Komutátor - Commutator

v matematika, komutátor udává, do jaké míry je určitý binární operace není komutativní. Existují různé definice používané v teorie skupin a teorie prstenů.

Skupinová teorie

The komutátor ze dvou prvků, $G$ a $h$ , a skupina $G$ , je prvek

[G, h] = G -1 h -1 gh

a rovná se identitě skupiny právě tehdy $G$ a $h$ dojíždět (to znamená, že a pouze pokud $gh = hg$ ). Sada všech komutátorů skupiny není obecně uzavřena pod operací skupiny, ale podskupina z G generováno všemi komutátory je uzavřen a nazývá se odvozená skupina nebo podskupina komutátoru z G. K definování se používají komutátory nilpotentní a řešitelný skupiny a největší abelian kvocientová skupina.

Výše uvedená definice komutátoru se používá v tomto článku, ale mnoho dalších teoretiků skupiny definuje komutátor jako

[G, h] = ghg -1 h -1

.^[1]^[2]

Totožnosti (teorie skupin)

Identity komutátoru jsou důležitým nástrojem teorie skupin.^[3] Výraz $A X$ označuje sdružené z $A$ podle $X$ , definováno jako $X -1 sekera$ .

${displaystyle x ^ {y} = x [x, y].}$
${displaystyle [y, x] = [x, y] ^ {- 1}.}$
${displaystyle [x, zy] = [x, y] cdot [x, z] ^ {y}}$ a ${displaystyle [xz, y] = [x, y] ^ {z} cdot [z, y].}$
${displaystyle left [x, y ^ {- 1} ight] = [y, x] ^ {y ^ {- 1}}}$ a ${displaystyle left [x ^ {- 1}, yight] = [y, x] ^ {x ^ {- 1}}.}$
${displaystyle left [left [x, y ^ {- 1} ight], zight] ^ {y} cdot left [left [y, z ^ {- 1} ight], xight] ^ {z} cdot left [left [ z, x ^ {- 1} ight], yight] ^ {x} = 1}$ a ${displaystyle left [left [x, yight], z ^ {x} ight] cdot left [[z, x], y ^ {z} ight] cdot left [[y, z], x ^ {y} ight] = 1.}$

Identita (5) je také známá jako Hall – Wittova identita, po Philip Hall a Ernst Witt. Je to skupinový teoretický analog Jacobi identita pro prsten-teoretický komutátor (viz další část).

Pozn., Výše uvedená definice konjugátu $A$ podle $X$ je používán některými teoretiky skupiny.^[4] Mnoho dalších teoretiků skupiny definuje konjugát $A$ podle $X$ tak jako $xax -1$ .^[5] To je často psáno ${displaystyle {} ^ {x} a}$ . Podobné identity platí pro tyto konvence.

Používá se mnoho identit, které jsou skutečné modulo určité podskupiny. Ty mohou být zvláště užitečné při studiu řešitelné skupiny a nilpotentní skupiny. Například v jakékoli skupině se druhé mocnosti chovají dobře:

{displaystyle (xy) ^ {2} = x ^ {2} y ^ {2} [y, x] [[y, x], y].}

Pokud odvozená podskupina je tedy ústřední

{displaystyle (xy) ^ {n} = x ^ {n} y ^ {n} [y, x] ^ {jiné {n} {2}}.}

Prstenová teorie

The komutátor dvou prvků A a b a prsten (včetně všech asociativní algebra ) je definován

{displaystyle [a, b] = ab-ba.}

Je nula právě tehdy A a b dojíždět. v lineární algebra, pokud dva endomorfismy prostoru jsou reprezentovány dojíždějícími maticemi z hlediska jednoho základu, pak jsou tak zastoupeny z hlediska každého základu. Použitím komutátoru jako a Lež držák, každou asociativní algebru lze změnit na a Lež algebra.

The antikomutátor dvou prvků $A$ a $b$ kruhu nebo asociativní algebry je definována

{displaystyle {a, b} = ab + ba.}

Někdy ${displaystyle [a, b] _ {+}}$ se používá k označení anticommutator, zatímco ${displaystyle [a, b] _ {-}}$ se pak používá pro komutátor.^[6] Anticommutator se používá méně často, ale lze jej použít k definování Cliffordské algebry a Jordan algebry, a v odvození Diracova rovnice ve fyzice částic.

Komutátor dvou operátorů působících na a Hilbertův prostor je ústřední pojem v kvantová mechanika, protože to kvantifikuje, jak dobře ti dva pozorovatelné popsané těmito operátory lze měřit současně. The princip nejistoty je nakonec věta o takových komutátorech, na základě Robertson – Schrödingerův vztah.^[7] v fázový prostor, ekvivalentní komutátory funkce hvězdné produkty jsou nazývány Věrné závorky, a jsou zcela izomorfní se zmíněnými strukturami komutátoru Hilbertova prostoru.

