Přímý součet skupin - Direct sum of groups
![]() | Tento článek možná bude muset být přepsáno vyhovět požadavkům Wikipedie standardy kvality, protože na diskusní stránce je uvedeno několik otázek.Březen 2013) ( |
Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie |
---|
![]() |
Nekonečná dimenzionální Lieova skupina
|
v matematika, a skupina G se nazývá přímý součet[1][2] ze dvou podskupiny H1 a H2 -li
- každý H1 a H2 jsou normální podskupiny z G,
- podskupiny H1 a H2 mít triviální křižovatka (tj. mít pouze prvek identity z G společné),
- G = <H1, H2>; jinými slovy, G je generováno podskupinami H1 a H2.
Obecněji, G se nazývá přímý součet konečné množiny podskupiny {Hi} pokud
- každý Hi je normální podskupina z G,
- každý Hi má triviální průnik s podskupinou <{Hj : j ≠ i}>,
- G = <{Hi}>; jinými slovy, G je generováno podle podskupin {Hi}.
Li G je přímý součet podskupin H a K. pak píšeme G = H + K., a pokud G je přímý součet množiny podskupin {Hi} pak často píšeme G = ∑Hi. Volně řečeno, přímá částka je izomorfní na slabý přímý produkt podskupin.
v abstraktní algebra lze tento způsob konstrukce zobecnit na přímé součty vektorové prostory, moduly a další struktury; viz článek přímý součet modulů Pro více informací.
Tato přímá částka je komutativní až do izomorfismu. To je, pokud G = H + K. pak také G = K. + H a tudíž H + K. = K. + H. Je to také asociativní v tom smyslu, že pokud G = H + K., a K. = L + M, pak G = H + (L + M) = H + L + M.
Skupina, kterou lze vyjádřit jako přímý součet netriviálních podskupin, se nazývá rozložitelnýPokud skupinu nelze vyjádřit jako přímý součet, je volána nerozložitelný.
Li G = H + K., pak lze prokázat, že:
- pro všechny h v H, k v K., máme to h*k = k*h
- pro všechny G v Gexistuje jedinečný h v H, k v K. takhle G = h*k
- Dochází ke zrušení částky v kvocientu; aby (H + K.)/K. je izomorfní s H
Výše uvedená tvrzení lze zobecnit na případ G = ∑Hi, kde {Hi} je konečná sada podskupin:
- -li i ≠ j, pak pro všechny hi v Hi, hj v Hj, máme to hi*hj = hj*hi
- pro každého G v G, existuje jedinečná sada prvků hi v Hi takhle
- G = h1*h2* ... * hi * ... * hn
- Dochází ke zrušení částky v kvocientu; tak, aby ((∑Hi) + K.)/K. je izomorfní s ∑Hi
Všimněte si podobnosti s přímý produkt, kde každý G lze jednoznačně vyjádřit jako
- G = (h1,h2, ..., hi, ..., hn).
Od té doby hi*hj = hj*hi pro všechny i ≠ j, z toho vyplývá, že násobení prvků v přímém součtu je izomorfní s násobením odpovídajících prvků v přímém součinu; tedy pro konečné množiny podskupin, ∑Hi je izomorfní s přímým produktem × {Hi}.
Přímý součet
Vzhledem ke skupině , říkáme, že podskupina je přímý součet z pokud existuje další podskupina z takhle .
V abelianských skupinách, pokud je dělitelná podskupina z , pak je přímým součtem .
Příklady
- Pokud vezmeme je jasné že je přímým produktem podskupin .
- Li je dělitelná podskupina skupiny abelianů pak existuje další podskupina z takhle .
- Li také má vektorový prostor strukturu pak lze napsat jako přímý součet a další podprostor to bude izomorfní s kvocientem .
Rovnocennost rozkladů na přímé sumy
Při rozkladu konečné skupiny na přímý součet nerozložitelných podskupin není vložení podskupin jedinečné. Například v Kleinová skupina máme to
- a
Nicméně Remak-Krull-Schmidtova věta uvádí, že vzhledem k konečný skupina G = ∑Ai = ∑Bj, kde každý Ai a každý Bj je netriviální a nerozložitelný, obě částky mají stejné podmínky až do pořadí a izomorfismu.
Remak-Krull-Schmidtova věta selže pro nekonečné skupiny; takže v případě nekonečného G = H + K. = L + M, i když jsou všechny podskupiny netriviální a nerozložitelné, nemůžeme to uzavřít H je isomorfní s oběma L nebo M.
Zobecnění na součty přes nekonečné množiny
Popsat výše uvedené vlastnosti v případě, že G je přímý součet nekonečné (možná nespočetné) množiny podskupin, je zapotřebí větší péče.
Li G je prvkem kartézský součin ∏{Hi} ze skupiny skupin, let Gi být ith prvek G v produktu. The externí přímý součet ze skupiny skupin {Hi} (psáno jako ∑E{Hi}) je podmnožina ∏ {Hi}, kde pro každý prvek G z ∑E{Hi}, Gi je identita pro všechny kromě konečného počtu Gi (ekvivalentně pouze konečný počet Gi nejsou identitou). Skupinová operace v externím přímém součtu je bodové násobení, jako v obvyklém přímém součinu.
Tato podmnožina skutečně tvoří skupinu a pro konečnou skupinu skupin {Hi} vnější přímý součet se rovná přímému součinu.
Li G = ∑Hi, pak G je izomorfní s ∑E{Hi}. V jistém smyslu je tedy přímý součet „vnitřním“ vnějším přímým součtem. Pro každý prvek G v G, existuje jedinečná konečná množina S a jedinečná sada {hi ∈ Hi : i ∈ S} takové, že G = ∏ {hi : i v S}.