Kategorie prstenů - Category of rings

Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideál • Kvocient prstenu • Zlomkový ideál • Celkový kvocient kvocientu • Produktový prsten • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový produkt prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniova endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Tříděný prsten • Intuutivní prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zvonění ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${ displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Lež prsten • Jordan prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrovaná uzavřená doména • Doména GCD • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prsten • Polynomiální kruh • Formální prsten řady power Algebraická teorie čísel • Algebraické číselné pole • Kruh čísel • Algebraická nezávislost • Teorie transcendentních čísel • Stupeň transcendence p-adic teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit /Inverzní limit • Nulový prsten ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo pn ${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Prüfer p-prsten ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ • Základna -p kruhový prsten ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Základna -p celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • p-adic racionální ${ displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Základna -p reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ • p-adická celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • p-adická čísla ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • p-adický solenoid ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nezávazné prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduché zazvonění • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra

v matematika, kategorie prstenů, označeno Prsten, je kategorie jejichž objekty jsou prsteny (s identitou) a jehož morfismy jsou kruhové homomorfismy (které zachovávají identitu). Stejně jako mnoho kategorií v matematice je i kategorie prstenů velký, což znamená, že třída všech prstenů je správně.

Jako konkrétní kategorie

Kategorie Prsten je konkrétní kategorie což znamená, že objekty jsou sady s další strukturou (sčítání a násobení) a morfismy jsou funkce které zachovávají tuto strukturu. Existuje přírodní zapomnětlivý funktor

U : Prsten → Soubor

pro kategorii prstenů do kategorie sad který posílá každý prsten do jeho podkladové množiny (čímž „zapomíná“ na operace sčítání a násobení). Tento funktor má vlevo adjoint

F : Soubor → Prsten

který přiřadí každé sadě X the zdarma vyzvánění generováno uživatelem X.

Lze také zobrazit kategorii prstenů jako konkrétní kategorii Ab (dále jen kategorie abelianských skupin ) nebo více Pondělí (dále jen kategorie monoidů ). Konkrétně existují zapomnětlivé funktory

A : Prsten → Ab

M : Prsten → Pondělí

které „zapomínají“ na násobení a sčítání. Oba tyto funktory zanechaly sousední. Levý adjoint z A je funktor, který přiřadí každému abelianská skupina X (myšlenka jako Z-modul ) tenzorový prsten T(X). Levý adjoint z M je funktor, který přiřadí každému monoidní X integrál monoidní prsten Z[X].

Vlastnosti

Limity a kolimity

Kategorie Prsten je obojí úplné a dokončené, což znamená, že všechny malé limity a kolimity existuje v Prsten. Stejně jako mnoho jiných algebraických kategorií je zapomnětlivý funktor U : Prsten → Soubor vytváří (a zachovává) limity a filtrované kolimity, ale nezachovává ani koprodukty nebo ekvalizéry. Zapomnětliví funktory Ab a Pondělí také vytvořit a zachovat limity.

Příklady limitů a kolimit v Prsten zahrnout:

• Prsten z celá čísla Z je počáteční objekt v Prsten.
• The nulový kroužek je koncový objekt v Prsten.
• The produkt v Prsten je dán přímý produkt prstenů. To je jen kartézský součin podkladových sad s přidáním a násobením definovaných po jednotlivých komponentách.
• The koprodukt rodiny prstenů existuje a je dána konstrukcí analogickou k produkt zdarma skupin. Koproduktem nenulových kruhů může být nulový kruh; zejména k tomu dochází vždy, když faktory mají relativně prime charakteristický (protože charakteristika koproduktu (R_i)_i∈Já musí rozdělit vlastnosti každého z prstenů R_i).
• The ekvalizér v Prsten je jen množinový teoretický ekvalizér (ekvalizér dvou kruhových homomorfismů je vždy a podřízený ).
• The ekvalizér dvou kruhových homomorfismů F a G z R na S je kvocient z S podle ideál generovány všemi prvky formuláře F(r) − G(r) pro r ∈ R.
• Vzhledem k prstencovému homomorfismu F : R → S the pár jádra z F (to je jen zarazit z F sám se sebou) je a kongruenční vztah na R. Ideál určený tímto kongruenčním vztahem je přesně (prstenově-teoretický) jádro z F. Všimněte si, že kategorie-teoretická jádra nedávají smysl v Prsten protože tam nejsou žádné nulové morfismy (viz. níže).

