Sporadická skupina - Sporadic group
Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie |
---|
![]() |
Nekonečná dimenzionální Lieova skupina
|
v teorie skupin, a sporadická skupina je jedním z 26 výjimečných skupiny nalezen v klasifikace konečných jednoduchých skupin.
A jednoduchá skupina je skupina G který žádný nemá normální podskupiny kromě triviální skupiny a G sám. Věta o klasifikaci uvádí, že seznam konečných jednoduchých skupin skládá se z 18 spočetně nekonečný rodiny[1] plus 26 výjimek, které nenásledují takový systematický vzorec. Těmito 26 výjimkami jsou sporadické skupiny. Oni jsou také známí jako sporadické jednoduché skupiny, nebo sporadické konečné skupiny. Protože to není striktně a skupina typu Lie, Skupina prsa je někdy považována za sporadickou skupinu,[2] v takovém případě by se jednalo o 27 sporadických skupin.
The skupina příšer je největší ze sporadických skupin a až na šest všech ostatních sporadických skupin jsou dílčí podíly toho.
Jména
Pět sporadických skupin objevilo Mathieu v šedesátých letech 18. století a dalších 21 bylo nalezeno mezi lety 1965 a 1975. Předpokládalo se, že některé z těchto skupin existují dříve, než byly postaveny. Většina skupin je pojmenována podle matematiků, kteří nejprve předpovídali jejich existenci. Celý seznam je:





- Mathieu skupiny M11, M12, M22, M23, M24
- Janko skupiny J1, J2 nebo HJ, J3 nebo HJM, J4
- Skupiny Conway Spol1, Spol2, Spol3
- Fischerovy skupiny Fi22, Fi23, Fi24′ Nebo F3+
- Skupina Higman – Sims HS
- McLaughlinova skupina McL
- Držená skupina On nebo F7+ nebo F7
- Skupina Rudvalis Ru
- Suzuki skupina Suz nebo F3−
- O'Nan skupina NA
- Skupina Harada – Norton HN nebo F5+ nebo F5
- Lyonsova skupina Ly
- Skupina Thompson Čt nebo F3|3 nebo F3
- Skupina Baby Monster B nebo F2+ nebo F2
- Fischer-Griess Skupina příšer M nebo F1
The Skupina prsa T je někdy také považována za sporadickou skupinu (je to téměř, ale ne striktně skupina Lieova typu), proto je v některých zdrojích počet sporadických skupin uveden jako 27 místo 26.[3] V některých jiných zdrojích není skupina Prsa považována za sporadickou ani Lieovu typ.[4] Každopádně je to (n = 0) - člen 2F4(2)′ z nekonečný rodina komutátorových skupin 2F4(22n+1)′ - a tudíž dle definice není sporadické. Pro n > 0 tyto konečné jednoduché skupiny se shodují s skupiny typu Lie 2F4(22n+1). Ale pro n = 0, the odvozená podskupina 2F4(2)′, nazvaný Tits group, je jednoduchý a má index 2 v konečné skupině 2F4(2) typu Lie, který - jako jediný z celé rodiny - není jednoduchý.
Matice reprezentace byla vytvořena přes konečná pole pro všechny sporadické skupiny.
Nejdříve použití výrazu sporadická skupina možná Burnside (1911, str. 504, poznámka N), kde komentuje skupiny Mathieu: „Tyto zjevně sporadické jednoduché skupiny by pravděpodobně odplatily bližší zkoumání, než jaké dosud obdržely.“
Diagram vpravo je založen na Ronan (2006). Nezobrazuje početné nesporadické jednoduché dílčí podíly sporadických skupin.
Organizace
Z 26 sporadických skupin je 20 uvnitř Skupina příšer tak jako podskupiny nebo kvocienty podskupin (sekce ).
Šťastná rodina
Zbývajících dvacet se jmenovalo šťastná rodina podle Robert Griess a lze je rozdělit do tří generací.
První generace (5 skupin): skupiny Mathieu
Mn pro n = 11, 12, 22, 23 a 24 jsou mnohonásobně tranzitivní permutační skupiny na n bodů. Všechny jsou podskupinami M.24, což je permutační skupina na 24 bodů.
Druhá generace (7 skupin): mřížka Leech
Všechny dílčí podíly z automorfická skupina mříže v 24 rozměry zvané Mřížka pijavice:
- Spol1 je podíl skupiny automorfismu podle jejího středu {± 1}
- Spol2 je stabilizátor vektoru typu 2 (tj. délky 2)
- Spol3 je stabilizátor typu 3 (tj. délka √6) vektor
- Suz je skupina automorfismů zachovávající složitou strukturu (modulo její střed)
- McL je stabilizátor trojúhelníku typu 2-2-3
- HS je stabilizátor trojúhelníku typu 2-3-3
- J2 je skupina automorfismů zachovávající kvartérní strukturu (modulo její střed).
