Komutativní prsten - Commutative ring - Wikipedia

tento článek používá Značky HTML. Prosím Pomoc změnou označení HTML na Značky Wiki kde se to hodí. Nápovědu k vyhledání nebo nahrazení problematických značek naleznete na stránce instrukce. (Říjen 2020) Konkrétní značky nalezené na této stránce (mohou být i jiné) zahrnují: citovat

v teorie prstenů, pobočka abstraktní algebra, a komutativní prsten je prsten ve kterém je operace násobení komutativní. Studie komutativních prstenů se nazývá komutativní algebra. Doplňkově, nekomutativní algebra je studium nekomutativní prsteny kde násobení nemusí být komutativní.

Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideál • Kvocient prstenu • Zlomkový ideál • Celkový kvocient kvocientu • Produktový prsten • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový produkt prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniova endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Tříděný prsten • Intuutivní prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zvonění ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${ displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Lež prsten • Jordan prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrovaná uzavřená doména • Doména GCD • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prsten • Polynomiální kruh • Formální prsten řady power Algebraická teorie čísel • Algebraické číselné pole • Kruh čísel • Algebraická nezávislost • Teorie transcendentních čísel • Stupeň transcendence str-adic teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit /Inverzní limit • Nulový prsten ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo strn ${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Prüfer str-prsten ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ • Základna -str kruhový prsten ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Základna -str celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • str-adic racionální ${ displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Základna -str reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ • str-adická celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • str-adická čísla ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • str-adický solenoid ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nezávazné prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduché zazvonění • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra

Definice a první příklady

Definice

A prsten je soubor R vybaven dvěma binární operace, tj. operace kombinující libovolné dva prvky prstence se třetím. Se nazývají přidání a násobení a běžně označovány „+“ a „⋅“; např. A + b a A ⋅ b. K vytvoření prstenu musí tyto dvě operace splňovat řadu vlastností: prsten musí být abelianská skupina pod přidáním stejně jako a monoidní pod násobením, kde násobení distribuuje nad sčítáním; tj., A ⋅ (b + C) = (A ⋅ b) + (A ⋅ C). Identifikační prvky pro sčítání a násobení jsou označeny 0, respektive 1.

Pokud je násobení komutativní, tj.

A ⋅ b = b ⋅ A,

pak prsten R je nazýván komutativní. Ve zbývající části tohoto článku budou všechny prsteny komutativní, pokud není výslovně uvedeno jinak.

První příklady

Důležitým příkladem, a v jistém smyslu zásadním, je kruh celých čísel Z se dvěma operacemi sčítání a násobení. Protože násobení celých čísel je komutativní operace, jedná se o komutativní kruh. Obvykle se označuje Z jako zkratka Němec slovo Zahlen (čísla).

A pole je komutativní kruh, kde ${ displaystyle 0 not = 1}$ a každý nenulový živel A je invertibilní; tj. má multiplikativní inverzní b takhle A ⋅ b = 1. Proto je podle definice libovolné pole komutativním prstencem. The Racionální, nemovitý a komplexní čísla pole formuláře.

Li R je daný komutativní kruh, pak množina všech polynomy v proměnné X jejichž koeficienty jsou v R tvoří polynomiální kruh, označeno R[X]. Totéž platí pro několik proměnných.

Li PROTI je nějaký topologický prostor, například podmnožina některých Rⁿse skutečnou nebo komplexní hodnotou spojité funkce na PROTI tvoří komutativní kruh. Totéž platí pro rozlišitelný nebo holomorfní funkce, když jsou definovány dva pojmy, například pro PROTI A komplexní potrubí.

Dělitelnost

Na rozdíl od polí, kde je každý nenulový prvek multiplikativně invertovatelný, koncept dělitelnost pro prsteny je bohatší. Prvek A prstenu R se nazývá a jednotka pokud má multiplikativní inverzi. Dalším konkrétním typem prvku je nulové dělitele, tj. prvek A takový, že existuje nenulový prvek b prstenu tak, že ab = 0. Li R nemá žádné nenulové nulové dělitele, nazývá se to integrální doména (nebo doména). Prvek A uspokojující Aⁿ = 0 pro nějaké kladné celé číslo n je nazýván nilpotentní.

Lokalizace

The lokalizace prstenu je proces, při kterém jsou některé prvky vykresleny jako invertibilní, tj. do kruhu jsou přidány multiplikativní inverze. Konkrétně, pokud S je multiplikativně uzavřená podmnožina z R (tj. kdykoli s, t ∈ S tak to je Svatý) pak lokalizace z R na Snebo kruh zlomků se jmenovateli v S, obvykle označeno S⁻¹R skládá se ze symbolů

${ displaystyle { frac {r} {s}}}$ s r ∈ R, s ∈ S

podléhá určitým pravidlům, která napodobují zrušení známé z racionálních čísel. Ve skutečnosti v tomto jazyce Q je lokalizace Z na všechna nenulová celá čísla. Tato konstrukce funguje pro jakoukoli integrální doménu R namísto Z. Lokalizace (R \ {0})⁻¹R je pole zvané pole kvocientu z R.

Ideály a moduly

Mnoho z následujících pojmů existuje také pro ne nutně komutativní prstence, ale definice a vlastnosti jsou obvykle komplikovanější. Například všechny ideály v komutativním kruhu jsou automaticky oboustranný, což situaci značně zjednodušuje.

Moduly a ideály

Pro prsten R, an R-modul M je jako to, co je vektorový prostor k poli. To znamená, že lze přidat prvky v modulu; mohou být vynásobeny prvky R podléhají stejným axiomům jako pro vektorový prostor. Studium modulů je podstatně více zapojeno než studium vektorových prostorů v lineární algebra, protože u modulů obecně selhává několik funkcí vektorových prostorů: moduly nemusí být volný, uvolnit, tj. formuláře

${ displaystyle M = bigoplus _ {i v I} R.}$

I pro bezplatné moduly hodnost volného modulu (tj. analog dimenze vektorových prostorů) nemusí být dobře definován. A konečně, podmoduly konečně generovaných modulů nemusí být definitivně generovány (pokud R je Noetherian, viz níže ).

Ideály

Ideály prstenu R jsou podmoduly z Rtj. moduly obsažené v R. Podrobněji ideál Já je neprázdná podmnožina R takové, že pro všechny r v R, i a j v Já, oba ri a i + j jsou v Já. Pro různé aplikace je pochopení ideálů prstenu zvlášť důležité, ale často se postupuje studiem modulů obecně.

Jakýkoli prsten má dva ideály, a to nula ideální {0} a R, celý prsten. Tyto dva ideály jsou jedinými, pokud právě R je pole. Vzhledem k jakékoli podmnožině F = {F_j}_{j ∈ J} z R (kde J je nějaká sada indexů), ideální generované F je nejmenší ideál, který obsahuje F. Rovnocenně je dána konečností lineární kombinace

r₁F₁ + r₂F₂ + ... + r_nF_n.

Hlavní ideální domény

Li F sestává z jediného prvku r, ideál generovaný F se skládá z násobků r, tj. prvky formuláře rs pro libovolné prvky s. Takový ideál se nazývá a hlavní ideál. Pokud je každý ideál hlavním ideálem, R se nazývá a hlavní ideální prsten; jsou dva důležité případy Z a k[X], polynomický kruh nad polem k. Tyto dvě jsou doménami navíc, takže se jim říká hlavní ideální domény.

Na rozdíl od obecných prstenů jsou u hlavní ideální domény vlastnosti jednotlivých prvků silně svázány s vlastnostmi prstence jako celku. Například libovolná hlavní ideální doména R je jedinečná faktorizační doména (UFD), což znamená, že jakýkoli prvek je produktem neredukovatelných prvků jedinečným způsobem (až do pořadí faktorů). Tady prvek A v doméně se nazývá neredukovatelné pokud je to jediný způsob, jak to vyjádřit jako produkt

A = před naším letopočtem,

je buď b nebo C být jednotkou. Příklad, důležitý v teorie pole, jsou neredukovatelné polynomy, tj. neredukovatelné prvky v k[X], pro pole k. Skutečnost, že Z je UFD lze konstatovat elementárněji tím, že každé přirozené číslo lze jednoznačně rozložit jako produkt mocnin prvočísel. To je také známé jako základní teorém aritmetiky.

Prvek A je hlavní prvek pokud kdykoli A rozděluje produkt před naším letopočtem, A rozděluje b nebo C. V doméně znamená být nejlepší nereukovatelný. Konverzace je pravdivá v jedinečné faktorizační doméně, ale obecně nepravdivá.

Faktorový prsten

Definice ideálů je taková, že „dělení“ Já "out" dává další prsten, faktorový prsten R / Já: je to soubor kosety z Já společně s operacemi

(A + Já) + (b + Já) = (A + b) + Já a (A + Já)(b + Já) = ab + Já.

Například prsten Z/nZ (také označeno Z_n), kde n je celé číslo, je kruh celých čísel modulo n. Je to základ modulární aritmetika.

Ideální je správně pokud je přísně menší než celý prsten. Nazývá se ideál, který není striktně obsažen v žádném správném ideálu maximální. Ideál m je maximální kdyby a jen kdyby R / m je pole. Až na nulový prsten jakýkoli prsten (s identitou) má alespoň jeden maximální ideál; to vyplývá z Zornovo lemma.

Noetherian prsteny

Prsten se volá Noetherian (na počest Emmy Noetherová, kteří tento koncept vyvinuli), pokud každý vzestupný řetězec ideálů

0 ⊆ Já₀ ⊆ Já₁ ... ⊆ Já_n ⊆ Já_{n + 1} ⊆ ...

stane se stacionárním, tj. stane se konstantní nad určitým indexem n. Ekvivalentně je jakýkoli ideál generován konečně mnoha prvky, nebo, přesto ekvivalentními, podmoduly konečně generovaných modulů je definitivně generováno.

Být Noetherian je velmi důležitá podmínka konečnosti a podmínka je zachována při mnoha operacích, které se v geometrii často vyskytují. Například pokud R je Noetherian, pak také je polynomiální kruh R[X₁, X₂, ..., X_n] (podle Hilbertova základní věta ), jakákoli lokalizace S⁻¹R, a také jakýkoli faktorový prsten R / Já.

Jakýkoli netheretherský prsten R je svaz jejích noetherských podřetězců. Tato skutečnost, známá jako Noetherian aproximace, umožňuje rozšíření určitých vět na netheretheranské prstence.

Artinian prsteny

Prsten se volá Artinian (po Emil Artin ), pokud každý sestupný řetězec ideálů

R ⊇ Já₀ ⊇ Já₁ ... ⊇ Já_n ⊇ Já_{n + 1} ⊇ ...

nakonec se zastaví. Navzdory dvěma podmínkám, které se zdají být symetrické, jsou noetherovské prstence mnohem obecnější než artiniánské prsteny. Například, Z je Noetherian, protože každý ideál může být generován jedním prvkem, ale není Artinian, jako řetězec

Z ⊋ 2Z ⊋ 4Z ⊋ 8Z ⊋ ...

ukazuje. Ve skutečnosti tím Hopkinsova-Levitzkiho věta, každý Artinianův prsten je Noetherian. Přesněji lze Artinianovy prsteny charakterizovat jako noetherovské prsteny, jejichž Krullův rozměr je nulový.

Spektrum komutativního kruhu

Připravte ideály

Jak bylo uvedeno výše, Z je jedinečná faktorizační doména. To neplatí pro obecnější prstence, jak si algebraisté uvědomili v 19. století. Například v

${ displaystyle mathbf {Z} [{ sqrt {-5}}],}$

Existují dva skutečně odlišné způsoby psaní 6 jako produktu:

${ displaystyle 6 = 2 cdot 3 = (1 + { sqrt {-5}}) (1 - { sqrt {-5}}).}$

Prime ideály, na rozdíl od hlavních prvků, poskytují způsob, jak tento problém obejít. Prvotním ideálem je vlastní (tj. Přísně obsažené v R) ideální str takové, že kdykoli se jedná o produkt ab ze dvou kruhových prvků A a b je v str, alespoň jeden ze dvou prvků je již v str. (Opačný závěr platí pro každý ideál, podle definice). Pokud je tedy prvočíslo ideálem, je rovnocenně generováno prvkem prvočísla. V prstenech, jako je ${ displaystyle mathbf {Z} [{ sqrt {-5}}]}$„hlavní ideály nemusí být zásadní. To omezuje použití prvočísel v teorii prstenů. Základním kamenem algebraické teorie čísel je však skutečnost, že v každém Dedekindův prsten (který zahrnuje ${ displaystyle mathbf {Z} [{ sqrt {-5}}]}$ a obecněji kruh celých čísel v číselném poli ) jakýkoli ideál (například ten, který vygeneruje 6) se jedinečným způsobem rozloží jako produkt prvotřídních ideálů.

Jakýkoli maximální ideál je hlavní ideál nebo, stručněji, je hlavní. Navíc ideál Já je prvočíslo právě tehdy, když zazvoní faktor R / Já je integrální doménou. Dokázat, že ideál je prvočíslo, nebo ekvivalentně to, že prsten nemá nulové dělitele, může být velmi obtížné. Ještě dalším způsobem, jak vyjádřit totéž, je říci, že doplněk R \ str je multiplikativně uzavřeno. Lokalizace (R \ str)⁻¹R je natolik důležité, aby měl svůj vlastní zápis: R_str. Tento prsten má pouze jeden maximální ideál, a to pR_str. Takovým prstenům se říká místní.

Spektrum

Spec (Z) obsahuje bod pro nulový ideál. Uzavření tohoto bodu je celý prostor. Zbývající body jsou ty, které odpovídají ideálům (str), kde str je prvočíslo. Tyto body jsou uzavřeny.

The spektrum kruhu R,^{[poznámka 1]} označeno Spec R, je množina všech hlavních ideálů R. Je vybaven topologií, Zariski topologie, což odráží algebraické vlastnosti R: základ otevřených podmnožin je dán vztahem

D(F) = {str ∈ Spec R., F ∉ str}, kde F je jakýkoli prstenový prvek.

Tlumočení F jako funkce, která má hodnotu F mod str (tj. obraz F v poli zbytku R/str), tato podmnožina je místo, kde F je nenulová. Spektrum také upřesňuje intuici, že lokalizační a faktorové prstence se doplňují: přírodní mapy R → R_F a R → R / fR odpovídají poté, co obdarují spektra dotyčných prstenů svou Zariskiho topologií, doplňkovým otevřeno a uzavřené ponoření resp. Dokonce i pro základní prsteny, jako například pro R = Z napravo je Zariskiho topologie zcela odlišná od té na množině reálných čísel.

Spektrum obsahuje množinu maximálních ideálů, která se občas označuje mSpec (R). Pro algebraicky uzavřené pole k, mSpec (k [T₁, ..., T_n] / (F₁, ..., F_m)) je v bijekci se sadou

{X =(X₁, ..., X_n) ∊ kⁿ | F₁(X) = ... = F_m(X) = 0.}

Maximální ideály tedy odrážejí geometrické vlastnosti množin řešení polynomů, což je počáteční motivací pro studium komutativních prstenců. Zvažování jiných než maximálních ideálů jako součásti geometrických vlastností prstenu je však užitečné z několika důvodů. Například minimální hlavní ideály (tj. Ty, které přísně neobsahují menší) odpovídají neredukovatelné komponenty Spec R. Pro noetherianský prsten R, Spec R má jen konečně mnoho neredukovatelných složek. Toto je geometrické přepracování primární rozklad, podle kterého lze jakýkoli ideál rozložit na produkt konečně mnoha primární ideály. Tato skutečnost je konečným zobecněním rozkladu na hlavní ideály v prstencích Dedekinda.

Afinní schémata

Pojem spektrum je běžným základem komutativní algebry a algebraická geometrie. Algebraická geometrie pokračuje obdarováním Spec R s snop ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ (entita, která shromažďuje funkce definované lokálně, tj. u různých otevřených podmnožin). Datum prostoru a svazku se nazývá an afinní schéma. Vzhledem k afinnímu schématu je to základní prsten R lze obnovit jako globální sekce z ${ displaystyle { mathcal {O}}}$. Kromě toho je tato individuální korespondence mezi kruhy a afinními schématy také kompatibilní s kruhovými homomorfismy: libovolná F : R → S dává vzniknout a průběžná mapa v opačném směru

Spec S → Spec R, q ↦ F⁻¹(q), tj. jakýkoli hlavní ideál S je mapován na jeho preimage pod F, což je hlavní ideál R.

Výsledný rovnocennost ze dvou uvedených kategorií výstižně odráží algebraické vlastnosti prstenů geometrickým způsobem.

Podobně jako to rozdělovače jsou místně dány otevřenými podmnožinami souboru Rⁿ, afinní schémata jsou lokálními modely pro schémata, které jsou předmětem studia v algebraické geometrii. Proto několik pojmů týkajících se komutativních prstenů vychází z geometrické intuice.

Dimenze

The Dimenze Krull (nebo rozměr) dim R prstenu R měří "velikost" prstenu zhruba tím, že spočítá nezávislé prvky v R. Dimenze algeber nad polem k lze axiomatizovat čtyřmi vlastnostmi:

• Dimenze je místní vlastnost: dim R = sup_{p ∊ Spec R} ztlumit R_str.
• Dimenze je nezávislá na nilpotentních prvcích: pokud Já ⊆ R je nilpotentní, pak slabý R = dim R / Já.
• Dimenze zůstává konstantní pod konečným rozšířením: pokud S je R-algebra, která je definitivně generována jako R-modul, pak ztlumit S = dim R.
• Dimenze je kalibrována dim k[X₁, ..., X_n] = n. Tento axiom je motivován pozorováním polynomiálního kruhu v n proměnné jako algebraický analog n-rozměrný prostor.

Rozměr je definován pro jakýkoli prsten R, jako supremum délek n řetězů hlavních ideálů

str₀ ⊊ str₁ ⊊ ... ⊊ str_n.

Například pole je nulové, protože jediný primární ideál je nulový ideál. Celá čísla jsou jednorozměrná, protože řetězce mají tvar (0) ⊊ (str), kde str je prvočíslo. U jiných než netheretherských prstenů a také jiných než lokálních prstenů může být dimenze nekonečná, ale netheretherské lokální prstence mají konečnou dimenzi. Mezi výše uvedenými čtyřmi axiomy jsou první dva elementární důsledky definice, zatímco zbývající dva závisí na důležitých faktech v komutativní algebra, vzestupná věta a Krullova hlavní ideální věta.

Prstencové homomorfismy

A kruhový homomorfismus nebo, více hovorově, jednoduše a mapa, je mapa F : R → S takhle

F(A + b) = F(A) + F(b), F(ab) = F(A)F(b) a F(1) = 1.

Tyto podmínky zajišťují F(0) = 0. Podobně jako u jiných algebraických struktur je tedy kruhový homomorfismus mapa, která je kompatibilní se strukturou příslušných algebraických objektů. V takové situaci S se také nazývá R-algebra, pochopením toho s v S mohou být některými znásobeny r z R, nastavením

r · s := F(r) · s.

The jádro a obraz z F jsou definovány ker (F) = {r ∈ R, F(r) = 0} a im (F) = F(R) = {F(r), r ∈ R}. Jádro je ideál z Ra obrázek je podřízený z S.

Kruhový homomorfismus se nazývá izomorfismus, pokud je bijektivní. Příklad izomorfismu prstence, známého jako Čínská věta o zbytku, je

${ displaystyle mathbf {Z} / n = bigoplus _ {i = 0} ^ {k} mathbf {Z} / p_ {i}}$

kde n = str₁str₂...str_k je produktem párově odlišných prvočísla.

Komutativní prstence spolu s prstencovými homomorfismy tvoří a kategorie. Prsten Z je počáteční objekt v této kategorii, což znamená, že pro každý komutativní kruh Rexistuje jedinečný kruhový homomorfismus Z → R. Prostřednictvím této mapy celé číslo n lze považovat za prvek R. Například binomický vzorec

${ displaystyle (a + b) ^ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} a ^ {k} b ^ {n-k}}$

který platí pro jakékoli dva prvky A a b v jakémkoli komutativním kruhu R je v tomto smyslu chápána interpretací binomických koeficientů jako prvků R pomocí této mapy.

The univerzální vlastnictví z S ⊗_R T uvádí, že pro jakékoli dvě mapy S → Ž a T → Ž díky nimž dojíždí vnější čtyřúhelník, existuje jedinečná mapa S ⊗_R T → Ž díky čemuž dojíždí celý diagram.

Vzhledem k tomu dva R-algebry S a T, jejich tenzorový produkt

S ⊗_R T

je opět komutativní R-algebra. V některých případech může tenzorový produkt sloužit k nalezení a T-algebra, která se týká Z tak jako S se týká R. Například,

R[X] ⊗_R T = T[X].

Konečná generace

An R-algebra S je nazýván konečně generováno (jako algebra) pokud existuje konečně mnoho prvků s₁, ..., s_n takový, že jakýkoli prvek s je vyjádřitelný jako polynom v s_i. Ekvivalentně S je izomorfní s

R[T₁, ..., T_n] / Já.

Je to mnohem silnější podmínka S je konečně vygenerován jako R-modul, což znamená, že jakýkoli s lze vyjádřit jako a R-lineární kombinace nějaké konečné množiny s₁, ..., s_n.

Místní prsteny

Prsten se volá místní pokud má pouze jediný maximální ideál, označený m. Pro jakýkoli (ne nutně místní) prsten R, lokalizace

R_str

v nejlepším ideálu str je místní. Tato lokalizace odráží geometrické vlastnosti Spec R "kolem strNěkolik pojmů a problémů v komutativní algebře lze omezit na případ, kdy R je místní, což z místních prstenů dělá zvlášť hluboce studovanou třídu prstenů. The zbytkové pole z R je definován jako

k = R / m.

Žádný R-modul M výnosy a k-vektorový prostor daný M / mM. Nakayamovo lemma ukazuje, že tato pasáž zachovává důležité informace: konečně vygenerovaný modul M je nula právě tehdy M / mM je nula.

Pravidelné místní kroužky

The křivka kubické roviny (červená) definovaná rovnicí y² = X²(X + 1) je jednotné číslo na počátku, tj. prsten k[X, y] / y² − X²(X + 1), není pravidelný prsten. Tečný kužel (modrý) je spojení dvou linií, které také odráží singularitu.

The k-vektorový prostor m/m² je algebraická inkarnace kotangensový prostor. Neformálně prvky m lze považovat za funkce, které v daném okamžiku zmizí str, zatímco m² obsahuje ty, které zmizí v pořadí nejméně 2. Pro jakýkoli netherianský místní kruh Rnerovnost

ztlumit_k m/m² ≥ dim R

platí, odrážející myšlenku, že kotangens (nebo ekvivalentně tečna) prostor má alespoň rozměr prostoru Spec R. Pokud v tomto odhadu platí rovnost, R se nazývá a pravidelný místní kroužek. Noetherian local ring is regular if and only if the ring (which is the ring of functions on the tečný kužel )

${ displaystyle bigoplus _ {n} m ^ {n} / m ^ {n + 1}}$

je izomorfní s polynomiálním prstencem k. Obecně řečeno, pravidelné lokální prstence jsou poněkud podobné polynomiálním prstencům.^[1] Pravidelné místní kruhy jsou UFD.^[2]

Diskrétní oceňovací kruhy jsou vybaveny funkcí, která libovolnému prvku přiřadí celé číslo r. Toto číslo, které se říká ocenění r lze neformálně považovat za nulové nebo pólové pořadí r. Diskrétní oceňovací prstence jsou přesně jednorozměrné pravidelné lokální prstence. Například prsten zárodků holomorfních funkcí na a Riemannův povrch je diskrétní oceňovací kruh.

Kompletní křižovatky

The zkroucený kubický (zelená) je množina-teoretická úplná křižovatka, ale ne úplná křižovatka.

Podle Krullova hlavní ideální věta, základní výsledek v dimenzionální teorie prstenů, rozměr

R = k[T₁, ..., T_r] / (F₁, ..., F_n)

je alespoň r − n. Prsten R se nazývá a kompletní průsečík pokud to lze prezentovat způsobem, který dosahuje této minimální hranice. Tato představa je také většinou studována pro místní prsteny. Jakýkoli pravidelný místní kruh je úplný průnikový kruh, ale ne naopak.

Prsten R je set-teoretický úplná křižovatka, pokud je spojen se sníženým kroužkem R, tj. ten, který se získá vydělením všech nilpotentních prvků, je úplným průsečíkem. Od roku 2017 není obecně známo, zda jsou křivky v trojrozměrném prostoru množinově-teoretickými úplnými průsečíky.^[3]

Cohen – Macaulayovy prsteny

The hloubka místního kruhu R je počet prvků v nějaké (nebo, jak lze ukázat, libovolném) maximálním pravidelném sledu, tj. sledu A₁, ..., A_n ∈ m takové, že všechny A_i jsou nenulové dělitele v

R / (A₁, ..., A_i−1).

Pro jakýkoli místní noetherianský prsten nerovnost

hloubka (R) ≤ dim (R)

drží. Místní kruh, ve kterém dochází k rovnosti, se nazývá a Cohen – Macaulayův prsten. Místní úplné křižovatkové kruhy a tím spíše pravidelné místní kruhy jsou Cohen – Macaulay, ale ne naopak. Cohen – Macaulay kombinují žádoucí vlastnosti pravidelných prstenů (například vlastnost bytí univerzálně řetězové kroužky, což znamená, že (ko) dimenze prvočísel se chová dobře), ale při přijímání kvocientů jsou také robustnější než běžné místní kroužky.^[4]

Konstrukce komutativních prstenů

Existuje několik způsobů, jak postavit nové prsteny z daných. Cílem těchto konstrukcí je často zlepšit určité vlastnosti prstenu tak, aby byl lépe srozumitelný. Například integrální doména, která je integrálně uzavřeno v jeho pole zlomků je nazýván normální. Toto je žádoucí vlastnost, například nutně je nutný jakýkoli normální jednorozměrný kruh pravidelný. Vykreslování^{[je zapotřebí objasnění ]} normální prsten je znám jako normalizace.

