Invariantní teorie - Invariant theory

Invariantní teorie je pobočkou abstraktní algebra jednat s akce z skupiny na algebraické odrůdy, jako jsou vektorové prostory, z hlediska jejich vlivu na funkce. Teorie se klasicky zabývala otázkou explicitního popisu polynomiální funkce které se nemění nebo jsou neměnný, pod transformacemi od daného lineární skupina. Například, vezmeme-li v úvahu akci speciální lineární skupina SL_n v prostoru n podle n matice levým násobením, pak určující je invariant této akce, protože určující A X rovná se determinantu X, když A je v SL_n.

Úvod

Nechat ${ displaystyle G}$ být skupina, a ${ displaystyle V}$ konečně-dimenzionální vektorový prostor přes pole ${ displaystyle k}$ (což se v klasické teorii invariantů obvykle považovalo za komplexní čísla ). A zastoupení z ${ displaystyle G}$ v ${ displaystyle V}$ je skupinový homomorfismus ${ displaystyle pi: G to GL (V)}$ , který indukuje a skupinová akce z ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle V}$ . Li ${ displaystyle k [V]}$ je prostor polynomiálních funkcí na ${ displaystyle V}$ , pak skupinová akce ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle V}$ vytvoří akci na ${ displaystyle k [V]}$ podle následujícího vzorce:

{ displaystyle (g cdot f) (x): = f (g ^ {- 1} (x)) qquad forall x ve V, g v G, f v k [V].}

S touto akcí je přirozené uvažovat o podprostoru všech polynomiálních funkcí, které jsou neměnné v rámci této skupinové akce, jinými slovy množina polynomů taková, že ${ displaystyle g cdot f = f}$ pro všechny ${ displaystyle g v G}$ . Tento prostor invariantní polynomy je označen ${ displaystyle k [V] ^ {G}}$ .

První problém invariantní teorie:^[1] Je ${ displaystyle k [V] ^ {G}}$ A konečně generovaná algebra přes ${ displaystyle k}$ ?

Například pokud ${ displaystyle G = SL_ {n}}$ a ${ displaystyle V = M_ {n}}$ prostor čtvercových matic a působení ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle V}$ je dáno levým násobením ${ displaystyle k [V] ^ {G}}$ je izomorfní s a polynomiální algebra v jedné proměnné, generované determinantem. Jinými slovy, v tomto případě je každý invariantní polynom lineární kombinací sil determinantního polynomu. V tomto případě ${ displaystyle k [V] ^ {G}}$ je definitivně generován ${ displaystyle k}$ .

Pokud je odpověď ano, pak další otázkou je najít minimální základ a zeptat se, zda modul polynomiálních vztahů mezi základními prvky (známý jako syzygies ) je definitivně generován ${ displaystyle k [V]}$ .

Invariantní teorie konečné skupiny má intimní spojení s Galoisova teorie. Jedním z prvních hlavních výsledků byla hlavní věta o symetrické funkce který popisoval invarianty symetrická skupina ${ displaystyle S_ {n}}$ působící na polynomiální kruh ${ displaystyle R [x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ ] od obměny proměnných. Obecněji, Chevalley – Shephard – Toddova věta charakterizuje konečné skupiny, jejichž algebra invariants je polynomiální kruh. Moderní výzkum v invariantní teorii konečných skupin zdůrazňuje „efektivní“ výsledky, například explicitní meze stupňů generátorů. Případ pozitivní charakteristický, ideologicky blízké teorie modulární reprezentace, je oblast aktivního studia s odkazy na algebraická topologie.

Invariantní teorie nekonečné skupiny je nerozlučně spjat s rozvojem lineární algebra, zejména teorie kvadratické formy a determinanty. Dalším předmětem se silným vzájemným vlivem byl projektivní geometrie, kde se očekávalo, že invariantní teorie bude hrát hlavní roli při organizaci materiálu. Jedním z vrcholů tohoto vztahu je symbolická metoda. Teorie reprezentace z napůl jednoduché Lie skupiny má své kořeny v invariantní teorii.

