Nástin algebraických struktur - Outline of algebraic structures

v matematika, existuje mnoho druhů algebraické struktury které jsou studovány. Abstraktní algebra je primárně studium konkrétních algebraických struktur a jejich vlastností. Na algebraické struktury lze pohlížet různými způsoby, ale běžným výchozím bodem textů algebry je, že algebraický objekt obsahuje jeden nebo více sady s jedním nebo více binární operace nebo unární operace uspokojující sbírku axiomy.

Další obor matematiky známý jako univerzální algebra studuje algebraické struktury obecně. Z hlediska univerzální algebry lze většinu struktur rozdělit na odrůdy a kvazivariety v závislosti na použitých axiomech. Nějaký axiomatický formální systémy to nejsou ani odrůdy, ani kvazivariety neodrůdy, jsou podle tradice někdy zahrnuty mezi algebraické struktury.

Konkrétní příklady jednotlivých struktur najdete v uvedených článcích.

Algebraických struktur je dnes tolik, že tento článek bude nevyhnutelně neúplný. Kromě toho existuje někdy více názvů pro stejnou strukturu a někdy bude jedno jméno definováno nesouhlasnými axiomy od různých autorů. Většina struktur, které se na této stránce objevují, budou běžné, na kterých se většina autorů shoduje. Mezi další webové seznamy algebraických struktur, uspořádaných víceméně abecedně, patří Jipsen a PlanetMath. Tyto seznamy zmiňují mnoho struktur, které nejsou zahrnuty níže, a mohou představovat více informací o některých strukturách, než je zde uvedeno.

Studium algebraických struktur

Algebraické struktury se objevují ve většině oborů matematiky a lze se s nimi setkat mnoha různými způsoby.

• Zahájení studia: Na amerických univerzitách skupiny, vektorové prostory a pole jsou obecně prvními strukturami, se kterými se setkáváme u subjektů, jako jsou lineární algebra. Obvykle se zavádějí jako množiny s určitými axiomy.
• Pokročilé studium:
  • Abstraktní algebra studuje vlastnosti specifických algebraických struktur.
  • Univerzální algebra studuje algebraické struktury abstraktně, spíše než konkrétní typy struktur.
    • Odrůdy
  • Teorie kategorií studuje vzájemné vztahy mezi různými strukturami, algebraickými a nealgebraickými. Ke studiu nealgebraického objektu je často užitečné použít teorii kategorií k propojení objektu s algebraickou strukturou.
    • Příklad: základní skupina a topologický prostor poskytuje informace o topologickém prostoru.

Druhy algebraických struktur

V plné obecnosti může algebraická struktura ve své definici použít libovolný počet množin a libovolný počet axiomů. Nejčastěji studované struktury však obvykle zahrnují pouze jednu nebo dvě sady a jednu nebo dvě binární operace. Struktury níže jsou organizovány podle toho, kolik sad je zahrnuto a kolik binárních operací se používá. Zvýšené odsazení má naznačovat exotičtější strukturu a nejméně odsazené úrovně jsou nejzákladnější.

Jedna binární operace na jedné sadě

Následující struktury se skládají ze sady s binární operací. Nejběžnější strukturou je struktura a skupina. Jiné struktury zahrnují oslabení nebo posílení axiomů pro skupiny a mohou navíc používat unární operace.

• Skupiny jsou klíčové struktury. Abelianské skupiny jsou důležitým zvláštním typem skupiny.
  • poloskupiny a monoidy: Jsou to jako skupiny, kromě toho, že operace nemusí mít inverzní prvky.
  • kvazoskupiny a smyčky: Jsou to jako skupiny, kromě toho, že operace nemusí být asociativní.
  • Magmas: Jsou to jako skupiny, kromě toho, že operace nemusí být asociativní nebo mít inverzní prvky.
• Semilattice: Toto je v podstatě „polovina“ mřížové struktury (viz níže).

Dvě binární operace na jedné sadě

Hlavní typy struktur s jednou sadou, která má dvě binární operace, jsou prsteny a mříže. Axiomy definující mnoho dalších struktur jsou modifikacemi axiomů pro prstence a mřížky. Jedním z hlavních rozdílů mezi kruhy a mřížemi je, že jejich dvě operace spolu navzájem souvisejí různými způsoby. V kruhových strukturách jsou tyto dvě operace spojeny pomocí distribuční právo; v mřížových strukturách jsou operace spojeny pomocí absorpční zákon.

