystyle {overset {} {underset {} {x = {frac {-bpm {sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}}}}$

The kvadratický vzorec, což je řešení kvadratická rovnice ${displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ kde ${displaystyle aeq 0}$. Zde symboly a, b, c představují libovolná čísla a X je proměnná, která představuje řešení rovnice.

Dvourozměrný graf (červená křivka) algebraické rovnice ${displaystyle y = x ^ {2} -x-2}$

Elementární algebra zahrnuje některé základní pojmy algebra, jedna z hlavních poboček matematika. Obvykle se to učí střední škola studentů a staví na jejich porozumění aritmetický. Zatímco aritmetika pracuje se zadanými čísly,^[1] algebra zavádí veličiny bez pevných hodnot, známé jako proměnné.^[2] Toto použití proměnných vyžaduje použití algebraické notace a pochopení obecných pravidel operátory zavedeno aritmeticky. Na rozdíl od abstraktní algebra, elementární algebra se nezabývá algebraické struktury mimo říši nemovitý a komplexní čísla.

Použití proměnných k označení veličin umožňuje formální a výstižné vyjádření obecných vztahů mezi veličinami a umožňuje tak řešení širšího rozsahu problémů. Mnoho kvantitativních vztahů ve vědě a matematice je vyjádřeno jako algebraické rovnice.

Algebraická notace

Algebraická notace popisuje pravidla a konvence psaní matematické výrazy, stejně jako terminologie používaná k mluvení o částech výrazů. Například výraz ${displaystyle 3x ^ {2} -2xy + c}$ má následující komponenty:

1. Exponent (Napájení),
2. Součinitel,
3. období,
4. operátor,
5. konstantní, x, y : proměnné

A součinitel je číselná hodnota nebo písmeno představující číselnou konstantu, která násobí proměnnou (operátor je vynechán). A období je doplněk nebo summand, skupina koeficientů, proměnných, konstant a exponentů, které lze oddělit od ostatních výrazů operátory plus a mínus.^[3] Písmena představují proměnné a konstanty. Podle konvence písmena na začátku abecedy (např. ${displaystyle a, b, c}$) se obvykle používají k reprezentaci konstanty a ty na konci abecedy (např. ${displaystyle x, y}$ a z) slouží k reprezentaci proměnné.^[4] Obvykle jsou psány kurzívou.^[5]

Algebraické operace pracovat stejným způsobem jako aritmetické operace,^[6] jako přidání, odčítání, násobení, divize a umocňování.^[7] a jsou aplikovány na algebraické proměnné a termíny. Symboly pro násobení jsou obvykle vynechány a implikovány, když mezi dvěma proměnnými nebo pojmy není mezera, nebo když a součinitel se používá. Například, ${displaystyle 3 imes x ^ {2}}$ je psán jako ${displaystyle 3x ^ {2}}$, a ${displaystyle 2 imes x imes y}$ lze psát ${displaystyle 2xy}$.^[8]

Obvykle jde o nejvyšší výkon (exponent ), jsou napsány vlevo, například ${displaystyle x ^ {2}}$ je napsáno nalevo od X. Pokud je koeficient jeden, je obvykle vynechán (např. ${displaystyle 1x ^ {2}}$ je psáno ${displaystyle x ^ {2}}$).^[9] Podobně, když je exponent (síla) jedna, (např. ${displaystyle 3x ^ {1}}$ je psáno ${displaystyle 3x}$).^[10] Když je exponent nula, výsledek je vždy 1 (např. ${displaystyle x ^ {0}}$ je vždy přepsán na 1).^[11] nicméně ${displaystyle 0 ^ {0}}$, je nedefinováno, by se nemělo objevit ve výrazu a je třeba dbát na zjednodušení výrazů, ve kterých se proměnné mohou objevit v exponentech.