Třetí generace (8 skupin): další podskupiny společnosti Monster
Skládá se z podskupin, které úzce souvisí se skupinou Monster M:
- B nebo F2 má dvojitý kryt, který je centralizátor prvku řádu 2 v M
- Fi24′ Má trojitý kryt, který je centralizátorem prvku řádu 3 palce M (v třída konjugace „3A“)
- Fi23 je podskupina Fi24′
- Fi22 má dvojitý kryt, který je podskupinou Fi23
- Produkt z Čt = F3 a skupina řádu 3 je centralizátor prvku řádu 3 v M (ve třídě konjugace „3C“)
- Produkt z HN = F5 a skupina řádu 5 je centralizátor prvku řádu 5 v M
- Produkt z On = F7 a skupina řádu 7 je centralizátor prvku řádu 7 v M.
- A konečně je za tuto generaci považována samotná skupina Monster.
(Tato řada pokračuje dále: produkt M12 a skupina řádu 11 je centralizátor prvku řádu 11 v M.)
The Skupina prsa, pokud by byla považována za sporadickou skupinu, patřila by do této generace: existuje podskupina S4 ×2F4(2) normalizace 2C2 podskupina B, čímž vznikla podskupina 2 · S4 ×2F4(2) ′ normalizující určité Q8 podskupina společnosti Monster. 2F4(2) ′ je také dílčím podílem Fischerovy skupiny Fi22, a tedy také Fi23 a Fi24′ A Baby Monster B. 2F4(2) ′ je také dílčím podílem skupiny (vyvrhele) Rudvalis Ru, a nemá žádné zapojení ve sporadických jednoduchých skupinách kromě těch, které již byly zmíněny.
Vyvrhele
Šest výjimek je J1, J3, J4, NA, Ru a Ly, někdy známý jako vyvrhele.
Tabulka sporadických skupinových objednávek (se skupinou Tits)
Skupina | Gen. | Objednat, OEIS A001228 | Faktorizovaná objednávka | Standardní generátory trojitý (a, b, ab)[5][6][3] | Další podmínky | |
---|---|---|---|---|---|---|
F1 nebo M | 3. místo | 80801742479451 | ≈ 8×1053 | 246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 | 2A, 3B, 29 | Žádný |
F2 nebo B | 3. místo | 41547814812264 | ≈ 4×1033 | 241 · 313 · 56 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 | 2C, 3A, 55 | |
Fi24„nebo F3+ | 3. místo | 12552 | ≈ 1×1024 | 221 · 316 · 52 · 73 · 11 · 13 · 17 · 23 · 29 | 2A, 3E, 29 | |
Fi23 | 3. místo | 4089470473293004800 | ≈ 4×1018 | 218 · 313 · 52 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 | 2B, 3D, 28 | Žádný |
Fi22 | 3. místo | 64561751654400 | ≈ 6×1013 | 217 · 39 · 52 · 7 · 11 · 13 | 2A, 13, 11 | |
F3 nebo Čt | 3. místo | 90745943887872000 | ≈ 9×1016 | 215 · 310 · 53 · 72 · 13 · 19 · 31 | 2, 3A, 19 | Žádný |
Ly | Vyvrhel | 51765179004000000 | ≈ 5×1016 | 28 · 37 · 56 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67 | 2, 5A, 14 | |
F5 nebo HN | 3. místo | 273030912000000 | ≈ 3×1014 | 214 · 36 · 56 · 7 · 11 · 19 | 2A, 3B, 22 | |
Spol1 | 2. místo | 4157776806543360000 | ≈ 4×1018 | 221 · 39 · 54 · 72 · 11 · 13 · 23 | 2B, 3C, 40 | Žádný |
Spol2 | 2. místo | 42305421312000 | ≈ 4×1013 | 218 · 36 · 53 · 7 · 11 · 23 | 2A, 5A, 28 | Žádný |
Spol3 | 2. místo | 495766656000 | ≈ 5×1011 | 210 · 37 · 53 · 7 · 11 · 23 | 2A, 7C, 17 | Žádný |
NA | Vyvrhel | 460815505920 | ≈ 5×1011 | 29 · 34 · 5 · 73 · 11 · 19 · 31 | 2A, 4A, 11 | Žádný |
Suz | 2. místo | 448345497600 | ≈ 4×1011 | 213 · 37 · 52 · 7 · 11 · 13 | 2B, 3B, 13 | |
