Harmonická analýza - Harmonic analysis
Harmonická analýza je pobočkou matematika zabývající se zastupováním funkce nebo signály jako superpozice základní vlny, a studium a zobecnění pojmů Fourierova řada a Fourierovy transformace (tj. rozšířená forma Fourierova analýza ). V posledních dvou stoletích se stal obrovským tématem s aplikacemi v tak rozmanitých oblastech jako teorie čísel, teorie reprezentace, zpracování signálu, kvantová mechanika, přílivová analýza a neurovědy.
Termín "harmonické "vznikl jako Starořečtina slovo harmonikos, což znamená „zkušený v hudbě“.[1] Fyzicky vlastní číslo problémy, začalo to znamenat vlny, jejichž frekvence jsou celočíselné násobky navzájem, stejně jako frekvence harmonické noty, ale tento termín byl zobecněn nad svůj původní význam.
Klasická Fourierova transformace je zapnutá Rn je stále oblastí probíhajícího výzkumu, zejména pokud jde o Fourierovu transformaci na obecnějších objektech, jako je temperované distribuce. Například pokud klademe určité požadavky na distribuci Fse můžeme pokusit přeložit tyto požadavky z hlediska Fourierovy transformace F. The Paley – Wienerova věta je toho příkladem. Paleyova-Wienerova věta okamžitě znamená, že pokud F je nenulová rozdělení z kompaktní podpora (to zahrnuje funkce kompaktní podpory), pak jeho Fourierova transformace není nikdy kompaktně podporována. Toto je velmi elementární forma princip nejistoty v nastavení harmonické analýzy.
Fourierovy řady lze pohodlně studovat v kontextu Hilbertovy prostory, která poskytuje spojení mezi harmonickou analýzou a funkční analýza.
Abstraktní harmonická analýza
Jedním z nejmodernějších odvětví harmonické analýzy, jehož kořeny jsou v polovině 20. století, je analýza na topologické skupiny. Hlavní motivační nápady jsou různé Fourierovy transformace, které lze zobecnit na transformaci funkce definované na Hausdorff lokálně kompaktní topologické skupiny.
Teorie pro abelian místně kompaktní skupiny je nazýván Pontryaginova dualita.
Harmonická analýza studuje vlastnosti této duality a Fourierovy transformace a pokouší se rozšířit tyto funkce na různá nastavení, například v případě neabelianů Lež skupiny.
U obecných neabelovských lokálně kompaktních skupin harmonická analýza úzce souvisí s teorií reprezentací jednotných skupin. Pro kompaktní skupiny je Peter – Weylova věta vysvětluje, jak lze získat harmonické výběrem jedné neredukovatelné reprezentace z každé třídy ekvivalence reprezentací. Tato volba harmonických má některé z užitečných vlastností klasické Fourierovy transformace, pokud jde o přenášení konvolucí na bodové produkty nebo jiné projevy určitého porozumění základním skupina struktura. Viz také: Nekomutativní harmonická analýza.
Pokud skupina není ani abelianská, ani kompaktní, není v současné době známa žádná obecná uspokojivá teorie („uspokojivá“ znamená přinejmenším stejně silná jako Plancherelův teorém ). Bylo však analyzováno například mnoho konkrétních případů SLn. V tomto případě, reprezentace v nekonečnu rozměry hrají zásadní roli.
Ostatní pobočky
- Studie vlastní čísla a vlastní vektory z Laplacian na domén, rozdělovače, a (v menší míře) grafy je také považován za odvětví harmonické analýzy. Viz např. slyšet tvar bubnu.[2]
- Harmonická analýza na euklidovských prostorech se zabývá vlastnostmi Fourierova transformace na Rn které nemají analog na obecných skupinách. Například skutečnost, že Fourierova transformace je invariantní vůči rotaci. Rozklad Fourierovy transformace na její radiální a sférické komponenty vede k tématům jako Besselovy funkce a sférické harmonické.
- Harmonická analýza na trubkových doménách se zabývá zobecňujícími vlastnostmi Odolné prostory do vyšších dimenzí.
Aplikovaná harmonická analýza
Mnoho aplikací harmonické analýzy ve vědě a inženýrství začíná myšlenkou nebo hypotézou, že jev nebo signál se skládá ze součtu jednotlivých oscilačních složek. Oceán přílivy a odlivy a vibrující struny jsou běžné a jednoduché příklady. Teoretickým přístupem je často pokus popsat systém pomocí a diferenciální rovnice nebo soustava rovnic předvídat základní vlastnosti, včetně amplitudy, frekvence a fází oscilačních komponent. Specifické rovnice závisí na poli, ale teorie se obecně snaží vybrat rovnice, které představují hlavní platné principy.
Experimentální přístup je obvykle k získávat data který přesně kvantifikuje jev. Například ve studii přílivu a odlivu by experimentátor získal vzorky hloubky vody v závislosti na čase v dostatečně těsných intervalech, aby viděl každou oscilaci, a to po dostatečně dlouhou dobu, aby bylo pravděpodobně zahrnuto několik oscilačních období. Ve studii o vibrujících strunách je běžné, že experimentátor získá zvukovou křivku vzorkovanou rychlostí nejméně dvakrát vyšší, než je očekávaná nejvyšší frekvence, a po dobu mnohonásobně delší než je očekávaná nejnižší frekvence.
Například horní signál napravo je zvukový průběh basové kytary hrající na otevřenou strunu odpovídající notě A se základní frekvencí 55 Hz. Tvar vlny se jeví oscilační, ale je složitější než jednoduchá sinusová vlna, což naznačuje přítomnost dalších vln. Různé vlnové složky přispívající ke zvuku lze odhalit použitím techniky matematické analýzy známé jako Fourierova transformace, jehož výsledek je uveden na dolním obrázku. Všimněte si, že existuje prominentní vrchol při 55 Hz, ale že existují další vrcholy při 110 Hz, 165 Hz a na jiných frekvencích odpovídajících celočíselným násobkům 55 Hz. V tomto případě je 55 Hz identifikováno jako základní frekvence vibrací strun a celočíselné násobky jsou známé jako harmonické.
Viz také
Reference
- ^ "harmonický". Online slovník etymologie.
- ^ Terras, Audrey (2013). Harmonická analýza na symetrických prostorech - euklidovský prostor, sféra a Poincarého horní polorovina (2. vyd.). New York, NY: Springer. p. 37. ISBN 978-1461479710. Citováno 12. prosince 2017.
- ^ Vypočítáno https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/.
Bibliografie
- Elias Stein a Guido Weiss, Úvod do Fourierovy analýzy na euklidovských prostorech, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
- Elias Stein s Timothym S. Murphym, Harmonická analýza: Metody reálných proměnných, ortogonalita a oscilační integrály, Princeton University Press, 1993.
- Elias Stein, Témata harmonické analýzy související s teorií Littlewood-Paley, Princeton University Press, 1970.
- Yitzhak Katznelson, Úvod do harmonické analýzy, Třetí edice. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
- Terence Tao, Fourierova transformace. (Představuje rozklad funkcí na liché + sudé části jako harmonický rozklad nad ℤ₂.)
- Yurii I. Lyubich. Úvod do teorie Banachových reprezentací skupin. Přeloženo z ruského vydání z roku 1985 (Charkov, Ukrajina). Birkhäuser Verlag. 1988.
- George W. Mackey, Harmonická analýza jako využití symetrie - historický průzkum, Býk. Amer. Matematika. Soc. 3 (1980), 543–698.