Morfismy

Na rozdíl od mnoha kategorií studovaných v matematice nemusí vždy existovat morfismy mezi dvojicemi objektů v Prsten. Je to důsledek skutečnosti, že kruhové homomorfismy musí zachovat identitu. Například neexistují žádné morfismy z nulový kroužek 0 na jakýkoli nenulový prsten. Nutná podmínka pro to, aby existovaly morfismy z R na S je to charakteristický z S rozdělit to na R.

Všimněte si, že i když některé z domovských sad jsou prázdné, kategorie Prsten je stále připojeno protože má počáteční objekt.

Některé speciální třídy morfismů v Prsten zahrnout:

• Izomorfismy v Prsten jsou bijektivní kruhové homomorfismy.
• Monomorfismy v Prsten jsou injekční homomorfismy. Ne každý monomorfismus je pravidelný nicméně.
• Každý surjektivní homomorfismus je epimorfismus v Prsten, ale obrácení není pravda. Zahrnutí Z → Q je nesurjektivní epimorfismus. Homomorfismus přirozeného prstence z libovolného komutativního kruhu R na některý z jeho lokalizace je epimorfismus, který nemusí být nutně surjektivní.
• Surjektivní homomorfismy lze charakterizovat jako pravidelný nebo extrémní epimorfismy v Prsten (tyto dvě třídy se shodují).
• Bimorfismus v Prsten jsou injekční epimorfismy. Zahrnutí Z → Q je příkladem bimorfismu, který není izomorfismem.

Další vlastnosti

• Jediný injekční předmět v Prsten až do izomorfismu je nulový kroužek (tj. koncový objekt).
• Chybí nulové morfismy, kategorie prstenů nemůže být a preadditive kategorie. (Každý prsten - považovaný za malou kategorii s jedním objektem - je však kategorie předčítání).
• Kategorie prstenů je a symetrická monoidní kategorie s tenzorový produkt prstenů ⊗_Z jako monoidní produkt a kruh celých čísel Z jako jednotkový objekt. Vyplývá to z Eckmann – Hiltonova věta, že a monoidní v Prsten je jen a komutativní prsten. Působení monoidu (= komutativní prsten) R na objektu (= prsten) A z Prsten je jen R-algebra.

Podkategorie

Kategorie prstenů má řadu důležitých podkategorií. Mezi ně patří celé podkategorie z komutativní prsteny, integrální domény, hlavní ideální domény, a pole.

Kategorie komutativních prstenů

The kategorie komutativních prstenů, označeno CRing, je úplná podkategorie Prsten jejichž objekty jsou všechny komutativní prsteny. Tato kategorie je jedním z ústředních předmětů studia v předmětu komutativní algebra.

Libovolný prsten může být komutativní tím, že vezme kvocient podle ideál generovány všemi prvky formuláře (xy − yx). To definuje funktor Prsten → CRing který je ponechán adjungován s funktorem začlenění, takže CRing je reflexní podkategorie z Prsten. The bezplatný komutativní kruh na sadě generátorů E je polynomiální kruh Z[E] jehož proměnné jsou převzaty z E. To dává levý adjunkční funktor zapomnětlivému funktoru z CRing na Soubor.

CRing je uzavřený limit Prsten, což znamená, že limity v CRing jsou stejné jako v Prsten. Kolimity se však obecně liší. Mohou být vytvořeny převzetím komutativního kvocientu kolimit Prsten. Koprodukt dvou komutativních kruhů je dán vztahem tenzorový produkt prstenů. Koprodukt dvou nenulových komutativních kruhů může být opět nulový.

The opačná kategorie z CRing je ekvivalent do kategorie afinních schémat. Rovnocennost je dána kontravariantní funktor Spec, který pošle komutativní prsten do svého spektrum, afinní systém.

Kategorie polí

The kategorie polí, označeno Pole, je úplná podkategorie CRing jejichž objekty jsou pole. Kategorie polí není zdaleka tak dobrá jako ostatní algebraické kategorie. Zejména volná pole neexistují (tj. Nezbývá adjung na zapomnětlivý funktor Pole → Soubor). Z toho vyplývá, že Pole je ne reflexní podkategorie CRing.