Dokončení

Li Já je ideální v komutativním kruhu R, pravomoci Já formulář topologická sousedství z 0 které umožňují R být viděn jako topologický prsten. Tato topologie se nazývá Já-adická topologie. R pak lze s ohledem na tuto topologii dokončit. Formálně Já-adické dokončení je inverzní limit prstenů R/Jáⁿ. Například pokud k je pole, k[[X]], formální mocenské řady zazvonit v jedné proměnné k, je Já-adické dokončení k[X] kde Já je hlavní ideál generovaný X. Tento prsten slouží jako algebraický analog disku. Analogicky prsten str-adická celá čísla je dokončení Z s ohledem na hlavní ideál (str). Je volán jakýkoli kruh, který je izomorfní k vlastnímu dokončení kompletní.

Kompletní místní prsteny uspokojí Henselův lemma, což zhruba umožňuje rozšířit řešení (různých problémů) na zbytkové pole k na R.

Homologické představy

Několik hlubších aspektů komutativních prstenců bylo studováno pomocí metod z homologická algebra. Hochster (2007) uvádí některé otevřené otázky v této oblasti aktivního výzkumu.

Projektivní moduly a funktory Ext

Projektivní moduly lze definovat jako přímé sčítání volných modulů. Li R je místní, jakýkoli konečně generovaný projektivní modul je ve skutečnosti zdarma, což dává obsah analogii mezi projektivními moduly a vektorové svazky.^[5] The Quillen – Suslinova věta tvrdí, že každý konečně vygenerovaný projektivní modul skončí k[T₁, ..., T_n] (k pole) je zdarma, ale obecně se tyto dva pojmy liší. Místní noetherianský prsten je pravidelný, právě když je jeho globální dimenze je konečný, řekněme n, což znamená, že jakýkoli konečně generovaný R-module má a rozlišení projektivními moduly o délce maximálně n.

Důkaz tohoto a dalších souvisejících tvrzení závisí na použití homologických metod, jako jeExt funktor. Tímto funktorem je odvozený funktor funktoru

Hom_R(M, −).

Druhý funktor je přesný, pokud M je projektivní, ale ne jinak: pro surjektivní mapu E → F z R-moduly, mapa M → F nemusí se rozšiřovat na mapu M → E. Vyšší funktory Ext měří nepřesnost Hom funktoru. Důležitost této standardní konstrukce v kmenech homologické algebry je patrná ze skutečnosti, že existuje místní noetherianský kruh R se zbytkovým polem k je pravidelný právě tehdy

Extⁿ(k, k)

zmizí pro všechny dostatečně velké n. Navíc rozměry těchto Ext-skupin, známé jako Betti čísla, růst polynomiálně v n kdyby a jen kdyby R je místní úplná křižovatka prsten.^[6] Klíčovým argumentem v těchto ohledech je Koszul komplex, která poskytuje explicitní bezplatné rozlišení pole reziduí k místního kruhu R z hlediska pravidelné posloupnosti.

Plochost

The tenzorový produkt je další nepřesný funktor relevantní v kontextu komutativních kruhů: pro generála R-modul M, funktor

M ⊗_R −

je jen správná přesná. Pokud je to přesné, M je nazýván byt. Li R je lokální, jakýkoli konečně prezentovaný plochý modul je bez konečné pozice, tedy projektivní. Přestože je plochost definována jako homologická algebra, má hluboké geometrické důsledky. Například pokud R-algebra S je plochý, rozměry vláken

S / pS = S ⊗_R R / str

(pro hlavní ideály str v R) mají „očekávanou“ dimenzi, konkrétně dim S - dim R + ztlumit (R / str).

Vlastnosti

Podle Wedderburnova věta, každý konečný dělící prsten je komutativní, a proto a konečné pole. Další podmínka zajišťující komutativitu prstenu kvůli Jacobson, je následující: pro každý prvek r z R existuje celé číslo n > 1 takhle rⁿ = r.^[7] Li, r² = r pro každého rse volá prsten Booleovský prsten. Jsou známy také obecnější podmínky, které zaručují komutativitu kruhu.^[8]

Zobecnění

Stupňově komutativní kruhy

A pár kalhot je cobordism mezi kruhem a dvěma disjunktními kruhy. Třídy kobordismu s kartézský součin jako násobení a disjunktní unie jako součet tvoří cobordism ring.

A odstupňovaný prsten R = ⨁_i∊Z R_i je nazýván odstupňované-komutativní -li

ab = (−1)^{deg A ⋅ deg b.}

Pokud R_i jsou spojeny diferenciály ∂ tak, že abstraktní forma produktové pravidlo drží, tj.

∂(ab) = ∂(A)b + (−1)^{deg A}∂(b),

R se nazývá a komutativní diferenciálně odstupňovaná algebra (cdga). Příkladem je komplex diferenciální formy na potrubí, s násobením daným vnější produkt, je cdga. Cohomologie cdga je odstupňovaný komutativní kruh, někdy označovaný jako cohomologický prsten. Tímto způsobem vzniká řada příkladů odstupňovaných prstenů. Například Lazardův prsten je kruh tříd cobordismů složitých variet.

