Algebraické celé číslo - Algebraic integer

v algebraická teorie čísel, an algebraické celé číslo je komplexní číslo to je vykořenit některých monický polynom (polynom, jehož vedoucí koeficient je 1) s koeficienty v $ℤ$ (soubor celá čísla ). Sada všech algebraických celých čísel, $A$ , je uzavřen při sčítání, odčítání a násobení, a proto je komutativní podřízený komplexních čísel. Prsten $A$ je integrální uzávěr pravidelných celých čísel $ℤ$ ve složitých číslech.

The kruh celých čísel a pole s číslem $K.$ , označeno $Ó K.$ , je křižovatkou $K.$ a $A$ : lze jej také charakterizovat jako maximální objednat pole $K.$ . Každé algebraické celé číslo patří do kruhu celých čísel nějakého číselného pole. Číslo $α$ je algebraické celé číslo kdyby a jen kdyby prsten $ℤ [α]$ je definitivně generováno jako Abelian skupina, což znamená, že jako $ℤ$ -modul.

Definice

Následují ekvivalentní definice algebraického celého čísla. Nechat $K.$ být pole s číslem (tj. a konečné prodloužení z $ℚ$ , soubor racionální čísla ), jinými slovy, $K. = ℚ (θ)$ pro nějaké algebraické číslo $θ \in ℂ$ podle věta o primitivním prvku.

$α \in K.$ je algebraické celé číslo, pokud existuje monický polynom $F (X) \in ℤ [X]$ takhle $F (α) = 0$ .
$α \in K.$ je algebraické celé číslo, pokud je minimální monický polynom z $α$ přes $ℚ$ je v $ℤ [X]$ .
$α \in K.$ je algebraické celé číslo, pokud $ℤ [α]$ je definitivně generován $ℤ$ -modul.
$α \in K.$ je algebraické celé číslo, pokud existuje nenulová konečně vygenerovaná $ℤ$ -podmodul $M \subset ℂ$ takhle $αM \subseteq M$ .

Algebraická celá čísla jsou zvláštním případem integrální prvky prodloužení prstenu. Zejména algebraické celé číslo je integrálním prvkem konečné extenze $K. / ℚ$ .

Příklady

Jediná algebraická celá čísla, která se nacházejí v sadě racionální čísla jsou celá čísla. Jinými slovy, průnik $ℚ$ a $A$ je přesně $ℤ$ . Racionální číslo $A / b$ není algebraické celé číslo, pokud $b$ rozděluje $A$ . Všimněte si, že počáteční koeficient polynomu $bx - A$ je celé číslo $b$ . Jako další speciální případ druhá odmocnina $\sqrt n$ nezáporného celého čísla $n$ je algebraické celé číslo, ale pokud je iracionální $n$ je perfektní čtverec.

Li $d$ je celé číslo bez čtverců pak rozšíření $K. = ℚ (\sqrt d)$ je kvadratické pole racionálních čísel. Kruh algebraických celých čísel $Ó K.$ obsahuje $\sqrt d$ protože toto je kořen monického polynomu $X 2 - d$ . Navíc pokud $d \equiv 1 mod 4$ , pak prvek $1 / 2 (1 + \sqrt d)$ je také algebraické celé číslo. Splňuje polynom $X 2 - X + 1 / 4 (1 - d)$ Kde konstantní termín $1 / 4 (1 - d)$ je celé číslo. Celý kruh celých čísel je generován $\sqrt d$ nebo $1 / 2 (1 + \sqrt d)$ resp. Vidět kvadratická celá čísla více.

Kruh celých čísel pole $F = ℚ [α]$ , $α = 3 \sqrt m$ , má následující integrální základ, psaní $m = hk 2$ pro dvě celá čísla coprime bez čtverců $h$ a $k$ :^[1]

{ displaystyle { begin {cases} 1, alpha, { dfrac { alpha ^ {2} pm k ^ {2} alpha + k ^ {2}} {3k}} & m equiv pm 1 { bmod {9}} 1, alpha, { dfrac { alpha ^ {2}} {k}} & { text {jinak}} end {případy}}}

Li $ζ n$ je primitivní $n$ th kořen jednoty, pak kruh celých čísel cyklotomické pole $ℚ (ζ n)$ je přesně $ℤ [ζ n]$ .

Li $α$ je tedy algebraické celé číslo $β = n \sqrt α$ je další algebraické celé číslo. Polynom pro $β$ se získá dosazením $X n$ v polynomu pro $α$ .

Není příklad

Li $P (X)$ je primitivní polynom který má celočíselné koeficienty, ale není monický, a $P$ je neredukovatelné přes $ℚ$ , pak žádný z kořenů $P$ jsou algebraická celá čísla (ale jsou algebraická čísla ). Tady primitivní se používá v tom smyslu, že nejvyšší společný faktor ze sady koeficientů $P$ je 1; to je slabší, než vyžadovat, aby koeficienty byly párově relativně prime.

Fakta

Součet, rozdíl a součin dvou algebraických celých čísel je algebraické celé číslo. Obecně jejich podíl není. Zapojený monický polynom je obecně vyšší stupeň než původních celých algebraických čísel a lze je najít výslednice a factoring. Například pokud $X 2 - X - 1$ , $y 3 - y - 1$ a $z = xy$ , pak eliminovat $X$ a $y$ z $z - xy$ a polynomy splněny $X$ a $y$ pomocí výslednice dává $z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1$ , který je neredukovatelný a je monickým polynomem uspokojeným produktem. (Chcete-li vidět, že $xy$ je kořenem $X$ -výsledek $z - xy$ a $X 2 - X - 1$ , lze použít skutečnost, že výslednice je obsažena v ideálu generovaném jeho dvěma vstupními polynomy.)
Jakékoli číslo konstruovatelné z celých čísel s kořeny, sčítáním a násobením je proto algebraické celé číslo; ale ne všechna algebraická celá čísla jsou tak konstruovatelná: v naivním smyslu většina kořenů neredukovatelných kvintiky nejsou. To je Věta Abel – Ruffini.
Každý kořen monického polynomu, jehož koeficienty jsou algebraická celá čísla, je sám o sobě algebraickým celým číslem. Jinými slovy, algebraická celá čísla tvoří kruh, který je integrálně uzavřeno v kterémkoli z jeho rozšíření.
Kruh algebraických celých čísel je a Doména Bézout v důsledku hlavní ideální věta.
Pokud má monický polynom spojený s algebraickým celým číslem konstantní člen 1 nebo -1, pak převrácená hodnota tohoto algebraického celého čísla je také algebraické celé číslo a je jednotka, prvek skupina jednotek kruhu algebraických celých čísel.

Viz také

Reference

^ Marcus, Daniel A. (1977). Číselná pole (3. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ch. 2, s. 38 a ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

Stein, W. Algebraická teorie čísel: výpočetní přístup (PDF).

[1] Marcus, Daniel A. (1977). Číselná pole (3. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ch. 2, s. 38 a ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

[1]