Produkt (teorie kategorií) - Product (category theory)

v teorie kategorií, produkt ze dvou (nebo více) předměty v kategorie je pojem, jehož cílem je zachytit podstatu staveb v jiných oblastech města matematika tak jako kartézský součin z sady, přímý produkt z skupiny nebo prsteny a produkt z topologické prostory. V zásadě produkt a rodina objektů je „nejobecnějším“ objektem, který připouští a morfismus ke každému z daných objektů.

Definice

Produkt dvou předmětů

Opravte kategorii $C$ . Nechat $X 1$ a $X 2$ být předmětem $C$ . Produkt z $X 1$ a $X 2$ je objekt $X$ , obvykle označován $X 1 \times X 2$ , vybavené dvojicí morfismů $π 1 : X \to X 1$ , $π 2 : X \to X 2$ splňující následující univerzální vlastnictví:

Pro každý objekt $Y$ a každý pár morfismů $F 1 : Y \to X 1$ , $F 2 : Y \to X 2$ existuje jedinečný morfismus $F : Y \to X 1 \times X 2$ tak, že následující diagram dojíždí:

To, zda produkt existuje, může záviset na $C$ nebo na $X 1$ a $X 2$ . Pokud existuje, je to jedinečné až do kanonického izomorfismu kvůli univerzálnímu majetku, takže se dá mluvit o the produkt.

Morfismy $π 1$ a $π 2$ se nazývají kanonické projekce nebo morfismy projekce. Dáno $Y$ a $F 1$ , $F 2$ , jedinečný morfismus $F$ se nazývá produkt morfismů $F 1$ a $F 2$ a je označen $⟨ F 1, F 2 ⟩$ .

Produkt libovolné rodiny

Místo dvou objektů můžeme začít s libovolnou rodinou objektů indexováno sadou $Já$ .

Vzhledem k rodině $(X i) i \in Já$ předmětů, a produkt rodiny je objekt $X$ vybavené morfismy $π i : X \to X i$ splňující následující univerzální vlastnictví:

Pro každý objekt $Y$ a každý $Já$ -indexovaná rodina morfismů $F i : Y \to X i$ existuje jedinečný morfismus $F : Y \to X$ tak, aby následující diagramy dojížděly za všechny $i$ v $Já$ :

Produkt je označen $Π i \in Já X i$ . Li $Já$ = {1, ..., $n$ }, pak je označen $X 1 \times ... \times X n$ a produkt morfismů je označen $⟨ F 1, ..., F n ⟩$ .

Rovná definice

Alternativně lze produkt definovat pomocí rovnic. Například pro binární produkt:

Existence $F$ je zaručeno existencí operace $⟨ -, - ⟩$ .
Komutativita výše uvedených diagramů je zaručena rovností $\forall F 1, \forall F 2 \forall i \in {1, 2}, π i \circ ⟨ F 1, F 2 ⟩$ = $F i$ .
Jedinečnost $F$ je zaručena rovností $\forall G : Y \to X 1 \times X 2, ⟨ π 1 \circ G, π 2 \circ G ⟩$ = $G$ .^[1]

Jako limit

Produkt je zvláštním případem a omezit. To lze vidět pomocí a diskrétní kategorie (rodina objektů bez jakýchkoli morfismů, jiných než jejich morfismů identity) jako diagram požadované pro definici limitu. Samostatné objekty budou sloužit jako index komponent a projekcí. Pokud tento diagram považujeme za funktor, jedná se o funktor ze sady indexů $Já$ považována za samostatnou kategorii. Definice produktu se poté shoduje s definicí limitu, ${F} i$ být kužel a projekce, které jsou mezní (omezující kužel).