David Hilbert Práce na otázce konečné generace algebry invariants (1890) vyústila ve vytvoření nové matematické disciplíny, abstraktní algebry. Pozdější příspěvek Hilberta (1893) se zabýval stejnými otázkami konstruktivnějšími a geometrickými způsoby, ale zůstal prakticky neznámý až do David Mumford přivedl tyto myšlenky zpět k životu v 60. letech ve své podstatně obecnější a moderní podobě geometrická invariantní teorie. Do značné míry kvůli vlivu Mumforda je předmětem invariantní teorie obsaženo teorie akcí lineární algebraické skupiny na afinní a projektivní odrůdy. Zřetelný řetězec invariantní teorie, který se vrací ke klasickým konstruktivním a kombinatorickým metodám devatenáctého století, byl vyvinut Gian-Carlo Rota a jeho škola. Prominentní příklad tohoto kruhu myšlenek je dán teorií standardní monomials.

Příklady

Jednoduché příklady invariantní teorie pocházejí z výpočtu invariantu monomials ze skupinové akce. Zvažte například ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ -akce zapnuta ${ displaystyle mathbb {C} [x, y]}$ odesílání

{ displaystyle { begin {zarovnáno} x mapsto -x && y mapsto -y end {zarovnáno}}}

Pak od té doby ${ displaystyle x ^ {2}, xy, y ^ {2}}$ jsou monomie nejnižšího stupně, které jsou neměnné, to máme

{ displaystyle mathbb {C} [x, y] ^ { mathbb {Z} / 2} cong mathbb {C} [x ^ {2}, xy, y ^ {2}] cong { frac { mathbb {C} [a, b, c]} {(ac-b ^ {2})}}}

Tento příklad tvoří základ pro provádění mnoha výpočtů.

Počátky devatenáctého století

Teorie invariantů vznikla zhruba v polovině devatenáctého století Minerva: dospělá panna, poslaná poštou v zářícím brnění algebry, z níž vyskočila Cayley Joviánská hlava.

Weyl (1939b, str. 489)

Cayley poprvé založil invariantní teorii ve své knize „The Theory of Linear Transformations (1845)“. Na začátku svého příspěvku Cayley připočítá papír George Boole z roku 1841, „vyšetřování mi navrhl velmi elegantní papír na stejné téma ... pan Boole.“ (Booleova práce byla Exposition of a General Theory of Linear Transformations, Cambridge Mathematical Journal.)

Klasicky se termín „invariantní teorie“ vztahuje ke studiu invariantu algebraické tvary (ekvivalentně, symetrické tenzory ) pro akce z lineární transformace. Toto byl hlavní studijní obor ve druhé polovině devatenáctého století. Současné teorie týkající se symetrická skupina a symetrické funkce, komutativní algebra, modulové prostory a reprezentace Lieových skupin mají kořeny v této oblasti.

Podrobněji, vzhledem k tomu, že je konečně-dimenzionální vektorový prostor PROTI dimenze n můžeme zvážit symetrická algebra S(S^r(PROTI)) polynomů stupně r přes PROTIa akce GL na něm (PROTI). Ve skutečnosti je přesnější uvažovat relativní invarianty GL (PROTI), nebo reprezentace SL (PROTI), pokud o tom budeme mluvit invarianty: je to proto, že skalární násobek identity bude působit na tenzor hodnosti r v S (PROTI) skrz r-tá síla ‚váha 'skaláru. Jde pak o definování subalgebry invariantů Já(S^r(PROTI)) pro akci. Klasickým jazykem se díváme na invarianty n-ary r-ics, kde n je rozměrPROTI. (To není totéž jako najít invarianty GL (PROTI) na S (PROTI); to je nezajímavý problém, protože jedinými takovými invarianty jsou konstanty.) Nejvíce studovaný případ byl invarianty binárních forem kde n = 2.

Mezi další práce patřily práce Felix Klein při výpočtu invariantních prstenců konečných skupinových akcí na ${ displaystyle mathbf {C} ^ {2}}$ (dále jen binární polyedrické skupiny, klasifikováno podle Klasifikace ADE ); to jsou souřadnicové kroužky du Val singularity.

Stejně jako arabský fénix, který povstal z popela, je teorie invariants, prohlášená za mrtvou na přelomu století, opět v čele matematiky.

