Doplněná mříž - Complemented lattice

Hasseův diagram doplněné mřížky
Bod a přímka Fano letadlo jsou doplňky, když

V matematický disciplína teorie objednávek, a doplněná mříž je ohraničený mříž (s nejmenší prvek 0 a největší prvek 1), ve kterém každý prvek A má doplněk, tj. prvek b uspokojující A ∨ b = 1 a A ∧ b = 0. Doplňky nemusí být jedinečné.

A relativně doplněná mříž je mřížka taková, že každý interval [C, d], viděný jako ohraničená mřížka sama o sobě, je doplněná mřížka.

An ortokomplementace na doplněné mřížce je involuce který je reverzní objednávka a mapuje každý prvek na doplněk. Orthocomplemented mříž vyhovující slabé formě modulární zákon se nazývá ortomodulární mřížka.

v distribuční mřížky, doplňky jsou jedinečné. Každá doplněná distribuční mřížka má jedinečnou ortokomplementaci a ve skutečnosti je Booleova algebra.

Definice a základní vlastnosti

A doplněná mříž je ohraničená mříž (s nejmenší prvek 0 a největší prvek 1), ve kterém každý prvek A má doplněk, tj. prvek b takhle

A ∨ b = 1 aA ∧ b = 0.

Obecně může mít prvek více než jeden doplněk. Avšak v (ohraničeném) distribuční mříž každý prvek bude mít nanejvýš jeden doplněk.[1] Mřížka, ve které má každý prvek přesně jeden doplněk, se nazývá a jedinečně doplněná mříž[2]

Mřížka s vlastností, že každý interval (viděný jako sublattice) je doplněn, se nazývá a relativně doplněná mříž. Jinými slovy, pro relativně doplněnou mřížku je charakteristická vlastnost pro každý prvek A v intervalu [C, d] existuje prvek b takhle

A ∨ b = d aA ∧ b = C.

Takový prvek b se nazývá doplněk A vzhledem k intervalu.

Distribuční mříž je doplněna právě tehdy, je-li omezená a relativně doplněná.[3][4] Mřížka podprostorů vektorového prostoru poskytuje příklad doplněné mřížky, která není obecně distribuční.

Orthocomplementation

Viz také: De Morganova algebra

An ortokomplementace na ohraničené mřížce je funkce, která mapuje každý prvek A na „orthocomplement“ A⊥ takovým způsobem, že jsou splněny následující axiomy:[5]

Doplnit zákon
A⊥ ∨ A = 1 a A⊥ ∧ A = 0.
Zákon o involuci
A⊥⊥ = A.
Obrácení objednávky
-li A ≤ b pak b⊥ ≤ A⊥.

An orthocomplemented mříž nebo ortholattice je ohraničená mříž, která je vybavena ortokomplementací. Mřížka podprostorů vnitřní produktový prostor a ortogonální doplněk operace poskytuje příklad orthocomplemented mřížky, která není obecně distribuční.[6]

  • Některé doplňovaly svazy

  • V pětiúhelníkové mřížce N5, uzel na pravé straně má dva doplňky.

  • Diamantová mříž M3 nepřipouští žádnou ortokomplementaci.

  • Mříž M4 připouští 3 orthocomplementations.

  • Šestiúhelníková mříž připouští jedinečnou ortokomplementaci, ale není jedinečně doplňována.

Booleovy algebry jsou zvláštním případem orthocomplemented mřížek, které jsou zase zvláštním případem doplněných mřížek (s extra strukturou). Ortholattices jsou nejčastěji používány v kvantová logika, Kde Zavřeno podprostory a oddělitelný Hilbertův prostor představují kvantová tvrzení a chovají se jako orthocomplemented mřížka.

Orthocomplemented mřížky, jako booleovské algebry, uspokojit de Morganovy zákony:

  • (A ∨ b)⊥ = A⊥ ∧ b⊥
  • (A ∧ b)⊥ = A⊥ ∨ b⊥.

Ortomodulární mřížky

Mřížka se nazývá modulární pokud pro všechny prvky A, b a C důsledek

-li A ≤ C, pak A ∨ (b ∧ C) = (A ∨ b) ∧ C

drží. To je slabší než distribuce; např. výše zobrazená mříž M3 je modulární, ale nikoli distribuční. Přirozeným dalším oslabením tohoto stavu pro ortomplementované mřížky, které je nezbytné pro aplikace v kvantové logice, je vyžadovat to pouze ve zvláštním případě b = A⊥. An ortomodulární mřížka je proto definována jako orthocomplemented mřížka tak, že pro jakékoli dva prvky implikace

-li A ≤ C, pak A ∨ (A⊥ ∧ C) = C

drží.

Mříže této formy mají zásadní význam pro studium kvantová logika, protože jsou součástí axiomizace Hilbertův prostor formulace z kvantová mechanika. Garrett Birkhoff a John von Neumann poznamenal, že výrokový počet v kvantové logice je „formálně nerozeznatelný od počtu lineárních podprostorů [Hilbertova prostoru] s ohledem na množinu produktů, lineární součty a ortogonální doplňky“ odpovídající rolím a, nebo a ne v booleovských mřížkách. Tato poznámka podnítila zájem o uzavřené podprostory Hilbertova prostoru, které tvoří ortomodulární mříž.[7]

Viz také

Poznámky

  1. ^ Grätzer (1971), Lemma I.6.1, str. 47. Rutherford (1965), Theorem 9,3 s. 25.
  2. ^ Stern, Manfred (1999), Semimodular Lattices: Theory and Applications, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, s. 1. 29, ISBN  9780521461054.
  3. ^ Grätzer (1971), Lemma I.6.2, str. 48. Tento výsledek platí obecněji pro modulární mřížky, viz Cvičení 4, str. 50.
  4. ^ Birkhoff (1961), Dodatek IX.1, str. 134
  5. ^ Stern (1999), str. 11.
  6. ^ Unapologetický matematik: Ortogonální doplňky a mřížka podprostorů.
  7. ^ Ranganathan Padmanabhan; Sergiu Rudeanu (2008). Axiomy pro svazy a booleovské algebry. World Scientific. str. 128. ISBN  978-981-283-454-6.

Reference

  • Birkhoff, Garrett (1961). Teorie mřížky. Americká matematická společnost.
  • Grätzer, George (1971). Lattice Theory: First Concepts and Distributive Lattices. W. H. Freeman and Company. ISBN  978-0-7167-0442-3.
  • Grätzer, George (1978). Obecná teorie mřížky. Basilej, Švýcarsko: Birkhäuser. ISBN  978-0-12-295750-5.
  • Rutherford, Daniel Edwin (1965). Úvod do mřížové teorie. Oliver a Boyd.

externí odkazy

Algebraické struktury