Unit (ring theory) - Unit (ring theory)

v teorie prstenů, a jednotka a prsten ${ displaystyle R}$ je jakýkoli prvek ${ displaystyle u v R}$ který má multiplikativní inverzní ${ displaystyle R}$ : prvek ${ displaystyle v v R}$ takhle

{ displaystyle vu = uv = 1_ {R}}

,

kde ${ displaystyle 1_ {R}}$ je multiplikativní identita.^[1]^[2] Sada jednotek ${ displaystyle U (R)}$ prstenu tvoří a skupina při násobení, protože je uzavřen pod násobení. (Produkt dvou jednotek je opět jednotka.) Nikdy neobsahuje prvek 0 (s výjimkou případu nulový prsten ), a proto není po přidání uzavřen; své doplněk může to však být skupina, která se přidává, což se stane právě tehdy, když je prsten a místní prsten.

Termín jednotka se také používá k označení prvku identity $1 R$ prstenu, ve výrazech jako prsten s jednotkou nebo jednotkový prsten, a také např. „jednotková“ matice. Z tohoto důvodu někteří autoři volají $1 R$ „jednota“ nebo „identita“ a řekněte to $R$ je „prsten s jednotou“ nebo „prsten s identitou“ spíše než „prsten s jednotkou“.

Multiplikativní identita $1 R$ a jeho aditivní inverzní $-1 R$ jsou vždy jednotky. Proto, páry aditivní inverzní elementy^[A] $X$ a $- X$ jsou vždy spojené.

Příklady

1 je jednotka v jakémkoli kruhu. Obecněji libovolné kořen jednoty v kruhu R je jednotka: pokud $r n = 1$ , pak $r n - 1$ je multiplikativní inverzní funkce k rNa druhou stranu 0 není nikdy jednotkou (kromě nulového kruhu). Prsten R se nazývá a šikmé pole (nebo dělící prsten), pokud $U (R) = R - {0}$ , kde ty(R) je skupina jednotek R (viz. níže). Komutativní zkosené pole se nazývá a pole. Například jednotky reálná čísla $R$ jsou $R - {0$ }.

Celá čísla

V kruhu celá čísla $Z$ , jediné jednotky jsou $+1$ a $-1$ .

Kroužky celých čísel ${ displaystyle R = { mathfrak {O}} _ {F}}$ v pole s číslem F obecně mají více jednotek. Například,

(\sqrt 5 + 2)(\sqrt 5 - 2) = 1

v ringu $Z [1 + \sqrt 5 / 2]$ a ve skutečnosti je jednotková skupina tohoto kruhu nekonečná.

Ve skutečnosti, Dirichletova věta o jednotce popisuje strukturu $U (R)$ přesně: je izomorfní pro skupinu formy

{ displaystyle mathbf {Z} ^ {n} oplus mu _ {R}}

kde ${ displaystyle mu _ {R}}$ je (konečná, cyklická) skupina kořenů jednoty v R a n, hodnost skupiny jednotek je

{ displaystyle n = r_ {1} + r_ {2} -1,}

kde ${ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ jsou počty skutečných vložení a počet párů složitých vložení F, resp.

Tím se obnoví výše uvedený příklad: skupina jednotek (kruh celých čísel) a skutečné kvadratické pole je nekonečný 1. úrovně, protože ${ displaystyle r_ {1} = 2, r_ {2} = 0}$ .

V ringu $Z / n Z$ z celá čísla modulo $n$ , jednotky jsou třídami shody $(mod n)$ reprezentovaná celými čísly coprime na $n$ . Představují multiplikativní skupina celých čísel modulo $n$ .

Polynomy a mocninné řady

Pro komutativní prsten Rjednotky jednotky polynomiální kruh R[X] jsou přesně tyto polynomy

{ displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + tečky a_ {n} x ^ {n}}

takhle ${ displaystyle a_ {0}}$ je jednotka v Ra zbývající koeficienty ${ displaystyle a_ {1}, dots, a_ {n}}$ jsou nilpotentní prvky, tj. uspokojit ${ displaystyle a_ {i} ^ {N} = 0}$ pro některé N.^[3]Zejména pokud R je doména (nemá žádný nulové dělitele ), pak jednotky R[X] souhlasí s těmi z RJednotky napájecí série prsten ${ displaystyle R [[x]]}$ jsou přesně ty výkonové řady

{ displaystyle p (x) = součet _ {i = 0} ^ { infty} a_ {i} x ^ {i}}

takhle ${ displaystyle a_ {0}}$ je jednotka v R.^[4]

Maticové prsteny

Skupina jednotek prstenu $M n (R)$ z $n \times n$ matice přes komutativní prsten $R$ (například a pole ) je skupina $GL n (R)$ z invertibilní matice.

