Nilpotentní matice - Nilpotent matrix

v lineární algebra, a nilpotentní matice je čtvercová matice N takhle

${ displaystyle N ^ {k} = 0 ,}$

pro některé pozitivní celé číslo ${ displaystyle k}$. Nejmenší takový ${ displaystyle k}$ se nazývá index z ${ displaystyle N}$^[1], někdy stupeň z ${ displaystyle N}$.

Obecněji, a nilpotentní transformace je lineární transformace ${ displaystyle L}$ a vektorový prostor takhle ${ displaystyle L ^ {k} = 0}$ pro nějaké kladné celé číslo ${ displaystyle k}$ (a tudíž, ${ displaystyle L ^ {j} = 0}$ pro všechny ${ displaystyle j geq k}$).^[2][3][4] Oba tyto pojmy jsou zvláštními případy obecnějšího pojmu nilpotence to platí pro prvky prsteny.

Příklady

Příklad 1

Matice

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}}}$

je nilpotentní s indexem 2, protože ${ displaystyle A ^ {2} = 0}$.

Příklad 2

Obecněji libovolné ${ displaystyle n}$-dimenzionální trojúhelníková matice s nulami podél hlavní úhlopříčka je nilpotentní, s indexem ${ displaystyle leq n}$. Například matice

${ displaystyle B = { begin {bmatrix} 0 & 2 & 1 & 6 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}}$

je nilpotentní, s

${ displaystyle B ^ {2} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 2 & 7 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}; B ^ {3} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}; B ^ {4} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 end {bmatrix}}.}$

Index ${ displaystyle B}$ je tedy 4.

Příklad 3

Ačkoli výše uvedené příklady mají velký počet nulových položek, typická nilpotentní matice nikoli. Například,

${ displaystyle C = { begin {bmatrix} 5 & -3 & 2 15 & -9 & 6 10 & -6 & 4 end {bmatrix}} qquad C ^ {2} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 a 0 a 0 end {bmatrix}}}$

ačkoli matice nemá žádné nulové položky.

Příklad 4

Navíc jakékoli matice formuláře

${ displaystyle { begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {1} & cdots & a_ {1} a_ {2} & a_ {2} & cdots & a_ {2} vdots & vdots & ddots & vdots - a_ {1} -a_ {2} - ldots -a_ {n-1} & - a_ {1} -a_ {2} - ldots -a_ {n-1} & ldots & -a_ {1} -a_ {2} - ldots -a_ {n-1} end {bmatrix}}}$

jako

${ displaystyle { begin {bmatrix} 5 & 5 & 5 6 & 6 & 6 - 11 & -11 & -11 end {bmatrix}}}$

nebo

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 & 2 4 & 4 & 4 & 4 - 7 & -7 & -7 & -7 end {bmatrix}}}$

čtverec na nulu.

Příklad 5

Snad některé z nejvýraznějších příkladů nilpotentních matic jsou ${ displaystyle n krát n}$ čtvercové matice formuláře:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 2 & 2 & 2 & cdots & 1-n n + 2 & 1 & 1 & cdots & -n 1 & n + 2 & 1 & cdots & -n 1 & 1 & n + 2 & cdots & -n vdots & vdots & vdots & ddots & vdots end {bmatrix}}}$

Prvních několik z nich je:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 2 & -1 4 & -2 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 2 & 2 & -2 5 & 1 & -3 1 & 5 & -3 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 2 & 2 & 2 & -3 6 & 1 & 1 & -4 1 & 6 & 1 & -4 1 & 1 & 6 & -4 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 & -4 7 & 1 & 1 & 1 & -5 1 & 7 & 1 & 1 & -5 1 & 1 & 7 & 1 & -5 1 & 1 & 1 & 7 & -5 end {bmatrix}} qquad ldots}$

Tyto matice jsou nilpotentní, ale neexistují žádné nulové položky v žádné jejich moci menší než index.^[5]

Charakterizace

Pro ${ displaystyle n krát n}$ čtvercová matice ${ displaystyle N}$ s nemovitý (nebo komplex ) položky, ekvivalentní jsou následující:

• ${ displaystyle N}$ je nilpotentní.
• The charakteristický polynom pro ${ displaystyle N}$ je ${ displaystyle det left (xI-N right) = x ^ {n}}$.
• The minimální polynom pro ${ displaystyle N}$ je ${ displaystyle x ^ {k}}$ pro nějaké kladné celé číslo ${ displaystyle k leq n}$.
• Jediná komplexní vlastní hodnota pro ${ displaystyle N}$ je 0.
• tr (N^k) = 0 pro všechny ${ displaystyle k> 0}$.

Poslední věta platí pro matice nad libovolnou pole charakteristiky 0 nebo dostatečně velké charakteristiky. (srov. Newtonovy identity )

Tato věta má několik důsledků, včetně:

• Index an ${ displaystyle n krát n}$ nilpotentní matice je vždy menší nebo rovna ${ displaystyle n}$. Například každý ${ displaystyle 2 krát 2}$ nilpotentní maticové čtverce na nulu.
• The určující a stopa nilpotentní matice jsou vždy nula. Následkem toho nilpotentní matice nemůže být invertibilní.
• Jediný nilpotent diagonalizovatelná matice je nulová matice.