Alternativní notace

Jiné typy zápisu se používají v algebraických výrazech, když požadované formátování není k dispozici nebo jej nelze implikovat, například když jsou k dispozici pouze písmena a symboly. Pro ilustraci, zatímco exponenty jsou obvykle formátovány pomocí horních indexů, např. ${displaystyle x ^ {2}}$, v prostý text a v TeX značkovací jazyk, stříška symbol „^“ představuje umocňování, takže ${displaystyle x ^ {2}}$ je zapsán jako „x ^ 2“.^[12][13], stejně jako některé programovací jazyky, jako je Lua. V programovacích jazycích, jako je Ada,^[14] Fortran,^[15] Perl,^[16] Krajta ^[17] a Rubín,^[18] používá se dvojitá hvězdička, takže ${displaystyle x ^ {2}}$ se píše jako „x ** 2“. Mnoho programovacích jazyků a kalkulaček používá k označení symbolu násobení jednu hvězdičku,^[19] a musí být výslovně použito, například ${displaystyle 3x}$ je napsáno „3 * x“.

Koncepty

Proměnné

Příklad proměnných ukazujících vztah mezi průměrem kruhu a jeho obvodem. Pro všechny kruh, své obvod C, děleno jeho průměr d, se rovná konstantě pi, ${displaystyle pi}$ (přibližně 3,14).

Elementární algebra staví na aritmetice a rozšiřuje ji^[20] zavedením písmen zvaných proměnné, které představují obecná (nespecifikovaná) čísla. To je užitečné z několika důvodů.

1. Proměnné mohou představovat čísla, jejichž hodnoty ještě nejsou známy. Pokud je například teplota aktuálního dne C o 20 stupňů vyšší než teplota předchozího dne P, lze problém popsat algebraicky jako ${displaystyle C = P + 20}$.^[21]
2. Proměnné umožňují popisovat Všeobecné problémy,^[22] aniž by byly specifikovány hodnoty zúčastněných veličin. Například lze konkrétně konstatovat, že 5 minut odpovídá ${displaystyle 60 imes 5 = 300}$ sekundy. Obecnější (algebraický) popis může uvádět, že počet sekund, ${displaystyle s = 60 imes m}$, kde m je počet minut.
3. Proměnné umožňují popsat matematické vztahy mezi veličinami, které se mohou lišit.^[23] Například vztah mezi obvodem, Ca průměr, d, kruhu je popsáno ${displaystyle pi = c / d}$.
4. Proměnné umožňují popsat některé matematické vlastnosti. Například základní vlastnost přidání je komutativita který uvádí, že na pořadí sčítání čísel nezáleží. Komutativita je uvedena algebraicky jako ${displaystyle (a + b) = (b + a)}$.^[24]

Zjednodušení výrazů

Algebraické výrazy lze vyhodnotit a zjednodušit na základě základních vlastností aritmetických operací (přidání, odčítání, násobení, divize a umocňování ). Například,

• Přidané termíny jsou zjednodušeny pomocí koeficientů. Například, ${displaystyle x + x + x}$ lze zjednodušit jako ${displaystyle 3x}$ (kde 3 je číselný koeficient).
• Násobené výrazy se zjednodušují pomocí exponentů. Například, ${displaystyle x imes x imes x}$ je reprezentován jako ${displaystyle x ^ {3}}$
• Stejně jako pojmy se sčítají^[25] například, ${displaystyle 2x ^ {2} + 3ab-x ^ {2} + ab}$ je psán jako ${displaystyle x ^ {2} + 4ab}$, protože výrazy obsahující ${displaystyle x ^ {2}}$ se sčítají a výrazy obsahující ${displaystyle ab}$ se sčítají.
• Závorky lze „vynásobit“ pomocí distribuční majetek. Například, ${displaystyle x (2x + 3)}$ lze psát jako ${displaystyle (x imes 2x) + (x imes 3)}$ které lze zapsat jako ${displaystyle 2x ^ {2} + 3x}$
• Výrazy lze zohlednit. Například, ${displaystyle 6x ^ {5} + 3x ^ {2}}$, dělením obou termínů ${displaystyle 3x ^ {2}}$ lze psát jako ${displaystyle 3x ^ {2} (2x ^ {3} +1)}$

Rovnice

Animace ilustrující Pythagorovo pravidlo pro pravoúhlý trojúhelník, který ukazuje algebraický vztah mezi přeponou trojúhelníku a dalšími dvěma stranami.