Prvek maticového kruhu ${ displaystyle operatorname {M} _ {n} (R)}$ je invertibilní právě tehdy, když určující prvku je invertibilní v R, s inverzí výslovně danou Cramerovo pravidlo.

Obecně

Nechat ${ displaystyle R}$ ložisko. Pro všechny ${ displaystyle x, y}$ v ${ displaystyle R}$ , pokud ${ displaystyle 1-xy}$ je tedy invertibilní ${ displaystyle 1-yx}$ je inverzní s inverzní funkcí ${ displaystyle 1 + y (1-xy) ^ {- 1} x}$ .^[5] Vzorec inverze lze nalézt následovně: předpokládejme formální myšlení ${ displaystyle 1-yx}$ je invertibilní a že inverze je dána geometrickou řadou: ${ displaystyle (1-yx) ^ {- 1} = součet _ {0} ^ { infty} (yx) ^ {n}}$ . Poté, když s tím formálně manipulujete,

{ displaystyle (1-yx) ^ {- 1} = 1 + y left ( sum _ {0} ^ { infty} (xy) ^ {n} right) x = 1 + y (1-xy ) ^ {- 1} x.}

Viz také Identita Hua pro podobný typ výsledků.

Skupina jednotek

Jednotky prstenu $R$ tvoří a skupina $U (R)$ při násobení se skupina jednotek z $R$ .

Další běžné notace pro $U (R)$ jsou $R *$ , $R \times$ , a $E(R)$ (z německého výrazu Einheit ).

A komutativní prsten je místní prsten -li $R - U (R)$ je maximální ideál.

Jak se ukázalo, pokud $R - U (R)$ je ideální, pak je nutně a maximální ideál a R je místní protože a maximální ideál je disjunktní z $U (R)$ .

Li $R$ je konečné pole, pak $U (R)$ je cyklická skupina řádu ${ displaystyle | R | -1}$ .

Formulace skupiny jednotek definuje a funktor $U$ z kategorie prstenů do kategorie skupin:

každý kruhový homomorfismus $F : R \to S$ indukuje a skupinový homomorfismus $U (F): U (R) \to U (S)$ , od té doby $F$ mapuje jednotky na jednotky.

Tento funktor má vlevo adjoint což je integrál skupinové vyzvánění konstrukce.

Souvislost

V komutativním unitálním kruhu $R$ , skupina jednotek $U (R)$ činy na $R$ prostřednictvím násobení. The oběžné dráhy této akce se nazývají sady spolupracovníci; jinými slovy, existuje vztah ekvivalence ∼ zapnuto $R$ volala přidruženost takhle

r \sim s

znamená, že existuje jednotka $u$ s $r = nás$ .

V integrální doména the mohutnost třídy ekvivalence spolupracovníků je stejná jako třída ekvivalence $U (R)$ .

Viz také

Poznámky

^ V kruhu se může aditivní inverze nenulového prvku rovnat samotnému prvku.

Citace

^ Dummit & Foote 2004.
^ Lang 2002.
^ Watkins (2007, Věta 11.1)
^ Watkins (2007, Věta 12.1)
^ Jacobson 2009, § 2.2. Cvičení 4.

Zdroje

Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
Jacobson, Nathan (2009). Základní algebra 1 (2. vyd.). Doveru. ISBN 978-0-486-47189-1.
Lang, Serge (2002). Algebra. Postgraduální texty z matematiky. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
Watkins, John J. (2007), Témata komutativní prstencové teorie, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, PAN 2330411

[3] V kruhu se může aditivní inverze nenulového prvku rovnat samotnému prvku.

[FOOTNOTEDummitFoote2004-1] Dummit & Foote 2004.

[FOOTNOTELang2002-2] Lang 2002.

[4] Watkins (2007, Věta 11.1)

[5] Watkins (2007, Věta 12.1)

[FOOTNOTEJacobson2009§_2.2._Exercise_4-6] Jacobson 2009, § 2.2. Cvičení 4.

[1]

[2]

[A]

[3]

[4]

[5]