Adelická algebraická skupina - Adelic algebraic group

v abstraktní algebra, an adelická algebraická skupina je semitopologická skupina definováno pomocí algebraická skupina G přes pole s číslem K.a Adele prsten A = A(K.) z K.. Skládá se z bodů G mít hodnoty v A; definice vhodného topologie je přímočará pouze v případě G je lineární algebraická skupina. V případě G být abelianská odrůda, představuje technickou překážku, i když je známo, že tento koncept je potenciálně užitečný v souvislosti s čísly Tamagawa. Adelické algebraické skupiny jsou široce používány v teorie čísel, zejména pro teorii automorfní reprezentace a aritmetika kvadratických tvarů.

V případě G je lineární algebraická skupina, je to afinní algebraická odrůda v afinitě N-prostor. Topologie na adelické algebraické skupině ${ displaystyle G (A)}$ je považován za topologie podprostoru v A^N, kartézský součin z N kopie prstenu Adele. V tomto případě, ${ displaystyle G (A)}$je topologická skupina.

Ideles

Důležitým příkladem je ideální skupina Já(K.), je případ ${ displaystyle G = GL_ {1}}$. Tady soubor ideles (taky idèles /ɪˈdɛlz/) se skládá z invertible adeles; ale topologie skupiny ideálů je ne jejich topologie jako podmnožina adeles. Místo toho, vzhledem k tomu ${ displaystyle GL_ {1}}$ spočívá ve dvojrozměrnosti afinní prostor jakohyperbola 'definováno parametricky

${ displaystyle {(t, t ^ {- 1}) },}$

topologie správně přiřazená skupině ideálů je ta, která je indukována zahrnutím do A²; skládání s projekcí vyplývá, že ideles nesou a jemnější topologie než topologie podprostoru zA.

Uvnitř A^N, produkt K.^N lže jako diskrétní podskupina. Tohle znamená tamto G(K.) je samostatná podskupina G(A), taky. V případě skupiny ideálů: kvocientová skupina

${ displaystyle I (K) / K ^ { times} ,}$

je ideální třídní skupina. Úzce souvisí (i když větší než) ideální třídní skupina. Skupina ideálních tříd není sama o sobě kompaktní; ideles musí být nejprve nahrazeny ideles normy 1, a pak obraz těch ve skupině ideálních tříd je kompaktní skupina; důkaz toho je v zásadě ekvivalentní konečnosti čísla třídy.

Studie Galoisova kohomologie skupin ideálních tříd je ústřední záležitostí teorie pole. Postavy skupiny ideálních tříd, nyní obvykle nazývané Hecke postavy nebo Größencharacter, vedou k nejzákladnější třídě L-funkce.

Čísla Tamagawa

Obecněji G, Číslo Tamagawa je definována (nebo nepřímo vypočítána) jako míra

G(A)/G(K.).

Tsuneo Tamagawa Bylo to pozorování, počínaje invariantem diferenciální forma ω zapnuto G, definovaný nad K., zúčastněné opatření bylo dobře definované: zatímco ω lze nahradit Cω s C nenulový prvek K., vzorec produktu pro ocenění v K. se odráží v nezávislosti na C míry kvocientu pro produktovou míru zkonstruovanou z ω na každém účinném faktoru. Výpočet Tamagawa čísel pro polojednoduché skupiny obsahuje důležité části klasiky kvadratická forma teorie.

Historie terminologie

Historicky idèles byly představeny Chevalley  (1936 ) pod názvem „élément idéal“, což je ve francouzštině „ideální prvek“, který Chevalley (1940) poté zkrátil na „idèle“ na návrh Hasse. (V těchto dokumentech také dal ideles non-Hausdorffova topologie.) To bylo formulovat teorie pole pro nekonečná rozšíření z hlediska topologických skupin. Weil (1938) definoval (ale nepojmenoval) prsten adeles v případě funkčního pole a poukázal na to, že Chevalleyova skupina Idealelemente byla skupina invertibilních prvků tohoto prstenu. Tate (1950) definoval prsten adeles jako omezený přímý produkt, i když jeho prvky nazval spíše „vektory ocenění“ než adeles.

Chevalley (1951) definoval prsten adeles v případě funkčního pole pod názvem „oddíly“. Termín adèle (zkratka pro aditivní idèles a také jméno francouzské ženy) byl používán krátce nato (Jaffard 1953 ) a mohly být zavedeny André Weil. Obecná konstrukce adelických algebraických skupin podle Ono (1957) následoval teorii algebraických skupin založenou Armand Borel a Harish-Chandra.

Reference

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Chevalley, Claude (1936), „Généralisation de la théorie du corps de classes pour les extensions infinies.“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (francouzsky), 15: 359–371, JFM  62.1153.02
• Chevalley, Claude (1940), „La théorie du corps de classes“, Annals of Mathematics, Druhá série, 41: 394–418, doi:10.2307/1969013, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969013, PAN  0002357
• Chevalley, Claude (1951), Úvod do teorie algebraických funkcí jedné proměnné„Mathematical Surveys, No. VI, Providence, R.I .: Americká matematická společnost, PAN  0042164
• Jaffard, Paul (1953), Anneaux d'adèles (d'après Iwasawa), Séminaire Bourbaki, Secrétariat mathématique, Paříž, PAN  0157859
• Ono, Takashi (1957), „Sur une propriété arithmétique des groupes algébriques commutatifs“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 85: 307–323, ISSN  0037-9484, PAN  0094362
• Tate, John T. (1950), „Fourierova analýza v číselných polích a Heckeovy zeta funkce“, Algebraická teorie čísel (Proc. Instruction Conf., Brighton, 1965), Thompson, Washington, D.C., str. 305–347, ISBN  978-0-9502734-2-6, PAN  0217026
• Weil, André (1938), „Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen.“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině), 179: 129–133, doi:10.1515 / crll.1938.179.129, ISSN  0075-4102

externí odkazy

• Rapinchuk, A.S. (2001) [1994], "Číslo Tamagawa", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS