Semiprimitivní prsten - Semiprimitive ring

V algebře, a poloprimitivní prsten nebo Jacobson poloplášťový prsten nebo J-polojednoduchý prsten je prsten, jehož Jacobson radikální je nula. Toto je typ prstenu obecnější než a polojednoduchý prsten, ale kde jednoduché moduly stále poskytuji dostatek informací o kruhu. Kruhy, jako je kruh celých čísel, jsou poloprimitivní a an artinian semiprimitivní prsten je jen a polojednoduchý prsten. Semiprimitivní prsteny lze chápat jako podřízené produkty z primitivní prsteny, které jsou popsány v Jacobsonova věta o hustotě.

Definice

Prsten se volá poloprimitivní nebo Jacobson napůl jednoduchý jestli je to Jacobson radikální je nula ideální.

Kroužek je poloprimitivní, právě když má a věřící polojediný levý modul. Semiprimitivní vlastnost je zleva doprava symetrická, a tak je prsten semiprimitivní právě tehdy, pokud má věrný polojediný pravý modul.

Prsten je poloprimitivní, právě když je podřízeným produktem levice primitivní prsteny.

A komutativní prsten je semiprimitivní právě tehdy, pokud se jedná o podadresář produktu pole, (Lam 1995, str. 137).

A vlevo artinianský prsten je semiprimitivní právě tehdy, když je polojednoduchý, (Lam 2001, str. 54). Takovým prstenům se někdy říká napůl jednoduchý Artinian, (Kelarev 2002, str. 13).

Příklady

  • Kruh celých čísel je poloprimitivní, ale ne polojediný.
  • Každý primitivní prsten je poloprimitivní.
  • Produkt dvou polí je poloprimitivní, ale nikoli primitivní.
  • Každý von Neumann pravidelný prsten je poloprimitivní.

Jacobson sám definoval prsten jako „polojednodušý“ právě tehdy, pokud se jedná o a podřízený produkt z jednoduché kroužky, (Jacobson 1989, str. 203). Jedná se však o přísnější představu, protože prsten endomorfismu spočetně nekonečného dimenzionálního vektorového prostoru je poloprimitivní, ale není přímým produktem jednoduchých prstenů, (Lam 1995, str. 42).

Reference

  • Jacobson, Nathan (1989), Základní algebra II (2. vyd.), W. H. Freeman, ISBN  978-0-7167-1933-5
  • Lam, Tsit-Yuen (1995), Cvičení z klasické prstenové teorie„Problémové knihy z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94317-6, PAN  1323431
  • Lam, Tsit-Yuen (2001), První kurz v nekomutativních kruzích, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95325-0
  • Kelarev, Andrei V. (2002), Prstencové konstrukce a aplikace, Světově vědecký, ISBN  978-981-02-4745-4