Maschkesova věta - Maschkes theorem - Wikipedia

V matematice Maschkeova věta,^[1]^[2] pojmenoval podle Heinrich Maschke,^[3] je věta v skupinové zastoupení teorie, která se týká rozkladu reprezentací a konečná skupina do neredukovatelné kousky. Maschkeho teorém umožňuje provádět obecné závěry o reprezentacích konečné skupiny G aniž byste je vlastně počítali. Snižuje úkol klasifikace všech reprezentací na lépe zvládnutelný úkol klasifikace neredukovatelné reprezentace, protože když platí věta, jakékoli vyjádření je přímým součtem neredukovatelných částí (složek). Navíc to vyplývá z Jordan – Hölderova věta že zatímco rozklad na přímý součet neredukovatelných subreprezentací nemusí být jedinečný, neredukovatelné části mají dobře definované multiplicity. Zejména reprezentace konečné skupiny nad polem charakteristické nuly je určena až po její izomorfismus charakter.

Formulace

Maschkeova věta se zabývá otázkou: kdy je obecná (konečně-dimenzionální) reprezentace postavená z neredukovatelné subreprezentace za použití přímý součet úkon? Tato otázka (a její odpověď) jsou formulovány odlišně pro různé pohledy na teorii reprezentace skupin.

Skupinová teoretika

Maschkeova věta je běžně formulována jako a důsledek k následujícímu výsledku:

Teorém. Li PROTI je komplexní reprezentace konečné skupiny G se subreprezentací Ž, pak existuje další subreprezentace U z PROTI takhle PROTI=Ž⊕U.^[4]^[5]

Důsledkem je

Důsledek (Maschkeova věta). Každá reprezentace konečné skupiny G přes pole F s charakteristický nerozdělení pořadí G je přímý součet neredukovatelných reprezentací.^[6]^[7]

The vektorový prostor z komplexní třídní funkce skupiny G má přirozený G-invariantní vnitřní struktura produktu, popsaná v článku Schurovy ortogonální vztahy. Maschkeova věta byla původně prokázána pro případ reprezentací po celém světě ${ displaystyle mathbb {C}}$ konstrukcí U jako ortogonální doplněk z Ž pod tímto vnitřním produktem.

Modul-teoretický

Jeden z přístupů k reprezentaci konečných skupin je prostřednictvím teorie modulů. Zastoupení skupiny G jsou nahrazeny moduly přes jeho skupinová algebra K.[G] (abych byl přesný, existuje izomorfismus kategorií mezi K.[G] -Mod a Rep_G, kategorie zastoupení z G). Neredukovatelné reprezentace odpovídají jednoduché moduly. V modulu-teoretickém jazyce se Maschkeova věta ptá: je libovolný modul polojednoduchý ? V této souvislosti lze větu přeformulovat takto:

Maschkeova věta. Nechat G být konečnou skupinou a K. pole, jehož charakteristika nerozděluje pořadí G. Pak K.[G], skupinová algebra G, je polojednoduchý.^[8]^[9]

Důležitost tohoto výsledku vyplývá z dobře vyvinuté teorie polojednoduchých prstenů, zejména z Artin – Wedderburnova věta (někdy označovaná jako Wedderburnova věta o struktuře). Když K. je pole komplexních čísel, to ukazuje, že algebra K.[G] je produktem několika kopií komplexu maticové algebry, jeden pro každé neredukovatelné zastoupení.^[10] Pokud pole K. má charakteristickou nulu, ale není algebraicky uzavřeno, například, K. je obor nemovitý nebo Racionální čísla, pak platí poněkud komplikovanější výrok: skupinová algebra K.[G] je produkt maticových algeber dělící kroužky přes K.. Summandy odpovídají neredukovatelným reprezentacím G přes K..^[11]

Kategorie teoretická

Přeformulováno v jazyce částečně jednoduché kategorie Uvádí Maschkeova věta

Maschkeova věta. Li G je skupina a F je pole s charakteristikou nerozdělující pořadí G, pak kategorie zastoupení z G přes F je částečně jednoduché.

Důkazy

Skupinová teoretika

Nechat U být podprostorem PROTI doplněk Ž. Nechat ${ displaystyle p_ {0}: V k W}$ být projekční funkcí, tj. ${ displaystyle p_ {0} (w + u) = w}$ pro všechny ${ displaystyle u v U, w ve W}$ .

Definovat ${ displaystyle p (x) = { frac {1} { # G}} součet _ {g v G} g cdot p_ {0} cdot g ^ {- 1} (x)}$ , kde ${ displaystyle g cdot p_ {0} cdot g ^ {- 1}}$ je zkratka ${ displaystyle rho _ {W} {g} cdot p_ {0} cdot rho _ {V} {g ^ {- 1}}}$ , s ${ displaystyle rho _ {W} {g}, rho _ {V} {g ^ {- 1}}}$ být zastoupením G na W a PROTI. Pak, ${ displaystyle ker p}$ je zachována G pod zastoupením ${ displaystyle rho _ {V}}$ : pro všechny ${ displaystyle w ' in ker p, h v G}$ ,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} p (hw ') & = h cdot h ^ {- 1} { frac {1} { # G}} součet _ {g v G} g cdot p_ {0} cdot g ^ {- 1} (hw ') & = h cdot { frac {1} { # G}} sum _ {g v G} (h ^ {- 1} cdot g) cdot p_ {0} cdot (g ^ {- 1} h) w ' & = h cdot { frac {1} { # G}} součet _ {g v G } g cdot p_ {0} cdot g ^ {- 1} w ' & = h cdot p (w') & = 0 end {zarovnáno}}}$

tak ${ displaystyle w ' in ker p}$ to naznačuje ${ displaystyle hw ' in ker p}$ . Takže omezení ${ displaystyle rho _ {V}}$ na ${ displaystyle ker p}$ je také reprezentace.

Podle definice ${ displaystyle p}$ , pro všechny ${ displaystyle w in W}$ , ${ displaystyle p (w) = w}$ , tak ${ displaystyle W cap ker p = {0 }}$ a pro všechny ${ displaystyle v ve V}$ , ${ displaystyle p (p (v)) = p (v)}$ . Tím pádem, ${ displaystyle p (v-p (v)) = 0}$ , a ${ displaystyle v-p (v) v jádru p}$ . Proto, ${ displaystyle V = W oplus ker p}$ .

Modul-teoretický

Nechat PROTI být K.[G] -podmodul. To dokážeme PROTI je přímý součet. Nechat π být kdokoli K.-lineární projekce K.[G] na PROTI. Zvažte mapu

{ displaystyle { begin {cases} phi: K [G] až V phi (x) = { frac {1} { # G}} součet _ {s v G} s cdot pi (s ^ {- 1} cdot x) end {případy}}}

Pak φ je opět projekce: je to jasně K.-lineární, mapy K.[G] na PROTIa vyvolává identitu na PROTI. Navíc máme

{ displaystyle { begin {zarovnáno} phi (t cdot x) & = { frac {1} { # G}} součet _ {s v G} s cdot pi (s ^ {- 1} cdot t cdot x) & = { frac {1} { # G}} součet _ {u in G} t cdot u cdot pi (u ^ {- 1} cdot x) & = t cdot phi (x), end {zarovnáno}}}

tak φ je ve skutečnosti K.[G]-lineární. Podle rozdělovací lemma, ${ displaystyle K [G] = V oplus ker phi}$ . To dokazuje, že každý submodul je přímým součtem, tj. K.[G] je poloviční.

Konverzní prohlášení

Výše uvedený důkaz závisí na skutečnosti, že #G je invertibilní v K.. To by mohlo vést k otázce, zda platí i obrácení Maschkeho věty: pokud je charakteristika K. rozdělí pořadí G, následuje to K.[G] není poloviční? Odpověď je Ano.^[12]

Důkaz. Pro ${ displaystyle x = sum lambda _ {g} g v K [G]}$ definovat ${ displaystyle epsilon (x) = součet lambda _ {g}}$ . Nechat ${ displaystyle I = ker epsilon}$ . Pak Já je K.[G] -podmodul. Dokážeme to pro každý netriviální submodul PROTI z K.[G], ${ displaystyle I cap V neq 0}$ . Nechat PROTI být dán, a nechat ${ displaystyle v = sum mu _ {g} g}$ být libovolným nenulovým prvkem PROTI. Li ${ displaystyle epsilon (v) = 0}$ , nárok je okamžitý. Jinak nechte ${ displaystyle s = součet 1g}$ . Pak ${ displaystyle epsilon (s) = # G cdot 1 = 0}$ tak ${ displaystyle s v I}$ a

{ displaystyle sv = left ( sum 1g right) left ( sum mu _ {g} g right) = sum epsilon (v) g = epsilon (v) s}

aby ${ displaystyle sv}$ je nenulový prvek obou Já a PROTI. To dokazuje PROTI není přímým doplňkem Já pro všechny PROTI, tak K.[G] není poloviční.

Non-příklady

Věta nemůže platit pro případ, kdy G je nekonečný, nebo když je pole K. má charakteristiky dělení | G |. Například,