Totožnosti (prstenová teorie)

Komutátor má následující vlastnosti:

Identity lži a algebry

${displaystyle [A + B, C] = [A, C] + [B, C]}$
${displaystyle [A, A] = 0}$
${displaystyle [A, B] = - [B, A]}$
${displaystyle [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0}$

Vztah (3) se nazývá antikomutativita, zatímco (4) je Jacobi identita.

Další identity

${displaystyle [A, BC] = [A, B] C + B [A, C]}$
${displaystyle [A, BCD] = [A, B] CD + B [A, C] D + BC [A, D]}$
${displaystyle [A, BCDE] = [A, B] CDE + B [A, C] DE + BC [A, D] E + BCD [A, E]}$
${displaystyle [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B}$
${displaystyle [ABC, D] = AB [C, D] + A [B, D] C + [A, D] BC}$
${displaystyle [ABCD, E] = ABC [D, E] + AB [C, E] D + A [B, E] CD + [A, E] BCD}$
${displaystyle [A, B + C] = [A, B] + [A, C]}$
${displaystyle [A + B, C + D] = [A, C] + [A, D] + [B, C] + [B, D]}$
${displaystyle [AB, CD] = A [B, C] D + [A, C] BD + CA [B, D] + C [A, D] B}$
${displaystyle [[A, C], [B, D]] = [[[A, B], C], D] + [[[B, C], D], A] + [[[C, D ], A], B] + [[[D, A], B], C]}$

Li $A$ je pevný prvek prstenu R, identitu (1) lze interpretovat jako a Leibnizovo pravidlo pro mapu ${displaystyle operatorname {ad} _ {A}: Rightarrow R}$ dána ${displaystyle operatorname {ad} _ {A} (B) = [A, B]}$ . Jinými slovy, mapová reklama_A definuje a derivace na prstenu R. Identity (2), (3) představují Leibnizova pravidla pro více než dva faktory a platí pro jakoukoli derivaci. Totožnosti (4) - (6) lze také interpretovat jako Leibnizova pravidla. Totožnosti (7), (8) vyjádřené Z-bilinearita.

Některé z výše uvedených identit lze rozšířit na anticommutator pomocí výše uvedené ± indexové notace.^[8]Například:

${displaystyle [AB, C] _ {pm} = A [B, C] _ {-} + [A, C] _ {pm} B}$
${displaystyle [AB, CD] _ {pm} = A [B, C] _ {-} D + AC [B, D] _ {-} + [A, C] _ {-} DB + C [A, D] _ {pm} B}$
${displaystyle left [A, [B, C] _ {pm} ight] + left [B, [C, A] _ {pm} ight] + left [C, [A, B] _ {pm} ight] = 0}$
${displaystyle [A, BC] _ {pm} = [A, B] _ {-} C + B [A, C] _ {pm}}$

Exponenciální identity

Zvažte prsten nebo algebru, ve které exponenciální ${displaystyle e ^ {A} = exp (A) = 1 + A + {frac {1} {2!}} A ^ {2} + cdots}$ lze smysluplně definovat, například a Banachova algebra, prsten z formální mocenské řady, nebo univerzální obalová algebra a Lež algebra.

V takovém kruhu Hadamardovo lemma aplikováno na vnořené komutátory dává: ${displaystyle e ^ {A} Be ^ {- A} = B + [A, B] + {frac {1} {2!}} [A, [A, B]] + {frac {1} {3!} } [A, [A, [A, B]]] + cdots = e ^ {operatorname {ad} _ {A}} (B).}$ (Poslední výraz viz Adjunktní derivace níže.) Tento vzorec je základem Rozšíření Baker – Campbell – Hausdorff protokolu (exp (A) exp (B)).

Podobná expanze vyjadřuje skupinový komutátor výrazů ${displaystyle e ^ {A}}$ (analogicky k prvkům Lieovy skupiny), pokud jde o řadu vnořených komutátorů (Lie závorky),

{displaystyle e ^ {A} e ^ {B} e ^ {- A} e ^ {- B}}

${displaystyle = exp! left ([A, B] + {frac {1} {2!}} [A {+} B, [A, B]] + {frac {1} {3!}} vlevo ({ frac {1} {2}} [A, [B, [B, A]]] + [A {+} B, [A {+} B, [A, B]]] no) + cdots no). }$

Odstupňované prsteny a algebry

Při jednání s odstupňované algebry, komutátor je obvykle nahrazen odstupňovaný komutátor, definovaný v homogenních složkách jako

{displaystyle [omega, eta] _ {gr}: = omega eta - (- 1) ^ {deg omega deg eta} eta omega.}

Adjunktní derivace

Zvláště pokud se jedná o více komutátorů v kruhu R, se ukazuje být užitečný další zápis. Pro prvek ${displaystyle xin R}$ , definujeme adjoint mapování ${displaystyle mathrm {ad} _ {x}: R o R}$ podle:

{displaystyle operatorname {ad} _ {x} (y) = [x, y] = xy-yx.}

Toto mapování je a derivace na prstenu R:

{displaystyle mathrm {ad} _ {x}! (yz) = mathrm {ad} _ {x}! (y), z, +, y, mathrm {ad} _ {x}! (z)}

.

