Apothem - Apothem

Apothem a šestiúhelník

Grafy boční, s ; apothem, A a plocha, A z pravidelné mnohoúhelníky z n strany a circumradius 1, s základna, b a obdélník se stejnou oblastí - zelená čára ukazuje případ n = 6

The apothem (někdy zkráceně jako apo^[1]) a pravidelný mnohoúhelník je úsečka od středu ke středu jedné z jeho stran. Ekvivalentně je to čára vedená od středu mnohoúhelníku, která je kolmá na jednu z jeho stran. Slovo „apothem“ může také odkazovat na délku daného úsečky. Pravidelné polygony jsou jediné polygony, které mají apothemy. Z tohoto důvodu budou všechny apothemy v mnohoúhelníku shodný.

Pravidelně pyramida, což je pyramida, jejíž základnou je pravidelný mnohoúhelník, apotémem je šikmá výška boční tváře; tj. nejkratší vzdálenost od vrcholu k základně na dané ploše. Pro zkrácenou pravidelnou pyramidu (pravidelná pyramida, jejíž vrchol je odstraněn znakem a letadlo rovnoběžně se základnou) je apothem výška lichoběžníkového bočního obličeje.

U rovnostranného trojúhelníku je apothem ekvivalentní úsečce od středu strany k libovolnému trojúhelníku centra, protože centra rovnostranného trojúhelníku se shodují v důsledku definice.

Vlastnosti apotemů

Apothem A lze použít k vyhledání oblasti libovolného pravidelného n-stranného mnohoúhelníku o délce strany s podle následujícího vzorce, který také říká, že plocha se rovná apotému vynásobenému polovinou obvod od té doby ns = p.

${ displaystyle A = { frac {nsa} {2}} = { frac {pa} {2}}.}$

Tento vzorec lze odvodit rozdělením n-stranného mnohoúhelníku na n shodný rovnoramenné trojúhelníky, a poté si povšimněte, že apothem je výška každého trojúhelníku a že plocha trojúhelníku se rovná polovině základny krát výšce. Následující formulace jsou ekvivalentní:

${ displaystyle A = { tfrac {1} {2}} nsa = { tfrac {1} {2}} pa = { tfrac {1} {4}} ns ^ {2} cot left ({ tfrac { pi} {n}} right) = na ^ {2} tan left ({ tfrac { pi} {n}} right)}$

Apothem pravidelného mnohoúhelníku bude vždy poloměrem napsaný kruh. Je to také minimální vzdálenost mezi jakoukoli stranou mnohoúhelníku a jeho středem.

Tuto vlastnost lze také snadno použít k odvození vzorce pro plochu kružnice, protože jak se počet stran blíží nekonečnu, oblast pravidelného mnohoúhelníku se blíží oblasti vepsané kružnice o poloměru r = A.

${ displaystyle A = { frac {pa} {2}} = { frac {(2 pi r) r} {2}} = pi r ^ {2}}$

Nalezení apothem

Apothem pravidelného mnohoúhelníku lze nalézt několika způsoby.

Apothem A pravidelného n-stranný mnohoúhelník s délkou strany snebo circumradius R, lze nalézt pomocí následujícího vzorce:

${ displaystyle a = { frac {s} {2 tan left ({ frac { pi} {n}} right)}} = R cos left ({ frac { pi} {n }}že jo).}$

Apothem lze také najít

${ displaystyle a = { frac {s} {2}} tan ! left ({ frac { pi (n-2)} {2n}} right).}$

Tyto vzorce lze stále použít, i když jen po obvodu p a počet stran n jsou známé, protože ${ displaystyle s = { frac {p} {n}}.}$

Viz také

• Circumradius pravidelného mnohoúhelníku
• Sagitta (geometrie)
• Akord (trigonometrie)
• Šikmá výška

Reference

externí odkazy

• Apothem pravidelného mnohoúhelníku S interaktivní animací
• Apothem pyramidy nebo zkrácené pyramidy
• Pegg, Jr., vyd. „Sagitta, Apothem a Chord“. Demonstrační projekt Wolfram.