Monoid (teorie kategorií) - Monoid (category theory) - Wikipedia

v teorie kategorií, pobočka matematika, a monoidní (nebo monoidní objektnebo vnitřní monoidnebo algebra) (M, μ, η) v monoidní kategorie (C, ⊗, Já) je objekt M společně se dvěma morfismy

μ: M ⊗ M → M volala násobení,
η: Já → M volala jednotka,

tak, že pětiúhelník diagram

a unitorův diagram

dojíždět. Ve výše uvedeném zápisu Já je jednotkový prvek a α, λ a ρ jsou asociativita, levá identita a pravá identita monoidní kategorie C.

Duálně, a komonoid v monoidní kategorii C je monoid v duální kategorie C^op.

Předpokládejme, že monoidní kategorie C má symetrie y. Monoid M v C je komutativní když μ Ó y = μ.

Příklady

Monoidní objekt v Soubor, kategorie sad (s monoidní strukturou vyvolanou kartézský součin ), je monoidní v obvyklém smyslu.
Monoidní objekt v Horní, kategorie topologických prostorů (s monoidní strukturou vyvolanou topologie produktu ), je topologický monoid.
Monoidní objekt v kategorii monoidů (s přímý produkt monoidů) je jen a komutativní monoid. To snadno vyplývá z Argument Eckmann – Hilton.
Monoidní objekt v kategorii kompletní spojovací pololattice Sup (s monoidní strukturou vyvolanou karteziánským součinem) je unital kvantale.
Monoidní objekt v (Ab, ⊗_Z, Z ), kategorie abelianských skupin, je prsten.
Pro komutativní prsten R, monoidní objekt v
- (R-Mod, ⊗_R, R), kategorie modulů přes R, je R-algebra.
- kategorie odstupňované moduly je odstupňované R-algebra.
- the kategorie komplexů řetězů z R-modules je a diferenciálně odstupňovaná algebra.
Monoidní objekt v K.-Vect, kategorie K.-vektorové mezery (opět s tenzorovým produktem), je a K.-algebra a komonoidní objekt je a K.-uhlígebra.
Pro jakoukoli kategorii C, kategorie [C,C] jeho endofunktory má monoidní strukturu vyvolanou složením a identitou funktor Já_C. Monoidní objekt v [C,C] je monad na C.
Pro jakoukoli kategorii s konečné výrobky, každý objekt se stává komonoidním objektem prostřednictvím diagonálního morfismu ${ displaystyle Delta _ {X}: X až X krát X}$ . Duálně v kategorii s konečné koprodukty každý objekt se stává monoidním objektem prostřednictvím ${ displaystyle id_ {X} sqcup id_ {X}: X sqcup X až X}$ .

Kategorie monoidů

Vzhledem k tomu, dva monoidy (M, μ, η) a (M ', μ ', η ') v kategorii monoidů Cmorfismus F : M → M ' je morfismus monoidů když

F Ó μ = μ ' Ó (F ⊗ F),
F Ó η = η '.

Jinými slovy, následující diagramy

,

dojíždět.

Kategorie monoidů v C a jejich monoidní morfismy jsou napsány Pondělí_C.^[1]

Viz také

Act-S, kategorie monoidů působících na sety

Reference

^ Oddíl VII.3 v Mac Lane, Saunders (1988). Kategorie pro pracujícího matematika (4. kor. Tisk. Vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90035-7.

Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoidy, činy a kategorie (2000), Walter de Gruyter, Berlín ISBN 3-11-015248-7

[1] Oddíl VII.3 v Mac Lane, Saunders (1988). Kategorie pro pracujícího matematika (4. kor. Tisk. Vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90035-7.

[1]