Podle Jacobi identita, je to také derivace přes komutační operaci:

{displaystyle mathrm {ad} _ {x} [y, z] = [mathrm {ad} _ {x}! (y), z], +, [y, mathrm {ad} _ {x}! (z) ]}

.

Při skládání takových mapování dostaneme například ${displaystyle operatorname {ad} _ {x} operatorname {ad} _ {y} (z) = [x, [y, z],]}$ a

${displaystyle operatorname {ad} _ {x} ^ {2}! (z) = operatorname {ad} _ {x}! (operatorname {ad} _ {x}! (z)) = [x, [x, z ],].}$

Můžeme zvážit ${displaystyle mathrm {ad}}$ samo o sobě jako mapování, ${displaystyle mathrm {ad}: R o mathrm {End} (R)}$ , kde ${displaystyle mathrm {End} (R)}$ je kruh mapování z R sama se skladbou jako operace násobení. Pak ${displaystyle mathrm {ad}}$ je Lež algebra homomorfismus, zachování komutátoru:

{displaystyle operatorname {ad} _ {[x, y]} = [operatorname {ad} _ {x}, operatorname {ad} _ {y}] ~.}

Naproti tomu je ne vždy prstenový homomorfismus: obvykle ${displaystyle operatorname {ad} _ {xy}, eq, operatorname {ad} _ {x} operatorname {ad} _ {y}}$ .

Obecné Leibnizovo pravidlo

The obecné Leibnizovo pravidlo, rozšiřující opakované deriváty produktu, lze psát abstraktně pomocí adjoint reprezentace:

{displaystyle x ^ {n} y = součet _ {k = 0} ^ {n} {jiný {n} {k}} operatorname {ad} _ {x} ^ {k}! (y), x ^ {nk }.}

Výměna X operátorem diferenciace ${displaystyle částečné}$ , a y operátorem násobení ${displaystyle m_ {f}: gmapsto fg}$ , dostaneme ${displaystyle operatorname {ad} (částečné) (m_ {f}) = m_ {částečné (f)}}$ a použití obou stran na funkci Gse identita stává obvyklým Leibnizovým pravidlem pro n^th derivát ${displaystyle částečné ^ {n}! (fg)}$ .

Viz také

Poznámky

^ Fraleigh (1976, str. 108)
^ Herstein (1975, str. 65)
^ McKay (2000, str. 4)
^ Herstein (1975, str. 83)
^ Fraleigh (1976, str. 128)
^ McMahon (2008)
^ Liboff (2003, s. 140–142)
^ Lavrov, P.M. (2014). „Jacobi -type identity in algebras and superalgebras“. Teoretická a matematická fyzika. 179 (2): 550–558. arXiv:1304.5050. Bibcode:2014TMP ... 179..550L. doi:10.1007 / s11232-014-0161-2. S2CID 119175276.

Reference

Fraleigh, John B. (1976), První kurz v abstraktní algebře (2. vyd.), Čtení: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Griffiths, David J. (2004), Úvod do kvantové mechaniky (2. vyd.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X
Herstein, I.N. (1975), Témata v algebře (2. vyd.), John Wiley & Sons
Liboff, Richard L. (2003), Úvodní kvantová mechanika (4. vydání), Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8714-5
McKay, Susan (2000), Konečné p-skupinyMatematické poznámky královny Marie, 18, University of London, ISBN 978-0-902480-17-9, PAN 1802994
McMahon, D. (2008), Teorie kvantového pole, USA: McGraw Hill, ISBN 978-0-07-154382-8

Další čtení

McKenzie, R.; Snow, J. (2005), „Congruence modulárních odrůd: teorie komutátorů“, Kudryavtsev, V. B .; Rosenberg, I. G. (eds.), Strukturální teorie automatů, poloskupin a univerzální algebry, Springer, str. 273–329

externí odkazy

"Komutátor", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

[1] Fraleigh (1976, str. 108)

[2] Herstein (1975, str. 65)

[3] McKay (2000, str. 4)

[4] Herstein (1975, str. 83)

[5] Fraleigh (1976, str. 128)

[6] McMahon (2008)

[7] Liboff (2003, s. 140–142)

[8] Lavrov, P.M. (2014). „Jacobi -type identity in algebras and superalgebras“. Teoretická a matematická fyzika. 179 (2): 550–558. arXiv:1304.5050. Bibcode:2014TMP ... 179..550L. doi:10.1007 / s11232-014-0161-2. S2CID 119175276.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]