Eisensteinovo celé číslo - Eisenstein integer

Eisensteinova celá čísla jako průsečíky trojúhelníkové mřížky v komplexní rovině

v matematika, Eisensteinova celá čísla (pojmenoval podle Gotthold Eisenstein ), občas také známý^[1] tak jako Eulerian celá čísla (po Leonhard Euler ), jsou komplexní čísla formuláře

{ displaystyle z = a + b omega,}

kde $A$ a $b$ jsou celá čísla a

{ displaystyle omega = { frac {-1 + i { sqrt {3}}} {2}} = e ^ { frac {2 pi i} {3}}}

je primitivní (tedy nereálné) krychle kořen jednoty. Eisensteinova celá čísla tvoří a trojúhelníková mříž v složité letadlo, na rozdíl od Gaussova celá čísla, které tvoří a čtvercová mříž v komplexní rovině. Eisensteinova celá čísla jsou a spočetně nekonečná množina.

Vlastnosti

Eisensteinova celá čísla tvoří a komutativní prsten z algebraická celá čísla v algebraické číslo pole $ℚ (ω)$ - třetí cyklotomické pole. Všimněte si, že celá Eisensteinova celá čísla jsou algebraická celá čísla $z = a + b ω$ je kořenem monický polynom

{ displaystyle z ^ {2} - (2 , a-b) , z + vlevo (a ^ {2} -a , b + b ^ {2} vpravo) ~.}

Zejména, $ω$ splňuje rovnici

{ displaystyle omega ^ {2} + omega + 1 = 0 ~.}

Produkt dvou celých čísel Eisenstein $a + b ω$ a $c + d ω$ je dán výslovně uživatelem

{ Displaystyle (a + b , omega) , (c + d , omega) = (a , cb , d) + (b , c + a , db , d) , omega ~.}

Norma Eisensteinova čísla je pouze druhou mocninou jejího modul, a je dán

{ displaystyle { left | a + b , omega right |} ^ {2} , = , {(a - { tfrac {1} {2}} b)} ^ {2} + { tfrac {3} {4}} b ^ {2} , = , a ^ {2} -a , b + b ^ {2} ~,}

což je jasně kladné obyčejné (racionální) celé číslo.

Také komplexní konjugát z $ω$ splňuje

{ displaystyle { bar { omega}} = omega ^ {2} ~.}

The skupina jednotek v tomto kruhu je cyklická skupina tvořil šestý kořeny jednoty v komplexní rovině: ${ displaystyle left { pm 1, pm omega, pm omega ^ {2} doprava } ~,}$ Eisensteinova celá čísla normy 1.

Eisensteinovy prvočísla

Malé Eisensteinovy prvočísla.

Li $X$ a $y$ jsou Eisensteinova celá čísla, říkáme to $X$ rozděluje $y$ pokud existuje nějaké Eisensteinovo celé číslo $z$ takhle $y = zx$ . Nejednotkové Eisensteinovo celé číslo $X$ se říká, že je Eisenstein prime pokud jsou jediní nejednotkoví dělitelé ve formě $ux$ , kde $u$ je některá ze šesti jednotek.

Existují dva typy Eisensteinových prvočísel. Nejprve obyčejný prvočíslo (nebo racionální prime) což odpovídá 2 mod 3 je také vrcholem Eisensteinu. Za druhé, 3 a jakýkoli racionální prime shodný s 1 mod 3 se rovná normě $X 2 - xy + y 2$ Eisenteinova čísla $X + ωy$ . Takový prime může být tedy započítán jako $(X + ωy)(X + ω 2 y)$ , a tyto faktory jsou Eisensteinova prvočísla: jsou to přesně Eisensteinova celá čísla, jejichž normou je racionální prime.

Euklidovská doména

Kruh Eisensteinových celých čísel tvoří a Euklidovská doména jehož norma $N$ je dáno čtvercovým modulem, jak je uvedeno výše:

{ displaystyle N (a + b , omega) = a ^ {2} -ab + b ^ {2}.}

A algoritmus dělení, aplikované na jakoukoli dividendu ${ displaystyle alpha}$ a dělitel ${ displaystyle beta neq 0}$ , dává kvocient ${ displaystyle kappa}$ a zbytek ${ displaystyle rho}$ menší než dělitel, uspokojující:

{ displaystyle alpha = kappa beta + rho { text {s}} N ( rho)

Tady ${ displaystyle alpha, beta, kappa, rho}$ jsou všechna Eisensteinova celá čísla. Tento algoritmus implikuje Euklidovský algoritmus, což dokazuje Euklidovo lemma a jedinečná faktorizace celých čísel Eisensteina do Eisensteinových prvočísel.

Jeden algoritmus dělení je následující. Nejprve proveďte dělení v oblasti komplexních čísel a zapište kvocient ve smyslu ω:

{ displaystyle { frac { alpha} { beta}} = { tfrac {1} { | beta | ^ {2}}} alpha { overline { beta}} = a + bi = a + { tfrac {1} { sqrt {3}}} b + { tfrac {2} { sqrt {3}}} b omega,}

za racionální ${ displaystyle a, b in mathbb {Q}}$ . Poté získáte Eisensteinův celočíselný kvocient zaokrouhlením racionálních koeficientů na nejbližší celé číslo:

{ displaystyle kappa = left lfloor a + { tfrac {1} { sqrt {3}}} b right rceil + left lfloor { tfrac {2} { sqrt {3}}} b right rceil omega { text {and}} rho = { alpha} - kappa beta.}

Tady ${ displaystyle lfloor x rceil}$ může označovat kterýkoli ze standardů zaokrouhlování - na celočíselné funkce.

Důvod, proč to vyhovuje ${ displaystyle N ( rho)$ , zatímco analogický postup u většiny ostatních selže kvadratické celé číslo kroužky, je následující. Základní doména pro ideál ${ displaystyle mathbb {Z} [ omega] beta = mathbb {Z} beta + mathbb {Z} omega beta}$ , působící překlady na komplexní rovině, je kosočtverec 60 ° - 120 ° s vrcholy ${ displaystyle 0, beta, omega beta, beta {+} omega beta}$ . Jakékoli Eisensteinovo celé číslo α leží uvnitř jednoho z překladů tohoto rovnoběžníku a kvocientu κ je jedním z jeho vrcholů. Zbývající část je čtvercová vzdálenost od α k tomuto vrcholu, ale maximální možná vzdálenost v našem algoritmu je pouze ${ displaystyle { tfrac { sqrt {3}} {2}} | beta |}$ , tak ${ displaystyle | rho | leq { tfrac { sqrt {3}} {2}} | beta | <| beta |}$ . (Velikost ρ lze mírně snížit užíváním κ být nejbližší roh.)

Kvocient z $C$ podle Eisensteinových celých čísel

The kvocient komplexní roviny $C$ podle mříž obsahující všechna Eisensteinova celá čísla je a komplexní torus skutečné dimenze 2. Toto je jeden ze dvou tori s maximem symetrie mezi všemi tak složitými tori.^{[Citace je zapotřebí ]} Tento torus lze získat identifikací každého ze tří párů protilehlých okrajů pravidelného šestiúhelníku. (Druhý maximálně symetrický torus je kvocient komplexní roviny aditivní mřížkou Gaussova celá čísla, a lze jej získat identifikací každé ze dvou dvojic protilehlých stran čtvercové základní domény, například [0,1] × [0,1].)

Viz také

Poznámky

^ Surányi, László (1997). Algebra. TYPOTEX. str. 73. a Szalay, Mihály (1991). Számelmélet. Tankönyvkiadó. str. 75. oba nazývají tato čísla „Euler-egészek“, tj. Eulerianova celá čísla. Ten tvrdí, že Euler s nimi pracoval jako důkaz.

externí odkazy

Eisensteinovo celé číslo - z MathWorld

[euler-name-1] Surányi, László (1997). Algebra. TYPOTEX. str. 73. a Szalay, Mihály (1991). Számelmélet. Tankönyvkiadó. str. 75. oba nazývají tato čísla „Euler-egészek“, tj. Eulerianova celá čísla. Ten tvrdí, že Euler s nimi pracoval jako důkaz.

[1]

Systolická geometrie
1-systoly povrchů	Nerovnost torusu Loewnera Pu je nerovnost Domněnka o vyplnění oblasti Povrch Bolza Systoly povrchů Eisensteinova celá čísla
1-systoly potrubí	Gromovova systolická nerovnost pro základní potrubí Základní potrubí Poloměr plnění Hermitova konstanta
Vyšší systoly	Gromovova nerovnost pro složitý projektivní prostor Systolická svoboda Systolická kategorie