Rovnice uvádí, že dva výrazy jsou stejné pomocí symbolu pro rovnost, = (the znaménko rovná se ).^[26] Jedna z nejznámějších rovnic popisuje Pythagorův zákon týkající se délky stran a pravý úhel trojúhelník:^[27]

${displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$

Tato rovnice to říká ${displaystyle c ^ {2}}$, představující čtverec délky strany, která je přeponou, strana naproti pravému úhlu, se rovná součtu (sčítání) čtverců ostatních dvou stran, jejichž délky jsou reprezentovány A a b.

Rovnice je tvrzení, že dva výrazy mají stejnou hodnotu a jsou si rovny. Některé rovnice platí pro všechny hodnoty zapojených proměnných (např ${displaystyle a + b = b + a}$); takové rovnice se nazývají identity. Podmíněné rovnice platí pouze pro některé hodnoty zúčastněných proměnných, např. ${displaystyle x ^ {2} -1 = 8}$ platí pouze pro ${displaystyle x = 3}$ a ${displaystyle x = -3}$. Hodnoty proměnných, díky nimž je rovnice pravdivá, jsou řešením rovnice a lze je najít řešení rovnic.

Dalším typem rovnice je nerovnost. Nerovnosti se používají k označení, že jedna strana rovnice je větší nebo menší než druhá. K tomu se používají následující symboly: ${displaystyle a> b}$ kde ${displaystyle>}$ představuje „větší než“ a ${displaystyle a$ kde ${displaystyle <}$ představuje „méně než“. Stejně jako standardní rovnice rovnosti lze čísla sčítat, odčítat, násobit nebo dělit. Jedinou výjimkou je, že při násobení nebo dělení záporným číslem musí být symbol nerovnosti převrácen.

Vlastnosti rovnosti

Podle definice je rovnost vztah ekvivalence, což znamená, že má vlastnosti (a) reflexní (tj. ${displaystyle b = b}$), (b) symetrický (tj. pokud ${displaystyle a = b}$ pak ${displaystyle b = a}$) (c) tranzitivní (tj. pokud ${displaystyle a = b}$ a ${displaystyle b = c}$ pak ${displaystyle a = c}$).^[28] Splňuje také důležitou vlastnost, že pokud jsou pro stejné věci použity dva symboly, může být jeden symbol nahrazen druhým v jakémkoli pravdivém výroku o prvním a výrok zůstane pravdivý. To znamená následující vlastnosti:

• -li ${displaystyle a = b}$ a ${displaystyle c = d}$ pak ${displaystyle a + c = b + d}$ a ${displaystyle ac = bd}$;
• -li ${displaystyle a = b}$ pak ${displaystyle a + c = b + c}$ a ${displaystyle ac = bc}$;
• obecněji pro jakoukoli funkci F, pokud ${displaystyle a = b}$ pak ${displaystyle f (a) = f (b)}$.

Vlastnosti nerovnosti

Vztahy méně než ${displaystyle <}$ a větší než ${displaystyle>}$ mít vlastnost přechodnosti:^[29]

• Li ${displaystyle a$ a ${displaystyle b$ pak ${displaystyle a$;
• Li ${displaystyle a$ a ${displaystyle c$ pak ${displaystyle a + c$;^[30]
• Li ${displaystyle a$ a ${displaystyle c> 0}$ pak ${displaystyle ac$;
• Li ${displaystyle a$ a ${displaystyle c <0}$ pak ${displaystyle bc$.

Obrácením nerovnosti ${displaystyle <}$ a ${displaystyle>}$ lze vyměnit,^[31] například:

