Složení algebra - Composition algebra - Wikipedia

v matematika, a složení algebra $A$ přes pole $K.$ je nemusí být nutně asociativní algebra přes $K.$ společně s a nedegenerovat kvadratická forma $N$ to uspokojuje

{ displaystyle N (xy) = N (x) N (y)}

pro všechny $X$ a $y$ v $A$ .

Kompoziční algebra zahrnuje involuce volal a časování: ${ displaystyle x mapsto x ^ {*}.}$ Kvadratická forma ${ displaystyle N (x) = xx ^ {*}}$ se nazývá norma algebry.

Kompoziční algebra (A, ∗, N) je buď a divize algebra nebo a split algebra, v závislosti na existenci nenulové proti v A takhle N(proti) = 0, nazývá se a nulový vektor.^[1] Když X je ne nulový vektor, multiplikativní inverzní z X je ${ displaystyle { frac {x ^ {*}} {N (x)}} .}$ Když existuje nenulový nulový vektor, N je izotropní kvadratická forma a „algebra se rozdělí“.

Věta o struktuře

Každý unital kompoziční algebra nad polem $K.$ lze získat opakovanou aplikací Cayley – Dicksonova konstrukce začínající od $K.$ (pokud charakteristický z $K.$ se liší od $2$ ) nebo 2-dimenzionální kompoziční subalgebra (pokud $char (K.) = 2$ ). Možné rozměry kompoziční algebry jsou $1$ , $2$ , $4$ , a $8$ .^[2]^[3]^[4]

Jednorozměrné kompoziční algebry existují pouze tehdy, když $char (K.) \neq 2$ .
Kompoziční algebry dimenze 1 a 2 jsou komutativní a asociativní.
Složení algebry dimenze 2 jsou buď kvadratická rozšíření pole z $K.$ nebo izomorfní $K. \oplus K.$ .
Kompoziční algebry dimenze 4 se nazývají čtveřice algeber. Jsou asociativní, ale nejsou komutativní.
Kompoziční algebry dimenze 8 se nazývají octonion algebry. Nejsou ani asociativní, ani komutativní.

Pro konzistentní terminologii byly algebry dimenze 1 nazývány unariona dimenze 2 binarion.^[5]

Instance a použití

Když pole $K.$ se považuje za komplexní čísla $C$ a kvadratická forma $z 2$ , pak čtyři kompoziční algebry $C$ jsou $C sám$ , dvojkomplexní čísla, biquaternions (izomorfní vůči 2×2 komplex maticový prsten $M (2, C)$ ) a bioktoniony $C \otimes Ó$ , které se také nazývají komplexní oktoniony.

Maticový prsten $M (2, C)$ je již dlouho předmětem zájmu, nejprve jako biquaternions podleHamilton (1853), později ve formě izomorfní matice, a zejména jako Pauli algebra.

The funkce kvadratury $N (X) = X 2$ na reálné číslo pole tvoří prvotní algebru kompozice. Když pole $K.$ se považuje za reálná čísla $R$ , pak existuje jen šest dalších skutečných algeber složení.^[3]^:166 Ve dvou, čtyřech a osmi rozměrech jsou oba a divize algebra a „split algebra“:

binarions: komplexní čísla s kvadratickým tvarem

X 2 + y 2

a rozdělená komplexní čísla s kvadratickou formou

X 2 - y 2

,

čtveřice a rozdělené čtveřice,

octonions a split-octonions.

Každá kompoziční algebra má přidruženou bilineární forma B (x, y) konstruovány s normou N a a polarizační identita:

{ displaystyle B (x, y) = [N (x + y) -N (x) -N (y)] / 2.}

^[6]

Dějiny

Složení součtů čtverců si všimlo několik raných autorů. Diophantus byl si vědom identity zahrnující součet dvou čtverců, nyní nazývaných Brahmagupta – Fibonacciho identita, který je také vyjádřen jako vlastnost euklidovských norem komplexních čísel při vynásobení. Leonhard Euler diskutovali o čtyřhranná identita v roce 1748, a to vedlo W. R. Hamilton zkonstruovat svou čtyřrozměrnou algebru čtveřice.^[5]^:62 V roce 1848 tessarines byly popsány jako první světlo na dvojkomplexní čísla.

Asi v roce 1818 vystavil dánský vědec Ferdinand Degen Degenova identita s osmi čtverečky, který byl později spojen s normami prvků octonion algebra:

Historicky první neasociativní algebra, Cayleyova čísla ... vznikl v souvislosti s numericko-teoretickým problémem kvadratických forem umožňujících kompozici ... tuto číselně-teoretickou otázku lze transformovat do otázky týkající se určitých algebraických systémů, kompozičních algeber ...^[5]^:61

V roce 1919 Leonard Dickson pokročila ve studiu Hurwitzův problém s průzkumem úsilí k tomuto datu a ukázáním metody zdvojnásobení čtveřic k získání Cayleyova čísla. Představil nový imaginární jednotka $E$ a pro čtveřice $q$ a $Q$ píše číslo Cayley $q + Q E$ . Označujeme čtveřici konjugovanou podle $q'$ , produkt dvou Cayleyových čísel je^[7]

{ displaystyle (q + Qe) (r + Re) = (qr-R'Q) + (Rq + Qr ') e.}

Konjugát Cayleyho čísla je $q ' - Q E$ a kvadratická forma je $qq' + QQ'$ , získané vynásobením čísla jeho konjugátem. Metoda zdvojnásobení se začala nazývat Cayley – Dicksonova konstrukce.

V roce 1923 případ skutečných algeber s pozitivní určité formy byl ohraničen Hurwitzova věta (algebry o složení).

V roce 1931 Max Zorn zavedl gama (γ) do pravidla násobení v Dicksonově konstrukci, která se má generovat split-octonions.^[8] Adrian Albert také použil gama v roce 1942, když ukázal, že Dicksonovo zdvojnásobení lze použít na všechny pole s funkce kvadratury konstruovat binarionové, kvaternionové a oktonionové algebry s jejich kvadratickými formami.^[9] Nathan Jacobson popsal automorfismy složení algeber v roce 1958.^[2]

Klasické složení algebry skončilo $R$ a $C$ jsou unital algebry. Složení algebry bez A multiplikativní identita byly nalezeny H.P. Petersson (Peterssonovy algebry ) a Susumu Okubo (Okubo algebry ) a další.^[10]^:463–81

Viz také

Reference

^ Springer, T. A.; F. D. Veldkamp (2000). Octonions, Jordan Algebras a výjimečné skupiny. Springer-Verlag. p. 18. ISBN 3-540-66337-1.
^ ^A ^b Jacobson, Nathan (1958). "Složení algebry a jejich automorfismy". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 7: 55–80. doi:10.1007 / bf02854388. Zbl 0083.02702.
^ ^A ^b Guy Roos (2008) „Výjimečné symetrické domény“, § 1: Cayley algebras, v Symetrie v komplexní analýze Bruce Gilligan & Guy Roos, svazek 468 z Současná matematika, Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-4459-5
^ Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Úvod do neasociativních algeber. Dover Publications. str.72–75. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601.
^ ^A ^b ^C Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 PAN2014924
^ Arthur A. Sagle a Ralph E. Walde (1973) Úvod do Lieových skupin a Lieových algeber, strany 194-200, Akademický tisk
^ Dickson, L. E. (1919), „O čtveřicích a jejich zevšeobecňování a historii věty o osmi čtvercích“, Annals of Mathematics, Druhá série, Annals of Mathematics, 20 (3): 155–171, doi:10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865
^ Max Zorn (1931) „Alternativekörper und quadratische Systeme“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9(3/4): 395–402
^ Albert, Adrian (1942). "Kvadratické formy umožňující složení". Annals of Mathematics. 43: 161–177. doi:10.2307/1968887. Zbl 0060.04003.
^ Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost „Jean-Pierre Tignol (1998)„ Složení a soudnost “, kapitola 8 v Kniha účastí451–511, Colloquium Publications v. 44, Americká matematická společnost ISBN 0-8218-0904-0

Další čtení

Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994). Analýza na symetrických kuželech. Oxfordské matematické monografie. Clarendon Press, Oxford University Press, New York. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. PAN 1446489.
Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.
Harvey, F. Reese (1990). Spinory a kalibrace. Perspektivy v matematice. 9. San Diego: Akademický tisk. ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002.

[1] Springer, T. A.; F. D. Veldkamp (2000). Octonions, Jordan Algebras a výjimečné skupiny. Springer-Verlag. p. 18. ISBN 3-540-66337-1.

[NJ-2] A ^b Jacobson, Nathan (1958). "Složení algebry a jejich automorfismy". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 7: 55–80. doi:10.1007 / bf02854388. Zbl 0083.02702.

[GR08-3] A ^b Guy Roos (2008) „Výjimečné symetrické domény“, § 1: Cayley algebras, v Symetrie v komplexní analýze Bruce Gilligan & Guy Roos, svazek 468 z Současná matematika, Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-4459-5

[4] Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Úvod do neasociativních algeber. Dover Publications. str.72–75. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601.

[KMC-5] A ^b ^C Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 PAN2014924

[6] Arthur A. Sagle a Ralph E. Walde (1973) Úvod do Lieových skupin a Lieových algeber, strany 194-200, Akademický tisk

[7] Dickson, L. E. (1919), „O čtveřicích a jejich zevšeobecňování a historii věty o osmi čtvercích“, Annals of Mathematics, Druhá série, Annals of Mathematics, 20 (3): 155–171, doi:10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865

[8] Max Zorn (1931) „Alternativekörper und quadratische Systeme“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9(3/4): 395–402

[9] Albert, Adrian (1942). "Kvadratické formy umožňující složení". Annals of Mathematics. 43: 161–177. doi:10.2307/1968887. Zbl 0060.04003.

[KMRT-10] Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost „Jean-Pierre Tignol (1998)„ Složení a soudnost “, kapitola 8 v Kniha účastí451–511, Colloquium Publications v. 44, Americká matematická společnost ISBN 0-8218-0904-0

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]