Prvotní prvek - Prime element

v matematika, konkrétně v abstraktní algebra, a hlavní prvek a komutativní prsten je objekt splňující určité vlastnosti podobné prvočísla v celá čísla a do neredukovatelné polynomy. Je třeba rozlišovat hlavní prvky od neredukovatelné prvky, koncept, který je stejný v UFD ale ne totéž obecně.

Definice

Prvek $str$ komutativního kruhu $R$ se říká, že je primární pokud to není nulový prvek nebo a jednotka a kdykoli $str$ rozděluje $ab$ pro některé $A$ a $b$ v $R$ , pak $str$ rozděluje $A$ nebo $str$ rozděluje $b$ . Ekvivalentně prvek $str$ je prvočíslo tehdy a jen tehdy, když hlavní ideál $(str)$ generováno uživatelem $str$ je nenulová hlavní ideál.^[1] (Všimněte si, že v integrální doména, ideál $(0)$ je hlavní ideál, ale $0$ je výjimkou v definici „hlavního prvku“.)

Zájem o hlavní prvky pochází z Základní věta o aritmetice, který tvrdí, že každé nenulové celé číslo lze zapsat v podstatě pouze jedním způsobem jako 1 nebo −1 vynásobený součinem kladných prvočísel. To vedlo ke studiu jedinečné faktorizační domény, které zobecňují to, co bylo právě ilustrováno v celých číslech.

Být prvočíslem je relativní vzhledem ke kterému kruhu je prvek považován; například 2 je hlavním prvkem v $Z$ ale není v $Z [i]$ prsten Gaussova celá čísla, od té doby $2 = (1 + i)(1 - i)$ a 2 nerozděluje žádný faktor napravo.

Spojení s hlavními ideály

Ideál $Já$ v ringu $R$ (s jednotou) je primární pokud je faktorový prsten $R / Já$ je integrální doména.

Nenulový hlavní ideál je primární právě když je generován prvkem prvočísla.

Neredukovatelné prvky

Prvky Prime by neměly být zaměňovány neredukovatelné prvky. V integrální doména, každý prime je neredukovatelný^[2] ale konverzace není obecně platná. V jedinečných faktorizačních doménách však^[3] nebo obecněji v GCD domény, prvočísla a neredukovatelné jsou stejné.

Příklady

Níže jsou uvedeny příklady prvočísel v kroužcích:

Celá čísla $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm5$ , $\pm7$ , $\pm11$ , ... v kruh celých čísel $Z$
komplexní čísla $(1 + i)$ , $19$ , a $(2 + 3 i)$ v kruhu Gaussova celá čísla $Z [i]$
polynomy $X 2 - 2$ a $X 2 + 1$ v $Z [X]$ , kruh polynomů přes $Z$ .
2 v kvocientový kroužek $Z /6 Z$
$X 2 + (X 2 + X)$ je neredukovatelná, ale není v ringu primitivní $Q [X]/(X 2 + X)$

Reference

Poznámky

^ Hungerford 1980 Veta III.3.4 (i), jak je uvedeno v poznámce pod teorémem a důkazem, má výsledek úplnou obecnost.
^ Hungerford 1980 Věta III.3.4 (iii)
^ Hungerford 1980, Poznámka po definici III.3.5

Zdroje

Oddíl III.3 Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 73 (Dotisk z roku 1974, ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90518-1, PAN 0600654
Jacobson, Nathan (1989), Základní algebra. II (2. vyd.), New York: W. H. Freeman and Company, str. Xviii + 686, ISBN 0-7167-1933-9, PAN 1009787
Kaplansky, Irving (1970), Komutativní prsteny, Boston, Massachusetts: Allyn and Bacon Inc., str. X + 180, PAN 0254021

[1] Hungerford 1980 Veta III.3.4 (i), jak je uvedeno v poznámce pod teorémem a důkazem, má výsledek úplnou obecnost.

[2] Hungerford 1980 Věta III.3.4 (iii)

[3] Hungerford 1980, Poznámka po definici III.3.5

[1]

[2]

[3]