• ${displaystyle a$ je ekvivalentní k ${displaystyle b> a}$

Střídání

Substituce nahrazuje výrazy ve výrazu a vytváří nový výraz. Dosazením 3 za A ve výrazu A*5 dělá nový výraz 3*5 s významem 15. Nahrazením podmínek prohlášení se vytvoří nové prohlášení. Když je původní příkaz pravdivý nezávisle na hodnotách výrazů, je pravdivý i příkaz vytvořený substitucemi. Definice lze tedy činit symbolicky a lze je interpretovat substitucí: if ${displaystyle a ^ {2}: = a imes a}$ je míněno jako definice ${displaystyle a ^ {2},}$ jako produkt A se sebou, střídáním 3 pro A informuje čtenáře o tomto prohlášení, že ${displaystyle 3 ^ {2}}$ prostředek 3 × 3 = 9. Často není známo, zda je tvrzení pravdivé nezávisle na hodnotách výrazů. Substituce umožňuje odvodit omezení možných hodnot nebo ukázat, za jakých podmínek se prohlášení drží. Například převzetí prohlášení X + 1 = 0, pokud X je nahrazen 1, z toho vyplývá 1 + 1 = 2 = 0, což je nepravdivé, což znamená, že pokud X + 1 = 0 pak X nemůže být 1.

Li X a y jsou celá čísla, racionální nebo reálná čísla, pak xy = 0 naznačuje X = 0 nebo y = 0. Zvážit abc = 0. Poté střídání A pro X a před naším letopočtem pro y, učíme se A = 0 nebo před naším letopočtem = 0. Pak můžeme znovu nahradit, nechat X = b a y = C, ukázat, že pokud před naším letopočtem = 0 pak b = 0 nebo C = 0. Proto pokud abc = 0, pak A = 0 nebo (b = 0 nebo C = 0), tak abc = 0 naznačuje A = 0 nebo b = 0 nebo C = 0.

Pokud by byla původní skutečnost uvedena jako „ab = 0 naznačuje A = 0 nebo b = 0“, pak když řeknete„ zvažte abc = 0„Při nahrazování by došlo ke střetu podmínek. Výše ​​uvedená logika je stále platná, aby bylo možné ukázat, že pokud abc = 0 pak A = 0 nebo b = 0 nebo C = 0 pokud, místo toho, aby A = A a b = před naším letopočtem, jeden nahrazuje A pro A a b pro před naším letopočtem (a s před naším letopočtem = 0, střídání b pro A a C pro b). To ukazuje, že nahrazení výrazů ve výpisu není vždy stejné jako ponechání výrazů ve výrazu rovných nahrazeným výrazům. V této situaci je jasné, že pokud dosadíme výraz A do A termín původní rovnice, A substituovaný neodkazuje na A ve výpisu „ab = 0 naznačuje A = 0 nebo b = 0."

Řešení algebraických rovnic

Typický problém algebry.

V následujících částech jsou uvedeny příklady některých typů algebraických rovnic, se kterými se lze setkat.

Lineární rovnice s jednou proměnnou

Lineární rovnice se nazývají takzvané, protože když se vykreslují, popisují přímku. Nejjednodušší rovnice k řešení jsou lineární rovnice které mají pouze jednu proměnnou. Obsahují pouze konstantní čísla a jednu proměnnou bez exponenta. Jako příklad zvažte:

Problém slov: Pokud zdvojnásobíte věk dítěte a přidáte 4, výsledná odpověď bude 12. Kolik je dítě staré?

Ekvivalentní rovnice: ${displaystyle 2x + 4 = 12}$ kde X představují věk dítěte

K vyřešení tohoto druhu rovnice je technikou sčítání, odčítání, násobení nebo dělení obou stran rovnice stejným číslem, aby se izolovala proměnná na jedné straně rovnice. Jakmile je proměnná izolována, druhou stranou rovnice je hodnota proměnné.^[32] Tento problém a jeho řešení jsou následující:

Řešení pro x

1. Rovnice k řešení:	${displaystyle 2x + 4 = 12}$
2. Odečtěte 4 od obou stran:	${displaystyle 2x + 4-4 = 12-4}$
3. To zjednodušuje:	${displaystyle 2x = 8}$
4. Vydělte obě strany dvěma:	${displaystyle {frac {2x} {2}} = {frac {8} {2}}}$
5. To zjednodušuje řešení:	${displaystyle x = 4}$

Slovy: dítěti jsou 4 roky.