• Prsteny: Tyto dvě operace se obvykle nazývají sčítání a násobení. Komutativní prsteny jsou obzvláště důležitým typem kruhu, kde je operace násobení komutativní. Integrované domény a pole jsou zvláště důležité typy komutativních kruhů.
  • Neasociativní kroužky: Jsou to jako prsteny, ale operace násobení nemusí být asociativní.
    • Lži zazvoní a Jordan prsteny jsou speciální příklady neasociativních kruhů.
  • semirings: Jsou jako prsteny, ale operace sčítání nemusí mít inverze.
  • blíží se: Jsou to jako prsteny, ale operace sčítání nemusí být komutativní.
  • * -kroužky: Jedná se o prsteny s další unární operací známou jako involuce.
• Mříže: Tyto dvě operace se obvykle nazývají setkat se a připojit se.
  • Latticoid: setkat se a připojit se dojíždět ale nemusí spolupracovník.
  • Šikmá mříž: setkat se a připojit se k spolupracovníkovi, ale nemusíte dojíždět.

Dvě binární operace a dvě sady

Následující struktury mají společnou vlastnost, že mají dvě sady, A a B, takže existuje binární operace od A×A do A a další operace od A×B do A.

• Vektorové prostory: Sada A je abelianská skupina a množina B je pole.
  • Odstupňované vektorové prostory: Vektorové prostory, které jsou vybaveny a přímý součet rozklad na podprostory.
• Moduly: Sada A je abelianská skupina, ale B je pouze obecný kruh a nemusí to být nutně pole.
  • Speciální typy modulů, včetně bezplatné moduly, projektivní moduly, injektivní moduly a ploché moduly jsou studovány v abstraktní algebře.
• Skupina s operátory: V tomto případě sada A je skupina a sada B je jen sada.

Tři binární operace a dvě sady

Mnoho struktur zde je ve skutečnosti hybridními strukturami výše zmíněných.

• Algebra nad polem: Toto je prsten, který je také vektorovým prostorem nad polem. Existují axiomy, které řídí interakci těchto dvou struktur. Násobení se obvykle považuje za asociativní.
  • Algebra přes prsten: Jsou definovány stejným způsobem jako algebry nad poli, kromě toho, že pole může být nyní libovolný komutativní kruh.
  • Odstupňovaná algebra: Tyto algebry jsou vybaveny rozkladem na známky.
• Neasociativní algebry: Jedná se o algebry, u nichž je asociativita množení prstenů uvolněná.
  • Lež algebry a Jordan algebry jsou speciální příklady neasociativních algeber.
• Coalgebra: Tato struktura má axiomy, díky nimž se množí dvojí k asociativní algebře.
  • Bialgebra: Tyto struktury jsou současně algebry a uhelné uhlí, jejichž operace jsou kompatibilní. Ve skutečnosti existují čtyři operace pro tuto strukturu.

Algebraické struktury s další nealgebraickou strukturou

Existuje mnoho příkladů matematických struktur, kde vedle nealgebraické struktury existuje algebraická struktura.

• Topologické vektorové prostory jsou vektorové prostory s kompatibilními topologie.
• Lež skupiny: Jedná se o topologické potrubí, které také nesou kompatibilní skupinovou strukturu.
• Objednané skupiny, objednané prsteny a seřazená pole mají algebraickou strukturu kompatibilní s objednat na scéně.
• Von Neumannovy algebry: to jsou * -algebry na a Hilbertův prostor které jsou vybaveny slabá topologie operátora.

Algebraické struktury v různých oborech

Některé algebraické struktury nacházejí uplatnění v oborech mimo abstraktní algebru. Následující text má demonstrovat některé konkrétní aplikace v jiných oblastech.

v Fyzika:

• Lež skupiny jsou hojně využívány ve fyzice. Několik známých patří ortogonální skupiny a unitární skupiny.
• Lež algebry
• Vnitřní produktové prostory
• Kac – Moodyho algebra
• The čtveřice a obecněji geometrické algebry

v Matematická logika:

• Booleovy algebry jsou oba kruhy a mřížky, pod jejich dvěma operacemi.
  • Ahoj algebry jsou zvláštním příkladem booleovských algeber.
• Peano aritmetika
• Hraniční algebra
• MV-algebra

v Počítačová věda:

• Max-plus algebra
• Syntaktický monoid
• Přechodový monoid

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Jipsen:
  • Abecední seznam struktur algebry; zahrnuje mnoho zde neuvedených.
  • Online knihy a skripta.
  • Mapa obsahující asi 50 struktur, z nichž některé se výše neobjevují. Stejně tak na této mapě chybí většina výše uvedených struktur.
• PlanetMath rejstřík témat.
• Hazewinkel, Michiel (2001) Encyklopedie matematiky. Springer-Verlag.
• Mathworld stránka o abstraktní algebře.
• Stanfordská encyklopedie filozofie: Algebra podle Vaughan Pratt.