Symbolická dynamika - Symbolic dynamics

v matematika, symbolická dynamika je praxe modelování topologické nebo hladké dynamický systém diskrétním prostorem skládajícím se z nekonečna sekvence abstraktních symbolů, z nichž každý odpovídá a Stát systému, s dynamikou (evolucí) danou operátor směny. Formálně, a Markovova přepážka slouží k poskytnutí a konečný kryt pro hladký systém; každá sada krytu je spojena s jedním symbolem a sekvence symbolů jsou výsledkem pohybu trajektorie systému z jedné sady krytu do druhé.

Dějiny

Myšlenka sahá až k Jacques Hadamard papír z roku 1898 na geodetika na povrchy negativní zakřivení.[1] Aplikoval to Marston Morse v roce 1921 ke stavbě neperiodického rekurentního geodetika. Související práce byla provedena uživatelem Emil Artin v roce 1924 (pro systém, který se nyní nazývá Artin kulečník ), Pekka Myrberg, Paul Koebe, Jakob Nielsen, G. A. Hedlund.

První formální léčbu vyvinuli Morse a Hedlund ve svých příspěvcích z roku 1938.[2] George Birkhoff, Norman Levinson a pár Mary Cartwrightová a J. E. Littlewood aplikovali podobné metody na kvalitativní analýzu neautonomního druhého řádu diferenciální rovnice.

Claude Shannon použité symbolické sekvence a posuny konečného typu ve svém příspěvku z roku 1948 Matematická teorie komunikace která porodila teorie informace.

V pozdních šedesátých letech byla metoda symbolické dynamiky vyvinuta pro hyperbolické torální automorfismy Roy Adler a Benjamin Weiss,[3] a do Anosovské difeomorfismy podle Jakov Sinaj který použil symbolický model ke konstrukci Gibbsova opatření.[4] Na začátku 70. let byla teorie rozšířena na Anosovské toky Marina Ratner a do Axiom A difeomorfismy a toky Rufus Bowen.

Velkolepé použití metod symbolické dynamiky je Sharkovského věta o periodické dráhy a průběžná mapa intervalu do sebe (1964).

Příklady

Pojmy jako heteroclinic orbits a homoklinické dráhy mají zvláště jednoduchou reprezentaci v symbolické dynamice.

Itinerář

Itinerář bodu vzhledem k oddílu je posloupnost symbolů. Popisuje dynamiku bodu. [5]

Aplikace

Symbolická dynamika vznikla jako metoda ke studiu obecných dynamických systémů; nyní jeho techniky a nápady našly významné aplikace v datové úložiště a přenos, lineární algebra pohyby planet a mnoho dalších oblastí. Výraznou vlastností symbolické dynamiky je to, že se měří čas oddělený intervaly. Takže v každém časovém intervalu je systém v určitém Stát. Každý stav je spojen se symbolem a vývoj systému je popsán nekonečně sekvence symbolů - reprezentovaných efektivně jako struny. Pokud stavy systému nejsou ve své podstatě diskrétní, pak státní vektor musí být diskretizován, aby získal hrubozrnný popis systému.

Viz také

Reference

  1. ^ Hadamard, J. (1898). „Les povrchy à courbures contraées et leurs lignes géodésiques“ (PDF). J. Math. Pures Appl. 5 (4): 27–73.
  2. ^ Morse, M.; Hedlund, G. A. (1938). "Symbolická dynamika". American Journal of Mathematics. 60 (4): 815–866. doi:10.2307/2371264. JSTOR  2371264.
  3. ^ Adler, R .; Weiss, B. (1967). „Entropy, kompletní metrický invariant pro automorfismy torusu“. PNAS. 57 (6): 1573–1576. Bibcode:1967PNAS ... 57.1573A. doi:10.1073 / pnas.57.6.1573. JSTOR  57985. PMC  224513. PMID  16591564.
  4. ^ Sinai, Y. (1968). "Stavba markovských příček". Funkční. Anální. Já Priložen. 2 (3): 70–80.
  5. ^ Matematika složitosti a dynamických systémů Robert A. Meyers. Springer Science & Business Media, 2011, ISBN  1461418054, 9781461418054

Další čtení

externí odkazy