Obecnou formu lineární rovnice s jednou proměnnou lze napsat jako: ${displaystyle ax + b = c}$

Stejným postupem (tj. Odečtěte b z obou stran a poté vydělte A), obecné řešení je dáno ${displaystyle x = {frac {c-b} {a}}}$

Lineární rovnice se dvěma proměnnými

Řešení dvou lineárních rovnic pomocí jedinečného řešení v bodě, kde se protínají.

Lineární rovnice se dvěma proměnnými má mnoho (tj. Nekonečný počet) řešení.^[33] Například:

Problém slovy: Otec je o 22 let starší než jeho syn. Jak jsou staří?

Ekvivalentní rovnice: ${displaystyle y = x + 22}$ kde y je věk otce, X je věk syna.

To samo o sobě nelze vyřešit. Pokud by byl oznámen věk syna, pak by už neexistovaly dvě neznámé (proměnné). Z problému se pak stane lineární rovnice s jedinou proměnnou, kterou lze vyřešit, jak je popsáno výše.

K řešení lineární rovnice se dvěma proměnnými (neznámými) je zapotřebí dvou souvisejících rovnic. Například pokud se také ukázalo, že:

Problém ve slovech

Za 10 let bude otec dvakrát starší než jeho syn.

Ekvivalentní rovnice

${displaystyle {egin {aligned} y + 10 & = 2 imes (x + 10) y & = 2 imes (x + 10) -10 && {ext {Odečíst 10 z obou stran}} y & = 2x + 20-10 && {ext {Vícenásobné závorky}} y & = 2x + 10 && {ext {Simplify}} konec {zarovnáno}}}$

Nyní existují dvě související lineární rovnice, každá se dvěma neznámými, což umožňuje výrobu lineární rovnice pouze s jednou proměnnou odečtením jedné od druhé (tzv. Eliminační metoda):^[34]

${displaystyle {egin {cases} y = x + 22 & {ext {First equation}} y = 2x + 10 & {ext {Second equation}} end {cases}}}$

${displaystyle {egin {aligned} &&& {ext {Odečtěte první rovnici od}} (yy) & = (2x-x) + 10-22 && {ext {druhou za účelem odstranění}} y 0 & = x- 12 && {ext {Simplify}} 12 & = x && {ext {Přidat 12 na obě strany}} x & = 12 && {ext {Uspořádat}} konec {zarovnáno}}}$

Jinými slovy, synovi je 12 let, a protože otec je o 22 let starší, musí mu být 34. Za 10 let bude synovi 22 a otci dvojnásobek jeho věku, 44 let. Tento problém je ilustrován na asociovaný graf rovnic.

Další způsoby řešení tohoto druhu rovnic naleznete níže, Systém lineárních rovnic.

Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice graf ${displaystyle y = x ^ {2} + 3x-10}$ ukazuje své kořeny v ${displaystyle x = -5}$ a ${displaystyle x = 2}$, a že kvadratický lze přepsat jako ${displaystyle y = (x + 5) (x-2)}$

Kvadratická rovnice je rovnice, která obsahuje člen s exponentem 2, například ${displaystyle x ^ {2}}$,^[35] a žádný člen s vyšším exponentem. Název je odvozen z latiny quadrus, což znamená čtverec.^[36] Obecně lze kvadratickou rovnici vyjádřit ve formě ${displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$,^[37] kde A není nula (pokud by byla nula, rovnice by nebyla kvadratická, ale lineární). Kvadratická rovnice proto musí termín obsahovat ${displaystyle ax ^ {2}}$, který je známý jako kvadratický termín. Proto ${displaystyle aeq 0}$, a tak můžeme rozdělit podle A a uspořádat rovnici do standardního tvaru

${displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}$

kde ${displaystyle p = {frac {b} {a}}}$ a ${displaystyle q = {frac {c} {a}}}$. Řešení tohoto problému procesem známým jako dokončení náměstí, vede k kvadratický vzorec

${displaystyle x = {frac {-bpm {sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}},}$

kde symbol „±“ naznačuje, že obojí

${displaystyle x = {frac {-b + {sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} quad {ext {and}} quad x = {frac {-b- {sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

jsou řešení kvadratické rovnice.