Ru | Vyvrhel | 145926144000 | ≈ 1×1011 | 214 · 33 · 53 · 7 · 13 · 29 | 2B, 4A, 13 | Žádný |
F7 nebo On | 3. místo | 4030387200 | ≈ 4×109 | 210 · 33 · 52 · 73 · 17 | 2A, 7C, 17 | Žádný |
McL | 2. místo | 898128000 | ≈ 9×108 | 27 · 36 · 53 · 7 · 11 | 2A, 5A, 11 | |
HS | 2. místo | 44352000 | ≈ 4×107 | 29 · 32 · 53 · 7 · 11 | 2A, 5A, 11 | Žádný |
J4 | Vyvrhel | 86775571046077562880 | ≈ 9×1019 | 221 · 33 · 5 · 7 · 113 · 23 · 29 · 31 · 37 · 43 | 2A, 4A, 37 | |
J3 nebo HJM | Vyvrhel | 50232960 | ≈ 5×107 | 27 · 35 · 5 · 17 · 19 | 2A, 3A, 19 | |
J2 nebo HJ | 2. místo | 604800 | ≈ 6×105 | 27 · 33 · 52 · 7 | 2B, 3B, 7 | |
J1 | Vyvrhel | 175560 | ≈ 2×105 | 23 · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 | 2, 3, 7 | |
T | 3. místo | 17971200 | ≈ 2×107 | 211 · 33 · 52 · 13 | 2A, 3, 13 | |
M24 | 1. místo | 244823040 | ≈ 2×108 | 210 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 | 2B, 3A, 23 | |
M23 | 1. místo | 10200960 | ≈ 1×107 | 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 | 2, 4, 23 | |
M22 | 1. místo | 443520 | ≈ 4×105 | 27 · 32 · 5 · 7 · 11 | 2A, 4A, 11 | |
M12 | 1. místo | 95040 | ≈ 1×105 | 26 · 33 · 5 · 11 | 2B, 3B, 11 | Žádný |
M11 | 1. místo | 7920 | ≈ 8×103 | 24 · 32 · 5 · 11 | 2, 4, 11 |
Reference
- ^ Skupiny hlavního řádu, střídavé skupiny stupně nejméně 5, nekonečná rodina komutátorových skupin 2F4(22n+1)′ skupin typu Lie (obsahující skupinu Tits) a 15 rodin skupin typu Lie.
- ^ Například tím, že John Conway.
- ^ A b Wilson RA, Parker RA, Nickerson SJ, Bray JN (1999). „Atlas: Sporadické skupiny“.
- ^ v Eric W. Weisstein „Tits Group“ z MathWorld - webový zdroj Wolfram existuje odkaz ze skupiny Tits na „Sporadic Group“, zatímco v „Sporadická skupina“ Erica W. Weissteina z MathWorld - webový zdroj Wolfram, nicméně, skupina prsa je ne uvedeny mezi 26. Oba zdroje zkontrolovány 26. 5. 2018.
- ^ Wilson RA (1998). „Atlas sporadických zastoupení skupiny“ (PDF).
- ^ Nickerson SJ, Wilson RA (2000). „Poloprezentace pro sporadické jednoduché skupiny“.
- Burnside, William (1911), Teorie skupin konečného řádu, str. 504 (poznámka N), ISBN 0-486-49575-2
- Conway, J. H. (1968), „Perfektní skupina řádu 8 315 553 613 086 720 000 a sporadické jednoduché skupiny“, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 61 (2): 398–400, doi:10.1073 / pnas.61.2.398, PMC 225171, PMID 16591697, Zbl 0186.32401
- Griess, Robert L. (1982), "Přátelský obr", Inventiones Mathematicae, 69, str. 1-102, doi:10.1007 / BF01389186
- Conway, J. H .; Curtis, R. T .; Norton, S. P.; Parker, R. A .; Wilson, R. A. (1985). Atlas konečných skupin. Maximální podskupiny a běžné znaky pro jednoduché skupiny. S výpočetní pomocí J. G. Thackraye. Oxford University Press. ISBN 0-19-853199-0. Zbl 0568.20001.
- Gorenstein, D.; Lyons, R.; Solomon, R. (1994), Klasifikace konečných jednoduchých skupin, Americká matematická společnost Problémy 1, 2, ...
- Griess, Robert L. (1998), Dvanáct sporadických skupin, Springer-Verlag, ISBN 3540627782, Zbl 0908.20007
- Ronan, Mark (2006), Symetrie a monstrum, Oxford, ISBN 978-0-19-280722-9, Zbl 1113.00002