Zvažte nekonečnou skupinu ${ displaystyle mathbb {Z}}$ a reprezentace ${ displaystyle rho: mathbb {Z} až GL_ {2} ( mathbb {C})}$ definován ${ displaystyle rho (n) = { begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix}} ^ {n} = { begin {bmatrix} 1 & n 0 & 1 end {bmatrix}}}$ . Nechat ${ displaystyle W = mathbb {C} cdot { začátek {bmatrix} 1 0 konec {bmatrix}}}$ , jednorozměrný podprostor ${ displaystyle GL_ {2} ( mathbb {C})}$ překlenul ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}}}$ . Pak omezení ${ displaystyle rho}$ na Ž je triviální subreprezentace ${ displaystyle mathbb {Z}}$ . Neexistuje však žádný U takové, že oba W, U jsou dílčí zastoupení uživatele ${ displaystyle mathbb {Z}}$ a ${ displaystyle mathbb {Z} = W oplus U}$ : jakýkoli takový U musí být 1-rozměrný, ale jakýkoli 1-rozměrný podprostor zachován ${ displaystyle rho}$ musí být překlenuto vlastním vektorem pro ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix}}}$ a jediný vlastní vektor pro to je ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}}}$ .
Zvažte prvočíslo pa skupina ${ displaystyle mathbb {Z} / _ {p} mathbb {Z}}$ , pole ${ displaystyle K = mathbb {F} _ {p}}$ a reprezentace ${ displaystyle rho: mathbb {Z} / _ {p} mathbb {Z} až GL_ {2} ( mathbb {F} _ {p})}$ definován ${ displaystyle rho (n) = { začátek {bmatrix} 1 & n 0 & 1 konec {bmatrix}}}$ . Jednoduché výpočty ukazují, že existuje pouze jeden vlastní vektor ${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix}}}$ zde, tedy stejným argumentem, 1-dim subreprezentace ${ displaystyle mathbb {Z} / _ {p} mathbb {Z}}$ je jedinečný a ${ displaystyle mathbb {Z} / _ {p} mathbb {Z}}$ nelze rozložit na přímý součet dvou jednorozměrných subreprezentací.

Poznámky

^ Maschke, Heinrich (1898-07-22). „Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen“ [O aritmetickém charakteru koeficientů substitucí konečných lineárních substitučních skupin]. Matematika. Ann. (v němčině). 50 (4): 492–498. doi:10.1007 / BF01444297. JFM 29.0114.03. PAN 1511011.
^ Maschke, Heinrich (1899-07-27). „Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind“ [Důkaz věty, že ty konečné lineární substituční skupiny, ve kterých se všude objevují mizející koeficienty, jsou nepřechodné]. Matematika. Ann. (v němčině). 52 (2–3): 363–368. doi:10.1007 / BF01476165. JFM 30.0131.01. PAN 1511061.
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Heinrich Maschke“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
^ Fulton a Harris, Návrh 1.5.
^ Serre Věta 1.
^ Fulton a Harris Dodatek 1.6.
^ Serre Věta 2.
^ Z toho vyplývá, že každý modul skončil K.[G] je polojediný modul.
^ Konverzní výrok také platí: pokud charakteristika pole rozděluje pořadí skupiny ( modulární skříň), pak skupinová algebra není poloviční.
^ Počet sčítání lze vypočítat a ukáže se, že se rovná počtu třídy konjugace skupiny.
^ Jeden musí být opatrný, protože reprezentace se může rozkládat odlišně v různých polích: reprezentace může být neredukovatelná nad reálnými čísly, ale ne nad komplexními čísly.
^ Serre Cvičení 6.1.

Reference

Lang, Serge (2002-01-08). Algebra. Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované 3. vydání). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. PAN 1878556. Zbl 0984.00001.
Serre, Jean-Pierre (1977-09-01). Lineární reprezentace konečných skupin. Postgraduální texty z matematiky, 42. New York – Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90190-9. PAN 0450380. Zbl 0355.20006.
Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. PAN 1153249. OCLC 246650103.

[1] Maschke, Heinrich (1898-07-22). „Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen“ [O aritmetickém charakteru koeficientů substitucí konečných lineárních substitučních skupin]. Matematika. Ann. (v němčině). 50 (4): 492–498. doi:10.1007 / BF01444297. JFM 29.0114.03. PAN 1511011.

[2] Maschke, Heinrich (1899-07-27). „Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind“ [Důkaz věty, že ty konečné lineární substituční skupiny, ve kterých se všude objevují mizející koeficienty, jsou nepřechodné]. Matematika. Ann. (v němčině). 52 (2–3): 363–368. doi:10.1007 / BF01476165. JFM 30.0131.01. PAN 1511061.

[3] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Heinrich Maschke“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.

[FOOTNOTEFultonHarrisProposition_1.5-4] Fulton a Harris, Návrh 1.5.

[FOOTNOTESerreTheorem_1-5] Serre Věta 1.

[FOOTNOTEFultonHarrisCorollary_1.6-6] Fulton a Harris Dodatek 1.6.

[FOOTNOTESerreTheorem_2-7] Serre Věta 2.

[8] Z toho vyplývá, že každý modul skončil K.[G] je polojediný modul.

[9] Konverzní výrok také platí: pokud charakteristika pole rozděluje pořadí skupiny ( modulární skříň), pak skupinová algebra není poloviční.

[10] Počet sčítání lze vypočítat a ukáže se, že se rovná počtu třídy konjugace skupiny.

[11] Jeden musí být opatrný, protože reprezentace se může rozkládat odlišně v různých polích: reprezentace může být neredukovatelná nad reálnými čísly, ale ne nad komplexními čísly.

[FOOTNOTESerreExercise_6.1-12] Serre Cvičení 6.1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]