Kvadratické rovnice lze také vyřešit pomocí faktorizace (reverzní proces je expanze, ale pro dva lineární výrazy je někdy označován fólie ). Jako příklad factoringu:

${displaystyle x ^ {2} + 3x-10 = 0,}$

což je totéž jako

${displaystyle (x + 5) (x-2) = 0.}$

Vyplývá to z vlastnost nulového produktu To buď ${displaystyle x = 2}$ nebo ${displaystyle x = -5}$ jsou řešení, protože právě jeden z faktorů se musí rovnat nula. Všechny kvadratické rovnice budou mít v řešení dvě řešení komplexní číslo systému, ale nemusí mít žádné v systému Windows reálné číslo Systém. Například,

${displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$

nemá žádné řešení reálných čísel, protože žádné reálné číslo na druhou není rovno -1. Někdy má kvadratická rovnice kořen multiplicita 2, například:

${displaystyle (x + 1) ^ {2} = 0.}$

Pro tuto rovnici je −1 kořenem multiplicity 2. To znamená, že −1 se objeví dvakrát, protože rovnici lze přepsat ve faktorizované formě jako

${displaystyle [x - (- 1)] [x - (- 1)] = 0.}$

Složitá čísla

Všechny kvadratické rovnice mají přesně dvě řešení komplexní čísla (ale mohou se navzájem rovnat), kategorie, která zahrnuje reálná čísla, imaginární čísla a součty reálných a imaginárních čísel. Komplexní čísla nejprve vznikají při výuce kvadratických rovnic a kvadratického vzorce. Například kvadratická rovnice

${displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 0}$

má řešení

${displaystyle x = {frac {-1+ {sqrt {-3}}} {2}} quad quad {ext {and}} quad quad x = {frac {-1- {sqrt {-3}}} {2 }}.}$

Od té doby ${displaystyle {sqrt {-3}}}$ není žádné skutečné číslo, obě z těchto řešení pro X jsou komplexní čísla.

Exponenciální a logaritmické rovnice

The graf logaritmu k základně 2 prochází přes X osa (vodorovná osa) na 1 a prochází body s souřadnice (2, 1), (4, 2), a (8, 3). Například, log₂(8) = 3, protože 2³ = 8. Graf se libovolně přibližuje k y osa, ale nesetká se s ním ani se neprotíná.

Exponenciální rovnice je rovnice, která má tvar ${displaystyle a ^ {x} = b}$ pro ${displaystyle a> 0}$,^[38] který má řešení

${displaystyle X = log _ {a} b = {frac {ln b} {ln a}}}$

když ${displaystyle b> 0}$. K přepsání dané rovnice výše uvedeným způsobem před dosažením řešení se používají základní algebraické techniky. Například pokud

${displaystyle 3cdot 2 ^ {x-1} + 1 = 10}$

potom odečtením 1 od obou stran rovnice a dělením obou stran 3 získáme

${displaystyle 2 ^ {x-1} = 3}$

odkud

${displaystyle x-1 = přihlásit _ {2} 3}$

nebo

${displaystyle x = log _ {2} 3 + 1.}$

Logaritmická rovnice je rovnicí formy ${displaystyle log_ {a} (x) = b}$ pro ${displaystyle a> 0}$, který má řešení

${displaystyle X = a ^ {b}.}$

Například pokud

${displaystyle 4log _ {5} (x-3) -2 = 6}$

potom přidáním 2 na obě strany rovnice, následovaným dělením obou stran 4, dostaneme

${displaystyle log _ {5} (x-3) = 2}$

odkud

${displaystyle x-3 = 5 ^ {2} = 25}$

ze kterého získáváme

${displaystyle x = 28.}$

Radikální rovnice

${displaystyle {overset {} {underset {} {{sqrt [{2}] {x ^ {3}}} ekviv x ^ {frac {3} {2}}}}}}$

Radikální rovnice ukazující dva způsoby, jak reprezentovat stejný výraz. Trojitý pruh znamená, že rovnice platí pro všechny hodnoty X