Univerzální vlastnictví

Stejně jako je limit zvláštním případem univerzální konstrukce, stejně tak produkt. Počínaje definicí uvedenou pro univerzální vlastnost limitů, vzít $J$ jako samostatná kategorie se dvěma objekty, takže $C J$ je prostě kategorie produktů $C \times C$ . The diagonální funktor $Δ : C \to C \times C$ přiřadí každému objektu $X$ the objednaný pár $(X, X)$ a ke každému morfismu $F$ dvojice $(F, F)$ . Produkt $X 1 \times X 2$ v $C$ je dán a univerzální morfismus od funktoru $Δ$ k objektu $(X 1, X 2)$ v $C \times C$ . Tento univerzální morfismus se skládá z předmětu $X$ z $C$ a morfismus $(X, X) \to (X 1, X 2)$ který obsahuje projekce.

Příklady

V kategorie sad, produkt (v kategorii teoretický význam) je kartézský produkt. Vzhledem k rodině sad $X i$ produkt je definován jako

Π i \in Já X i

:= {

(X i) i \in Já

|

\forall i \in Já, X i \in X i

}

s kanonickými projekcemi

π j : Π i \in Já X i \to X j, π j ((X i) i \in Já)

:=

X j

.

Vzhledem k jakékoli sadě Y s rodinou funkcí $F i : Y \to X i$ , univerzální šipka $F : Y \to Π i \in Já X i$ je definováno $F (y)$ := $(F i (y)) i \in Já$ .

Další příklady:

V kategorie topologických prostorů, produkt je prostor, jehož podkladovou sadou je kartézský produkt a který nese topologie produktu. Topologie produktu je nejhrubší topologie pro které jsou všechny projekce kontinuální.
V kategorie modulů přes nějaký prsten R, produkt je kartézský produkt s přídavkem definovaným po částech a distribučním násobením.
V kategorie skupin, produkt je přímý součin skupin dané kartézským součinem s násobením definovaným po částech.
V kategorie grafů, produkt je tenzorový součin grafů.
V kategorie vztahů, produkt je dán disjunktní unie. (To může být trochu překvapením, protože kategorie sad je a podkategorie kategorie vztahů.)
V kategorii algebraické odrůdy, produkt je dán Vkládání Segre.
V kategorii poloabelianské monoidy, produkt je dán monoid historie.
A částečně objednaná sada lze s nimi zacházet jako s kategorií, přičemž jako morfizmy použijeme relační vztah. V tomto případě výrobky a koprodukty odpovídají největším dolním mezím (splňuje ) a nejmenší horní hranice (připojí se ).

Diskuse

Příklad, ve kterém produkt neexistuje: V kategorii polí produkt $Q$ × $F p$ neexistuje, protože pro obě neexistuje pole s homomorfismem $Q$ a $F p$ .

Další příklad: An prázdný produkt (tj. $Já$ je prázdná sada ) je stejný jako a koncový objekt, a některé kategorie, například kategorie nekonečných skupin, nemají koncový objekt: vzhledem k jakékoli nekonečné skupině $G$ existuje nekonečně mnoho morfismů $ℤ \to G$ , tak $G$ nemůže být terminál.

Li $Já$ je sada taková, že všechny produkty pro rodiny indexované pomocí $Já$ existují, pak lze s každým výrobkem zacházet jako s funktor $C Já \to C$ .^[2] Jak tento funktor mapuje objekty, je zřejmé. Mapování morfismů je jemné, protože produkt morfismů definovaných výše nesedí. Nejprve zvažte funktor binárního produktu, kterým je a bifunktor. Pro $F 1 : X 1 \to Y 1, F 2 : X 2 \to Y 2$ měli bychom najít morfismus $X 1 \times X 2 \to Y 1 \times Y 2$ . Vybíráme si $⟨ F 1 Ó π 1, F 2 Ó π 2 ⟩$ . Tato operace s morfismem se nazývá kartézský součin morfismů.^[3] Zadruhé, zvažte obecný funktor produktu. Pro rodiny ${X} i,{Y} i, F i : X i \to Y i$ měli bychom najít morfismus $Π i \in Já X i \to Π i \in Já Y i$ . Vybíráme produkt morfismů ${F i Ó π i} i$ .