Klasifikovaný komutativní prsten s ohledem na klasifikaci podle Z/ 2 (na rozdíl od Z) se nazývá a superalgebra.

Příbuzný pojem je téměř komutativní prsten, což znamená, že R je filtrovaný takovým způsobem, že přidružený odstupňovaný prsten

GR R := ⨁ F_iR / ⨁ F_i−1R

je komutativní. Příkladem je Weylova algebra a obecnější prsteny z diferenciální operátory.

Jednoduché komutativní kruhy

A zjednodušený komutativní kruh je zjednodušený objekt v kategorii komutativních prstenů. Jsou stavebními kameny pro (spojovací) odvozená algebraická geometrie. Úzce příbuzný, ale obecnější pojem je pojem E_∞-prsten.

Viz také

• Téměř zvonit, určité zobecnění komutativního kruhu.
• Dělitelnost (prstenová teorie): nilpotentní prvek, příklad: duální čísla
• Ideály a moduly: Radikální ideálu, Morita ekvivalence
• Kruhové homomorfismy: integrální prvek: Cayley-Hamiltonova věta, Integrovaná uzavřená doména, Krullův prsten, Krull – Akizukiho věta
• Připraví: Lemma primární vyhýbání se, Jacobson radikální, Nilradikál prstenu, Spektrum: Kompaktní prostor, Připojený prsten, Diferenciální počet přes komutativní algebry, Banach-Stoneova věta
• Místní kroužky: Gorensteinův prsten: Dualita (matematika), Eben Matlis; Dualizační modul, Popescuova věta, Artinova aproximační věta.
• "Aplikace" (komutativní kruhy vznikající v matematice): Holomorfní funkce, Algebraická K-teorie, Topologická K-teorie, Rozdělené mocenské struktury, Wittovy vektory, Hecke algebra, Fontaineova perioda zvoní, Clusterová algebra, Konvoluční algebra (komutativní skupiny), viz také Fréchetská algebra

Poznámky

Citace

Reference

• Atiyah, Michael; Macdonald, I. G. (1969), Úvod do komutativní algebry, Addison-Wesley Publishing Co.
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Komutativní Noetherian a Krull prsteny, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN  978-0-13-155615-7
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimenze, multiplicita a homologické metody, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications., Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN  978-0-13-155623-2
• Christensen, Lars Winther; Striuli, Janet; Veliche, Oana (2010), „Růst v minimálním injekčním rozlišení místního kruhu“, Journal of the London Mathematical Society, Druhá série, 81 (1): 24–44, arXiv:0812.4672, doi:10.1112 / jlms / jdp058
• Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra. S pohledem na algebraickou geometrii., Postgraduální texty z matematiky, 150, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94268-1, PAN  1322960
• Hochster, Melvin (2007), „Homologické domněnky, staré i nové“ (PDF), Illinois J. Math., 51 (1): 151–169, doi:10.1215 / ijm / 1258735330, archivovány z originál (PDF) dne 2019-10-29, vyvoláno 2017-08-01
• Jacobson, Nathan (1945), "Strukturní teorie algebraických algeber omezeného stupně", Annals of Mathematics, 46 (4): 695–707, doi:10.2307/1969205, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969205
• Kaplansky, Irving (1974), Komutativní prsteny (Přepracované vydání), University of Chicago Press, PAN  0345945
• Lyubeznik, Gennady (1989), „Přehled problémů a výsledků počtu definujících rovnic“, Zastoupení, usnesení a prolínání čísel, str. 375–390, Zbl  0753.14001
• Matsumura, Hideyuki (1989), Komutativní teorie prstenů, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2. vydání), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-36764-6
• Nagata, Masayoshi (1975) [1962], Místní prsteny„Mezivědní trakty v čisté a aplikované matematice, 13, Interscience Publishers, str. Xiii + 234, ISBN  978-0-88275-228-0, PAN  0155856
• Pinter-Lucke, James (2007), „Podmínky komutativity pro prsteny: 1950–2005“, Expositiones Mathematicae, 25 (2): 165–174, doi:10.1016 / j.exmath.2006.07.001, ISSN  0723-0869
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958–60), Komutativní algebra I, II, University series in Higher Mathematics, Princeton, NJ: D. van Nostrand, Inc. (Přetištěno 1975-76 Springerem jako svazky 28-29 postgraduálních textů z matematiky.)