Radikální rovnice je rovnice, která obsahuje radikální znaménko, které zahrnuje odmocniny, ${displaystyle {sqrt {x}},}$ kořeny kostky, ${displaystyle {sqrt [{3}] {x}}}$, a nth kořeny, ${displaystyle {sqrt [{n}] {x}}}$. Připomeňme, že nth root lze přepsat v exponenciálním formátu, takže ${displaystyle {sqrt [{n}] {x}}}$ je ekvivalentní k ${displaystyle x ^ {frac {1} {n}}}$. V kombinaci s pravidelnými exponenty (mocninami) ${displaystyle {sqrt [{2}] {x ^ {3}}}}$ (druhá odmocnina z X krychle), lze přepsat jako ${displaystyle x ^ {frac {3} {2}}}$.^[39] Běžná forma radikální rovnice tedy je ${displaystyle {sqrt [{n}] {x ^ {m}}} = a}$ (ekvivalentní ${displaystyle x ^ {frac {m} {n}} = a}$) kde m a n jsou celá čísla. Má to nemovitý řešení:

n je zvláštní	n je sudý a ${displaystyle ageq 0}$	n a m jsou dokonce a ${displaystyle a <0}$	n je dokonce, m je zvláštní, a ${displaystyle a <0}$
${displaystyle x = {sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}$ ekvivalentně ${displaystyle x = left ({sqrt [{n}] {a}} ight) ^ {m}}$	${displaystyle x = pm {sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}$ ekvivalentně ${displaystyle x = pm left ({sqrt [{n}] {a}} ight) ^ {m}}$	${displaystyle x = pm {sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}$	žádné skutečné řešení

Například pokud:

${displaystyle (x + 5) ^ {2/3} = 4}$

pak

${displaystyle {egin {aligned} x + 5 & = pm ({sqrt {4}}) ^ {3}, x + 5 & = pm 8, x & = - 17:00 8, end {aligned}}}$

a tudíž

${displaystyle x = 3quad {ext {or}} quad x = -13}$

Systém lineárních rovnic

Existují různé metody řešení systému lineárních rovnic se dvěma proměnnými.

Metoda eliminace

Řešení pro rovnice ${displaystyle x-y = -1}$ a ${displaystyle 3x + y = 9}$ je jediný bod (2, 3).

Příkladem řešení soustavy lineárních rovnic je použití metody eliminace:

${displaystyle {egin {cases} 4x + 2y & = 14 2x-y & = 1.end {cases}}}$

Násobení výrazů ve druhé rovnici 2:

${displaystyle 4x + 2y = 14}$

${displaystyle 4x-2y = 2.}$

Sčítáním dvou rovnic získáte:

${displaystyle 8x = 16}$

což zjednodušuje na

${displaystyle x = 2.}$

Vzhledem k tomu, že ${displaystyle x = 2}$ je známo, je možné z toho odvodit ${displaystyle y = 3}$ kteroukoli z původních dvou rovnic (pomocí 2 namísto X ) Úplné řešení tohoto problému je tedy

${displaystyle {egin {cases} x = 2 y = 3.end {cases}}}$

To není jediný způsob, jak vyřešit tento konkrétní systém; y mohl být vyřešen dříve X.

Substituční metoda

Dalším způsobem řešení stejného systému lineárních rovnic je substituce.

${displaystyle {egin {cases} 4x + 2y & = 14 2x-y & = 1.end {cases}}}$

Ekvivalent pro y lze odvodit pomocí jedné ze dvou rovnic. Pomocí druhé rovnice:

${displaystyle 2x-y = 1}$

Odečítání ${displaystyle 2x}$ z každé strany rovnice:

${displaystyle {egin {zarovnáno} 2x-2x-y & = 1-2x -y & = 1-2xend {zarovnáno}}}$

a vynásobením −1:

${displaystyle y = 2x-1.}$

Pomocí tohoto y hodnota v první rovnici v původním systému:

${displaystyle {egin {zarovnáno} 4x + 2 (2x-1) & = 14 4x + 4x-2 & = 14 8x-2 & = 14end {zarovnáno}}}$

Přidávání 2 na každé straně rovnice:

${displaystyle {egin {zarovnáno} 8x-2 + 2 & = 14 + 2 8x & = 16end {zarovnáno}}}$

což zjednodušuje na

${displaystyle x = 2}$

Použitím této hodnoty v jedné z rovnic se získá stejné řešení jako v předchozí metodě.

