Integrovaná uzavřená doména - Integrally closed domain

v komutativní algebra, an integrálně uzavřená doména A je integrální doména jehož integrální uzávěr v jeho pole zlomků je A sám. Upřesněno, to znamená, že pokud X je prvkem pole zlomků A což je kořen a monický polynom s koeficienty v A, pak X je sám o sobě prvkem A. Mnoho dobře prostudovaných domén je integrálně uzavřeno: pole, kruh celých čísel Z, jedinečné faktorizační domény a pravidelné místní kruhy jsou integrálně uzavřeny.

Všimněte si, že integrálně uzavřené domény se objevují v následujícím řetězci třídní inkluze:

rngs ⊃ prsteny ⊃ komutativní prsteny ⊃ integrální domény ⊃ integrálně uzavřené domény ⊃ GCD domény ⊃ jedinečné faktorizační domény ⊃ hlavní ideální domény ⊃ Euklidovské domény ⊃ pole ⊃ algebraicky uzavřená pole

Základní vlastnosti

Nechat A být integrálně uzavřenou doménou s polem zlomků K. a nechte L být rozšíření pole z K.. Pak X∈L je integrální přes A právě když je algebraický přes K. a jeho minimální polynom přes K. má koeficienty v A.^[1] Zejména to znamená, že jakýkoli prvek L integrál přes A je kořen monického polynomu v A[X] to je neredukovatelné v K.[X].

Li A je doména obsažená v poli K, můžeme zvážit integrální uzávěr z A v K. (tj. soubor všech prvků K. které jsou nedílnou součástí A). Toto integrální uzavření je integrálně uzavřenou doménou.

Integrálně uzavřené domény také hrají roli v hypotéze Věta o sestupu. Věta říká, že pokud A⊆B je integrální rozšíření domén a A je integrálně uzavřená doména, pak klesající majetek drží pro prodloužení A⊆B.

Příklady

Toto jsou integrálně uzavřené domény.

• A hlavní ideální doména (zejména: celá čísla a jakékoli pole).
• A jedinečná faktorizační doména (zejména jakýkoli polynomiální kruh nad polem, nad celými čísly nebo nad libovolnou jedinečnou faktorizační doménou.)
• A Doména GCD (zejména jakékoli Doména Bézout nebo oceňovací doména ).
• A Dedekind doména.
• A symetrická algebra nad polem (protože každá symetrická algebra je isomorfní s polynomiálním prstencem v několika proměnných nad polem).
• Nechat ${displaystyle k}$ být polem charakteristiky ne 2 a ${displaystyle S = k [x_ {1}, tečky, x_ {n}]}$ nad ním polynomiální kruh. Li ${displaystyle f}$ je bez čtverce nekonstantní polynom v ${displaystyle S}$, pak ${displaystyle S [y] / (y ^ {2} -f)}$ je integrálně uzavřená doména.^[2] Zejména, ${displaystyle k [x_ {0}, tečky, x_ {r}] / (x_ {0} ^ {2} + tečky + x_ {r} ^ {2})}$ je integrálně uzavřená doména, pokud ${displaystyle rgeq 2}$.^[3]

Abychom neuváděli příklad,^[4] nechat k být oborem a ${displaystyle A = k [t ^ {2}, t ^ {3}] podmnožina k [t]}$ (A je subalgebra generovaná t² a t³.) A není integrálně uzavřeno: má pole zlomků ${displaystyle k (t)}$a monický polynom ${displaystyle X ^ {2} -t ^ {2}}$ v proměnné X má kořen t který je v oblasti zlomků, ale ne v A. To souvisí se skutečností, že rovinná křivka ${displaystyle Y ^ {2} = X ^ {3}}$ má jedinečnost na počátku.

Další doménou, která není integrálně uzavřena, je ${displaystyle A = mathbb {Z} [{sqrt {5}}]}$; neobsahuje prvek ${displaystyle {frac {{sqrt {5}} + 1} {2}}}$ svého pole zlomků, které splňuje monický polynom ${displaystyle X ^ {2} -X-1 = 0}$.

Noetherian integrálně uzavřená doména

Pro netherianskou místní doménu A první dimenze jsou ekvivalentní.

• A je integrálně uzavřeno.
• Maximální ideál A je hlavní.
• A je diskrétní oceňovací kruh (ekvivalentně A je Dedekind.)
• A je pravidelný místní kruh.

Nechat A být noetherian integrální doménou. Pak A je integrálně uzavřen právě tehdy, když (i) A je průsečík všech lokalizací ${displaystyle A_ {mathfrak {p}}}$ nad prvotřídními ideály ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ výšky 1 a (ii) lokalizace ${displaystyle A_ {mathfrak {p}}}$ v nejlepším ideálu ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ výšky 1 je diskrétní oceňovací kruh.

Noetherian ring je a Krull doména právě když se jedná o integrálně uzavřenou doménu.

V neanetherovém nastavení má jeden následující: integrální doména je integrálně uzavřena právě tehdy, když je průsečíkem všech oceňovací prsteny obsahující to.

