Průnik (teorie množin) - Intersection (set theory) - Wikipedia

Průnik dvou množin ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$, reprezentovaný kruhy. ${ displaystyle A cap B}$ je v červené barvě.

v matematika, průsečík ze dvou sady A a B, označeno A ∩ B,^[1][2] je sada obsahující všechny prvky A které také patří B (nebo ekvivalentně všechny prvky B které také patří A).^[3]

Zápis a terminologie

Křižovatka je psána pomocí znaménka „∩“ mezi výrazy; to je v infixová notace. Například,

${ displaystyle {1,2,3 } čepice {{2,3,4 } = {2,3 }}$

${ displaystyle {1,2,3 } čepice {{4,5,6 } = prázdná sada}$

${ displaystyle mathbb {Z} cap mathbb {N} = mathbb {N}}$

${ displaystyle {x in mathbb {R}: x ^ {2} = 1 } cap mathbb {N} = {1 }}$

Průnik více než dvou množin (zobecněný průnik) lze zapsat jako^[1]

${ displaystyle bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}}$

který je podobný Značka velkého sigma.

Vysvětlení symbolů použitých v tomto článku naleznete v části tabulka matematických symbolů.

Definice

Průnik tří sad:
${ displaystyle ~ A cap B cap C}$

Křižovatky řecký, latinský a ruština abeceda, která bere v úvahu pouze tvary písmen a ignoruje jejich výslovnost

Příklad průniku se sadami

Průnik dvou množin A a B, označeno A ∩ B,^[1][4] je množina všech objektů, které jsou členy obou množin A a B.V symbolech,

${ displaystyle A cap B = {x: x v A { textu {a}} x v B }.}$

To znamená X je prvek křižovatky A ∩ B, kdyby a jen kdyby X je prvkem A a prvek B.^[4]

Například:

• Průsečík množin {1, 2, 3} a {2, 3, 4} je {2, 3}.
• Číslo 9 je ne v průsečíku množiny prvočísla {2, 3, 5, 7, 11, ...} a sada lichá čísla {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, protože 9 není prvočíslo.

Křižovatka je asociativní úkon; to znamená pro všechny sady A, B, a C, jeden má A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. Křižovatka je také komutativní; pro všechny A a B, jeden má A ∩ B = B ∩ A. Má tedy smysl hovořit o průsečících více množin. Křižovatka A, B, C, a Dje například jednoznačně napsán A ∩ B ∩ C ∩ D.

Uvnitř vesmíru U, lze definovat doplněk A^C z A být souborem všech prvků U ne v A. Dále křižovatka A a B lze psát jako doplněk svaz jejich doplňků, které lze snadno odvodit z De Morganovy zákony:
A ∩ B = (A^C ∪ B^C)^C

Protínající se a disjunktní množiny

Říkáme to A protíná (splňuje) B u prvku x -li X patří A a B. Říkáme to A protíná (setkává se) B -li A protíná B na nějakém prvku. A protíná se B pokud je jejich průnik obydlený.

Říkáme to A a B jsou disjunktní -li A neprotíná se B. V jednoduchém jazyce nemají společné žádné prvky. A a B jsou disjunktní, pokud je jejich průnik prázdný, označeno ${ displaystyle A cap B = varnothing}$.

Například množiny {1, 2} a {3, 4} jsou disjunktní, zatímco množina sudých čísel protíná množinu násobky 3 na násobky 6.

Libovolné křižovatky

Nejobecnějším pojmem je průnik libovolného neprázdný sbírka sad M je neprázdný množina, jejíž prvky jsou samy o sobě množiny, pak X je prvkem průsečík z M kdyby a jen kdyby pro každého živel A z M, X je prvek AV symbolech:

${ displaystyle left (x in bigcap _ {A in M} A right) Leftrightarrow left ( forall A in M, x in A right).}$

Zápis pro tento poslední koncept se může značně lišit. Set teoretiků někdy napíše „"M", zatímco ostatní místo toho budou psát" ⋂_A∈M A„. Druhou notaci lze zobecnit na„ ⋂_i∈Já A_i", který odkazuje na průsečík sbírky {A_i : i ∈ Já}.Tady Já je neprázdná množina a A_i je sada pro každého i v Já.

V případě, že sada indexů Já je sada přirozená čísla, analogický zápis jako nekonečný produkt lze vidět:

${ displaystyle bigcap _ {i = 1} ^ { infty} A_ {i}.}$

Je-li formátování obtížné, lze to napsat také „A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ Last ... ". Tento poslední příklad, průnik spočítatelně mnoha množin, je ve skutečnosti velmi běžný; například viz článek o σ-algebry.

Průsečík nullary

Spojení argumentů v závorkách

Spojením žádného argumentu je tautologie (porovnej: prázdný produkt ); podle toho je průnikem žádné množiny vesmír.

Všimněte si, že v předchozí části jsme vyloučili případ, kdy M byl prázdná sada (∅). Důvod je následující: Průsečík kolekce M je definována jako množina (viz set-builder notace )

${ displaystyle bigcap _ {A v M} A = {x: pro všechny A v M, x v A }.}$

Li M je prázdný, neexistují žádné sady A v M, takže otázka zní „který Xsplňuje uvedenou podmínku? “Zdá se, že odpověď je každé možné x. Když M je prázdný, výše uvedená podmínka je příkladem a prázdná pravda. Průsečík prázdné rodiny by tedy měl být univerzální sada (dále jen prvek identity pro provoz křižovatky) ^[5]

Bohužel podle standardu (ZFC ) teorie množin, univerzální množina neexistuje. Opravu tohoto problému lze najít, pokud si všimneme, že průsečík nad množinou množin je vždy podmnožinou sjednocení nad touto množinou množin. To lze symbolicky zapsat jako

${ displaystyle bigcap _ {A v M} A subseteq bigcup _ {A v M} A.}$

Proto můžeme definici mírně upravit na

${ displaystyle bigcap _ {A in M} A = left {x in bigcup _ {A in M} A: forall A in M, x in A right }.}$

Obecně nevzniká problém, pokud M je prázdný. Průsečík je prázdná množina, protože sjednocení nad prázdnou množinou je prázdná množina. Ve skutečnosti se jedná o operaci, kterou bychom definovali na prvním místě, kdybychom definovali množinu v ZFC, jako kromě operací definovaných axiomy ( napájecí sada například z množiny), musí být každá množina definována jako podmnožina nějaké jiné množiny nebo výměna, nahrazení.

Viz také

• Algebra množin
• Mohutnost
• Doplněk
• Průnikový graf
• Iterovaná binární operace
• Seznam nastavených identit a vztahů
• Logická spojka
• MinHash
• Naivní teorie množin
• Symetrický rozdíl
• svaz

Reference

Další čtení

• Devlin, K. J. (1993). Radost sad: Základy současné teorie množin (Druhé vydání.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN  3-540-94094-4.
• Munkres, James R. (2000). "Teorie množin a logika". Topologie (Druhé vydání.). Horní sedlo: Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.
• Rosen, Kenneth (2007). "Základní struktury: množiny, funkce, sekvence a součty". Diskrétní matematika a její aplikace (Šesté vydání). Boston: McGraw-Hill. ISBN  978-0-07-322972-0.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Průsečík". MathWorld.