${displaystyle {egin {cases} x = 2 y = 3.end {cases}}}$

To není jediný způsob, jak vyřešit tento konkrétní systém; i v tomto případě y mohlo být vyřešeno dříve X.

Jiné typy soustav lineárních rovnic

Nekonzistentní systémy

Rovnice ${displaystyle 3x + 2y = 6}$ a ${displaystyle 3x + 2y = 12}$ jsou paralelní a nemohou se protínat a jsou neřešitelné.

Graf kvadratické rovnice (červená) a lineární rovnice (modrá), které se neprotínají, a proto pro ně neexistuje společné řešení.

Ve výše uvedeném příkladu existuje řešení. Existují však také systémy rovnic, které nemají žádné řešení. Takový systém se nazývá nekonzistentní. Zjevným příkladem je

${displaystyle {egin {cases} {egin {aligned} x + y & = 1 0x + 0y & = 2, .end {aligned}} end {cases}}}$

Protože 0 ≠ 2, druhá rovnice v systému nemá řešení. Systém proto nemá žádné řešení. Ne všechny nekonzistentní systémy jsou však na první pohled rozpoznány. Jako příklad zvažte systém

${displaystyle {egin {cases} {egin {aligned} 4x + 2y & = 12 -2x-y & = - 4, .end {aligned}} end {cases}}}$

Vynásobením 2 obou stran druhé rovnice a jejím přidáním k první bude výsledkem

${displaystyle 0x + 0y = 4 ,,}$

což zjevně nemá řešení.

Neurčené systémy

Existují také systémy, které mají nekonečně mnoho řešení, na rozdíl od systému s jedinečným řešením (což znamená jedinečnou dvojici hodnot pro X a y) Například:

${displaystyle {egin {cases} {egin {aligned} 4x + 2y & = 12 -2x-y & = - 6end {aligned}} end {cases}}}$

Izolační y ve druhé rovnici:

${displaystyle y = -2x + 6}$

A pomocí této hodnoty v první rovnici v systému:

${displaystyle {egin {zarovnáno} 4x + 2 (-2x + 6) = 12 4x-4x + 12 = 12 12 = 12end {zarovnáno}}}$

Rovnost je pravdivá, ale neposkytuje hodnotu pro X. Opravdu lze snadno ověřit (pouhým vyplněním některých hodnot X), že pro všechny X existuje řešení, pokud ${displaystyle y = -2x + 6}$. Pro tento systém existuje nekonečné množství řešení.

Nadměrně a nedostatečně určené systémy

Jsou nazývány systémy s více proměnnými, než je počet lineárních rovnic podurčeno. Takový systém, pokud má nějaká řešení, nemá unikátní, ale spíše jejich nekonečnost. Příkladem takového systému je

${displaystyle {egin {cases} {egin {aligned} x + 2y & = 10 y-z & = 2.end {aligned}} end {cases}}}$

Při pokusu o řešení je vedena k vyjádření některých proměnných jako funkcí ostatních, pokud existují nějaká řešení, ale nemůže je vyjádřit Všechno řešení numericky protože je jich nekonečné množství, pokud existuje.

Nazývá se systém s vyšším počtem rovnic než proměnných předurčeno. Pokud systém s předurčením má nějaké řešení, nutně nějaké rovnice jsou lineární kombinace ostatních.

Viz také

• Historie elementární algebry
• Binární operace
• Gaussova eliminace
• Matematické vzdělávání
• Číselná řada
• Polynomiální
• Ruší se
• Tarskiho problém střední školy s algebrou

Reference

• Leonhard Euler, Prvky algebry, 1770. Anglický překlad Tarquin Press, 2007, ISBN  978-1-899618-79-8, také online digitalizovaná vydání^[40] 2006,^[41] 1822.
• Charles Smith, Pojednání o algebře, v Historické matematické monografie Cornell University Library.
• Redden, Johne. Elementární algebra. Flat World Knowledge, 2011

externí odkazy

• Média související s Elementární algebra na Wikimedia Commons