Kung & Rota (1984, str.27)

Práce David Hilbert, což dokazuje Já(PROTI) byl v mnoha případech konečně představen, téměř ukončil klasickou invariantní teorii na několik desetiletí, ačkoli klasická epocha v předmětu pokračovala až do závěrečných publikací Alfred Young, o více než 50 let později. Explicitní výpočty pro konkrétní účely byly známy v moderní době (například Shioda, s binární oktavikou).

Hilbertovy věty

Hilbert (1890) dokázal, že pokud PROTI je konečně-dimenzionální reprezentace komplexní algebraické skupiny G = SL_n(C) pak kruh invarianty z G působící na kruh polynomů R = S(PROTI) je definitivně generován. Jeho důkaz používal Operátor Reynolds ρ z R na R^G s vlastnostmi

ρ(1) = 1
ρ(A + b) = ρ(A) + ρ(b)
ρ(ab) = A ρ(b) kdykoli A je neměnný.

Hilbert zkonstruoval Reynoldsův operátor výslovně pomocí Cayleyho omega proces Ω, i když nyní je běžnější konstruovat ρ nepřímo následovně: pro kompaktní skupiny G, operátor Reynolds je dán převzetím průměru G, a nekompaktní redukční skupiny lze redukovat na případ kompaktních skupin pomocí Weylových unitářský trik.

Vzhledem k operátoru Reynolds je Hilbertova věta dokázána následovně. Prsten R je polynomický kruh, takže je odstupňován podle stupňů a ideální Já je definován jako ideál generovaný homogenními invarianty kladných stupňů. Podle Hilbertova základní věta ideál Já je definitivně generován (jako ideální). Proto, Já je definitivně generován konečně mnoha invarianty G (protože pokud dostaneme jakoukoli - možná nekonečnou - podmnožinu S který generuje konečně generovaný ideál Já, pak Já je již generován nějakou konečnou podmnožinou S). Nechat i₁,...,i_n být konečnou sadou invarianty G generování Já (jako ideální). Klíčovou myšlenkou je ukázat, že tyto generují prsten R^G invarianty. Předpokládejme to X je nějaký homogenní invariant stupně d > 0. Potom

X = A₁i₁ + ... + A_ni_n

pro některé A_j v ringu R protože X je v ideálu Já. Můžeme to předpokládat A_j je homogenní se stupněm d - deg i_j pro každého j (jinak nahradíme A_j jeho homogenní složkou stupně d - deg i_j; pokud to uděláme pro každého j, rovnice X = A₁i₁ + ... + A_ni_n zůstane v platnosti). Nyní aplikujeme operátor Reynolds na X = A₁i₁ + ... + A_ni_n dává

X = ρ (A₁)i₁ + ... + ρ(A_n)i_n

Nyní to ukážeme X leží v R-algebra generovaná i₁,...,i_n.

Nejprve to udělejme v případě, že prvky ρ (A_k) všichni mají stupeň menší než d. V tomto případě jsou všechny v R-algebra generovaná i₁,...,i_n (podle našeho indukčního předpokladu). Proto, X je také v tom R-algebra (od X = ρ(A₁)i₁ + ... + ρ (A_n)i_n).

Obecně si nemůžeme být jisti, že prvky ρ (A_k) všichni mají stupeň menší než d. Ale můžeme nahradit každou ρ (A_k) svou homogenní složkou stupně d - deg i_j. Ve výsledku tyto upravené ρ (A_k) jsou stále G-invarianty (protože každá homogenní složka a G-variant je a G-invariant) a mají stupeň menší než d (od deg i_k > 0). Rovnice X = ρ (A₁)i₁ + ... + ρ (A_n)i_n stále platí pro naše upravené ρ (A_k), takže to můžeme opět uzavřít X leží v R-algebra generovaná i₁,...,i_n.

Proto, indukcí na stupeň, všechny prvky R^G jsou v R-algebra generovaná i₁,...,i_n.

Geometrická invariantní teorie

Moderní formulace geometrická invariantní teorie je to kvůli David Mumford, a zdůrazňuje konstrukci kvocientu pomocí skupinové akce, který by měl zachytit neměnné informace prostřednictvím jeho souřadnicového kruhu. Jde o jemnou teorii, protože úspěchu lze dosáhnout vyloučením některých „špatných“ oběžných drah a identifikací ostatních s „dobrými“ oběžnými dráhami. V samostatném vývoji symbolická metoda invariantní teorie, očividně heuristická kombinatorická notace, byla rehabilitována.