Kategorie polí není ani jedna konečně kompletní ani konečně nedokončené. Zejména, Pole nemá ani produkty, ani vedlejší produkty.

Dalším zvláštním aspektem kategorie polí je, že každý morfismus je a monomorfismus. To vyplývá ze skutečnosti, že jediné ideály v poli F jsou nula ideální a F sám. Jeden pak může prohlížet morfismy v Pole tak jako rozšíření pole.

Kategorie polí není připojeno. Mezi různými poli neexistují žádné morfismy charakteristický. Připojené komponenty Pole jsou úplné podkategorie charakteristik p, kde p = 0 nebo je a prvočíslo. Každá taková podkategorie má počáteční objekt: hlavní pole charakteristické p (který je Q -li p = 0, jinak konečné pole F_p).

Související kategorie a funktory

Kategorie skupin

Existuje přirozený funktor z Prsten do kategorie skupin, Grp, který odesílá každý prsten R k jeho skupina jednotek U(R) a každý kruh homomorfismus s omezením na U(R). Tento funktor má vlevo adjoint který posílá každý skupina G do integrální skupinový kruh Z[G].

Další funktor mezi těmito kategoriemi posílá každý prsten R do skupiny jednotek maticový prsten M₂(R) který působí na projektivní čára přes prsten P (R).

R-algebry

Vzhledem k komutativnímu kruhu R lze definovat kategorii R-Alg jejichž objekty jsou všechny R-algebry a jejichž morfismy jsou R-algebrické homomorfismy.

Za zvláštní případ lze považovat kategorii prstenů. Každý prsten lze považovat za Z-algebra je jedinečný způsob. Kruhové homomorfismy jsou přesně Z-algebrické homomorfismy. Kategorie prstenů je tedy izomorfní do kategorie Z-Alg.^[1] Mnoho výroků o kategorii prstenů lze zobecnit na výroky o kategorii prstenů R-algebry.

Pro každý komutativní kruh R existuje funktor R-Alg → Prsten který zapomíná na R- struktura modulu. Tento funktor má levý adjoint, který odesílá každý prsten A do tenzorový produkt R⊗_ZA, myšlenka jako R-algebra nastavením r·(s⊗A) = rs⊗A.

Prsteny bez identity

Mnoho autorů nevyžaduje, aby prsteny měly multiplikativní prvek identity, a proto nevyžadují pro zachování identity (pokud by existoval) prstenový homomorfismus. To vede k poněkud jiné kategorii. Pro rozlišení nazýváme takové algebraické struktury rngs a jejich morfismy homomorfismy. Kategorie všech souborů bude označena Rng.

Kategorie prstenů, Prsten, je nesplněno podkategorie z Rng. Není to plné, protože mezi prsteny existují homomorfismy, které nezachovávají identitu, a proto nejsou morfismem Prsten. Funktor začlenění Prsten → Rng má levý adjoint, který formálně spojuje identitu s jakýmkoli rng. Funktor začlenění Prsten → Rng respektuje limity, ale ne kolimity.

The nulový kroužek slouží jako počáteční i koncový objekt v Rng (to znamená, že je nulový objekt ). Z toho vyplývá, že Rng, jako Grp ale na rozdíl od Prsten, má nulové morfismy. Jedná se pouze o homomorfismy rng, které mapují vše na 0. Navzdory existenci nulových morfismů Rng stále není preadditive kategorie. Bodový součet dvou homomorfismů rng obecně není homomorfismem rng.

K dispozici je plně věrný funktor z kategorie abelianské skupiny na Rng odeslání abelianské skupiny přidruženým rng čtvercové nuly.

Stavby zdarma jsou méně přirozené Rng než jsou v Prsten. Například volný rng generovaný množinou {X} je kruh všech integrálních polynomů X bez konstantního termínu, zatímco volný kruh generovaný {X} je jen polynomiální kruh Z[X].

Reference

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie (PDF). John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders; Garrett Birkhoff (1999). Algebra ((3. vyd.) Vyd.). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN  0-8218-1646-2.
• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician. Postgraduální texty z matematiky 5 ((2. vyd.) Vyd.). Springer. ISBN  0-387-98403-8.