Klasifikace

Zvažte ${ displaystyle n krát n}$ posuvná matice:

${ displaystyle S = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & ldots & 0 0 & 0 & 1 & ldots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & ldots & 1 0 & 0 & 0 & ldots & 0 konec {bmatrix}}.}$

Tato matice má 1 s podél superdiagonální a 0s všude jinde. Jako lineární transformace posune matice posunu „složky“ vektoru o jednu pozici doleva, přičemž na poslední pozici se objeví nula:

${ displaystyle S (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = (x_ {2}, ldots, x_ {n}, 0).}$^[6]

Tato matice je nilpotentní se stupněm ${ displaystyle n}$, a je kanonický nilpotentní matice.

Konkrétně pokud ${ displaystyle N}$ je tedy libovolná nilpotentní matice ${ displaystyle N}$ je podobný do a bloková diagonální matice formuláře

${ displaystyle { begin {bmatrix} S_ {1} & 0 & ldots & 0 0 & S_ {2} & ldots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & ldots & S_ {r} konec {bmatrix}}}$

kde každý z bloků ${ displaystyle S_ {1}, S_ {2}, ldots, S_ {r}}$ je posunovací matice (možná různých velikostí). Tento formulář je zvláštním případem Jordan kanonická forma pro matice.^[7]

Například libovolná nenulová matice 2 × 2 nilpotentní je podobná matici

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}}.}$

To je, pokud ${ displaystyle N}$ je libovolná nenulová nilpotentní matice 2 × 2, pak existuje základ b₁, b₂ takhle Nb₁ = 0 a Nb₂ = b₁.

Tato klasifikační věta platí pro matice nad libovolnou pole. (Není nutné, aby pole bylo algebraicky uzavřeno.)

Vlajka podprostorů

Nilpotentní transformace ${ displaystyle L}$ na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ přirozeně určuje a vlajka podprostorů

${ displaystyle {0 } podmnožina ker L podmnožina ker L ^ {2} podmnožina ldots podmnožina ker L ^ {q-1} podmnožina ker L ^ {q} = mathbb { R} ^ {n}}$

a podpis

${ displaystyle 0 = n_ {0}$

Charakterizuje podpis ${ displaystyle L}$ až do invertibilní lineární transformace. Kromě toho uspokojuje nerovnosti

${ displaystyle n_ {j + 1} -n_ {j} leq n_ {j} -n_ {j-1}, qquad { mbox {pro všechny}} j = 1, ldots, q-1.}$

Naopak, jakákoli posloupnost přirozených čísel uspokojujících tyto nerovnosti je podpisem nilpotentní transformace.

Další vlastnosti

• Li ${ displaystyle N}$ je tedy nilpotentní ${ displaystyle I + N}$ a ${ displaystyle I-N}$ jsou invertibilní, kde ${ displaystyle I}$ je ${ displaystyle n krát n}$ matice identity. Inverze jsou dány

${ displaystyle { begin {aligned} (I + N) ^ {- 1} & = displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} left (-N right) ^ {m} = I -N + N ^ {2} -N ^ {3} + N ^ {4} -N ^ {5} + N ^ {6} -N ^ {7} + cdots, (IN) ^ {- 1} & = displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} N ^ {m} = I + N + N ^ {2} + N ^ {3} + N ^ {4} + N ^ { 5} + N ^ {6} + N ^ {7} + cdots end {zarovnáno}}}$

Tak dlouho jak ${ displaystyle N}$ je nilpotentní, obě částky se sbíhají, protože pouze konečně je mnoho výrazů nenulové.

• Li ${ displaystyle N}$ je tedy nilpotentní

${ displaystyle det (I + N) = 1, ! ,}$

kde ${ displaystyle I}$ označuje ${ displaystyle n krát n}$ matice identity. Naopak, pokud ${ displaystyle A}$ je matice a

${ displaystyle det (I + tA) = 1 ! ,}$

pro všechny hodnoty ${ displaystyle t}$, pak ${ displaystyle A}$ je nilpotentní. Ve skutečnosti od té doby ${ displaystyle p (t) = det (I + tA) -1}$ je polynom stupně ${ displaystyle n}$, stačí mít toto držení ${ displaystyle n + 1}$ odlišné hodnoty ${ displaystyle t}$.

• Každý singulární matice lze psát jako produkt nilpotentních matic.^[8]
• Nilpotentní matice je speciální případ a konvergentní matice.

Zobecnění

A lineární operátor ${ displaystyle T}$ je místně nilpotentní pokud pro každý vektor ${ displaystyle v}$, existuje a ${ displaystyle k in mathbb {N}}$ takhle

${ displaystyle T ^ {k} (v) = 0. ! ,}$

Pro operátory na konečně-dimenzionálním vektorovém prostoru je místní nilpotence ekvivalentní nilpotenci.

Poznámky

Reference

• Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), První kurz v lineární algebře: s volitelným úvodem do skupin, prstenů a polí, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN  0-395-14017-X
• Herstein, I.N. (1975), Témata v algebře (2. vyd.), John Wiley & Sons
• Nering, Evar D. (1970), Lineární algebra a teorie matic (2. vyd.), New York: Wiley, LCCN  76091646

externí odkazy

• Nilpotentní matice a nilpotentní transformace na PlanetMath.