Normální zvonění

Autoři včetně Serre, Grothendieck a Matsumura definují a normální prsten být prsten, jehož lokalizace v ideálech jsou integrálně uzavřené domény. Takový prsten je nutně a snížený prsten,^[5] a to je někdy zahrnuto v definici. Obecně, pokud A je Noetherian kruh, jehož lokalizace na maximálních ideálech jsou tedy všechny domény A je konečný produkt domén.^[6] Zejména pokud A je Noetherian, normální kruh, pak jsou domény v produktu integrálně uzavřenými doménami.^[7] Naopak jakýkoli konečný produkt integrálně uzavřených domén je normální. Zejména pokud ${displaystyle operatorname {Spec} (A)}$ je tedy netherianský, normální a propojený A je integrálně uzavřená doména. (srov. hladká odrůda )

Nechat A být noetherianským prstenem. Pak (Serreho kritérium ) A je normální právě tehdy, pokud splňuje následující podmínky: pro jakýkoli primární ideál ${displaystyle {mathfrak {p}}}$,

• (i) Pokud ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ má výšku ${displaystyle leq 1}$, pak ${displaystyle A_ {mathfrak {p}}}$ je pravidelný (tj., ${displaystyle A_ {mathfrak {p}}}$ je diskrétní oceňovací kruh.)
• (ii) Pokud ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ má výšku ${displaystyle geq 2}$, pak ${displaystyle A_ {mathfrak {p}}}$ má hloubku ${displaystyle geq 2}$.^[8]

Položka (i) je často formulována jako „regulární v kóde 1“. Poznámka (i) znamená, že množina související prvočísla ${displaystyle prdel (A)}$ nemá žádný vložené prvočísla, a pokud (i), ii) to znamená ${displaystyle Ass (A / fA)}$ nemá žádné vložené prvočíslo pro žádného nenulového divizora F. Zejména a Cohen-Macaulayův prsten vyhovuje (ii). Geometricky máme následující: pokud X je místní úplná křižovatka v nesingulární odrůdě;^[9] např., X samo o sobě je tedy nesmyslné X je Cohen-Macaulay; tj. stonky ${displaystyle {mathcal {O}} _ {p}}$ snopu struktury jsou Cohen-Macaulay pro všechny hlavní ideály str. Pak můžeme říci: X je normální (tj. stonky jeho svazku struktury jsou normální) právě tehdy, pokud má pravidelný rozměr 1.

Zcela integrálně uzavřené domény

Nechat A být doménou a K. jeho pole zlomků. Prvek X v K. se říká, že je téměř integrální A pokud je podřetězec A[X] z K. generováno uživatelem A a X je zlomkový ideál z A; to znamená, pokud existuje ${displaystyle deq 0}$ takhle ${displaystyle dx ^ {n} v A}$ pro všechny ${displaystyle ngeq 0}$. Pak A se říká, že je zcela integrálně uzavřeno pokud každý téměř integrální prvek K. je obsažen v A. Úplně integrálně uzavřená doména je integrálně uzavřena. Naopak, noetherian integrálně uzavřená doména je zcela integrálně uzavřena.

Převzít A je zcela integrálně uzavřeno. Pak zazvoní formální řada sil ${displaystyle A [[X]]}$ je zcela integrálně uzavřeno.^[10] To je významné, protože analog je false pro integrálně uzavřenou doménu: let R být doménou ocenění o výšce alespoň 2 (která je integrálně uzavřena.) Pak ${displaystyle R [[X]]}$ není integrálně uzavřeno.^[11] Nechat L být polním rozšířením K.. Pak integrální uzavření A v L je zcela integrálně uzavřeno.^[12]

Integrální doména je zcela integrálně uzavřena právě tehdy, když je monoid dělitelů A je skupina.^[13]

Viz také: Krull doména.

"Integrálně uzavřeno" ve výstavbě

Následující podmínky jsou ekvivalentní pro integrální doménu A:

1. A je integrálně uzavřeno;
2. A_p (lokalizace A s ohledem na p) je integrálně uzavřeno pro všechny hlavní ideál p;
3. A_m je integrálně uzavřeno pro každého maximální ideál m.

1 → 2 vyplývá okamžitě ze zachování integrálního uzávěru při lokalizaci; 2 → 3 je triviální; 3 → 1 vyplývá ze zachování integrálního uzávěru při lokalizaci, přesnost lokalizace a vlastnost, kterou A-modul M je nula právě tehdy, pokud je její lokalizace s ohledem na každý maximální ideál nulová.

Naproti tomu „integrálně uzavřený“ nepřevyšuje kvocient, protože Z[t] / (t²+4) není integrálně uzavřeno.

Lokalizace zcela integrálně uzavřeného nemusí být zcela integrálně uzavřena.^[14]

Přímým limitem integrálně uzavřených domén je integrálně uzavřená doména.

Moduly přes integrálně uzavřenou doménu

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (únor 2013)

Nechat A být noetherianskou integrálně uzavřenou doménou.

Ideál Já z A je dělicí jen a jen pokud každý sdružený prime z A/Já má výšku jedna.^[15]

Nechat P označit soubor všech hlavních ideálů v A jedné výšky. Li T je konečně generovaný torzní modul, dá se říci:

${displaystyle chi (T) = součet _ {pin P} operatorname {délka} _ {p} (T) p}$,

což dává smysl jako formální částka; tj. dělitel. Píšeme ${displaystyle c (d)}$ pro třídu dělitele d. Li ${displaystyle F, F '}$ jsou maximální submoduly M, pak ${displaystyle c (chi (M / F)) = c (chi (M / F '))}$^[16] a ${displaystyle c (chi (M / F))}$ je označen (v Bourbaki) ${displaystyle c (M)}$.

Viz také

• Unibranch local ring

Reference

• Bourbaki. Komutativní algebra.
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157
• Kaplansky, Irving (září 1974). Komutativní prsteny. Přednášky z matematiky. University of Chicago Press. ISBN  0-226-42454-5.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Komutativní teorie prstenů. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN  0-521-36764-6.
• Matsumura, Hideyuki (1970). Komutativní algebra. ISBN  0-8053-7026-9.