Kategorie, kde každá konečná sada objektů má produkt, se někdy nazývá a kartézská kategorie^[3](ačkoli někteří autoři používají tuto frázi ve smyslu „kategorie se všemi konečnými limity“).

Produkt je asociativní. Předpokládat $C$ je kartézská kategorie, funktory produktu byly vybrány tak, jak je uvedeno výše, a $1$ označuje koncový objekt $C$ . Pak máme přirozené izomorfismy

{ displaystyle X times (Y times Z) simeq (X times Y) times Z simeq X times Y times Z,}

{ displaystyle X krát 1 simeq 1 krát X simeq X,}

{ displaystyle X krát Y simeq Y krát X.}

Tyto vlastnosti jsou formálně podobné vlastnostem komutativního monoidní; kartézská kategorie se svými konečnými produkty je příkladem a symetrická monoidní kategorie.

Distribuce

Pro všechny objekty X, Y, a Z kategorie s konečnými výrobky a koprodukty existuje kanonický morfismus $X \times Y + X \times Z \to X \times (Y + Z)$ , kde znaménko plus zde označuje koprodukt. Chcete-li to vidět, nezapomeňte, že univerzální vlastnost koproduktu $X \times Y + X \times Z$ zaručuje existenci jedinečných šipek vyplňujících následující diagram (indukované šipky jsou přerušované):

Univerzální vlastnost produktu $X \times (Y + Z)$ pak zaručuje jedinečný morfismus $X \times Y + X \times Z \to X \times (Y + Z)$ vyvolané přerušovanými šipkami ve výše uvedeném diagramu. A distribuční kategorie je ten, ve kterém je tento morfismus ve skutečnosti izomorfismem. V distribuční kategorii tedy člověk má kanonický izomorfismus

{ Displaystyle X krát (Y + Z) simeq (X krát Y) + (X krát Z)}

.

Viz také

Koprodukt - dvojí produktu
Diagonální funktor - vlevo adjoint funktoru produktu.
Limit a kolimity
Ekvalizér
Inverzní limit
Kartézská uzavřená kategorie
Kategorické stažení

Reference

^ Lambek J., Scott P. J. (1988). Úvod do kategorické logiky vyšších řádů. Cambridge University Press. str. 304.
^ Lane, S. Mac (1988). Kategorie pro pracujícího matematika (1. vyd.). New York: Springer-Verlag. str. 37. ISBN 0-387-90035-7.
^ ^A ^b Michael Barr, Charles Wells (1999). Teorie kategorie - Poznámky k přednášce pro ESSLLI. str. 62. Archivovány od originál dne 2011-04-13.

Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
Barr, Michael; Charles Wells (1999). Teorie kategorie pro výpočetní vědu (PDF). Les Publications CRM Montreal (publikace PM023). Archivovány od originál (PDF) dne 04.03.2016. Citováno 2016-03-21. Kapitola 5.
Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician. Postgraduální texty z matematiky 5 (2. vyd.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Definice 2.1.1 in Borceux, Francis (1994). Příručka kategorické algebry. Encyklopedie matematiky a její aplikace 50-51, 53 [tj. 52]. Svazek 1. Cambridge University Press. str.39. ISBN 0-521-44178-1.

externí odkazy

Interaktivní webová stránka který generuje příklady produktů v kategorii konečných množin. Napsáno Jocelyn Paine.
Produkt v nLab

[1] Lambek J., Scott P. J. (1988). Úvod do kategorické logiky vyšších řádů. Cambridge University Press. str. 304.

[2] Lane, S. Mac (1988). Kategorie pro pracujícího matematika (1. vyd.). New York: Springer-Verlag. str. 37. ISBN 0-387-90035-7.

[esslli-3] A ^b Michael Barr, Charles Wells (1999). Teorie kategorie - Poznámky k přednášce pro ESSLLI. str. 62. Archivovány od originál dne 2011-04-13.

[1]

[2]

[3]