Jednou z motivací byla konstrukce modulové prostory v algebraická geometrie jako kvocienty schémat parametrizujících označené objekty. V sedmdesátých a osmdesátých letech se v teorii rozvíjely interakce s symplektická geometrie a ekvivariační topologie a byla použita ke konstrukci moduli prostorů objektů v diferenciální geometrie, jako okamžiky a monopoly.

Viz také

Reference

^ Borel, Armand (2001). Eseje v historii Lieových skupin a algebraických skupin. Dějiny matematiky, sv. 21. Americká matematická společnost a londýnská matematická společnost. ISBN 978-0821802885.

Dieudonné, Jean A.; Carrell, James B. (1970), „Invariantní teorie, stará a nová“, Pokroky v matematice, 4: 1–80, doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0, ISSN 0001-8708, PAN 0255525 Přetištěno jako Dieudonné, Jean A .; Carrell, James B. (1971), „Invariantní teorie, stará a nová“, Pokroky v matematice, Boston, MA: Akademický tisk, 4: 1–80, doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0, ISBN 978-0-12-215540-6, PAN 0279102
Dolgachev, Igor (2003), Přednášky o invariantní teorii, Série přednášek London Mathematical Society, 296, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511615436, ISBN 978-0-521-52548-0, PAN 2004511
Grace, J. H .; Young, Alfred (1903), Algebra invariants, Cambridge: Cambridge University Press
Grosshans, Frank D. (1997), Algebraické homogenní prostory a invariantní teorie, New York: Springer, ISBN 3-540-63628-5
Kung, Joseph P. S .; Rota, Gian-Carlo (1984), „Invariantní teorie binárních forem“, Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 10 (1): 27–85, doi:10.1090 / S0273-0979-1984-15188-7, ISSN 0002-9904, PAN 0722856
Hilbert, David (1890), „Ueber die Theorie der algebraischen Formen“, Mathematische Annalen, 36 (4): 473–534, doi:10.1007 / BF01208503, ISSN 0025-5831
Hilbert, D. (1893), „Über die vollen Invariantensysteme (On Full Invariant Systems)“, Matematika. Annalen, 42 (3): 313, doi:10.1007 / BF01444162
Neusel, Mara D .; Smith, Larry (2002), Invariantní teorie konečných skupin, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2916-5 Nedávný zdroj pro učení o modulárních invariantech konečných skupin.
Olver, Peter J. (1999), Klasická invariantní teorie, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2 Úvod do klasické teorie invarianty binárních forem, včetně Omega proces počínaje stranou 87.
Popov, V.L. (2001) [1994], "Invarianty, teorie", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Springer, T. A. (1977), Neměnná teorie, New York: Springer, ISBN 0-387-08242-5 Starší, ale stále užitečný průzkum.
Sturmfels, Bernd (1993), Algoritmy v neměnné teorii, New York: Springer, ISBN 0-387-82445-6 Krásný úvod do teorie invariantů konečných grup a technik jejich výpočtu pomocí Gröbnerových bází.
Weyl, Hermann (1939), Klasické skupiny. Jejich invarianty a zastoupení, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, PAN 0000255
Weyl, Hermann (1939b), „Invarianty“, Duke Mathematical Journal, 5 (3): 489–502, doi:10.1215 / S0012-7094-39-00540-5, ISSN 0012-7094, PAN 0000030

externí odkazy

H. Kraft, C. Procesi, Classical Invariant Theory, a Primer
V. L. Popov, E. B. Vinberg, `` Invariantní teorie '', in Algebraická geometrie. IV. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55 (přeloženo z ruského vydání z roku 1989) Springer-Verlag, Berlín, 1994; vi + 284 stran; ISBN 3-540-54682-0

[1] Borel, Armand (2001). Eseje v historii Lieových skupin a algebraických skupin. Dějiny matematiky, sv. 21. Americká matematická společnost a londýnská matematická společnost. ISBN 978-0821802885.

[1]