Λ-kroužek - λ-ring - Wikipedia

v algebra, a λ-kroužek nebo lambda prsten je komutativní prsten společně s některými operacemi λⁿ na tom se chovají jako vnější síly z vektorové prostory. Mnoho prstenů uvažovaných v K-teorie nést přirozenou strukturu λ-kruhu. λ-kroužky také poskytují silný formalizmus pro studium akce symetrické funkce na kruh polynomů, obnovení a rozšíření mnoha klasických výsledků (Lascoux (2003) ).

λ-kroužky byly zavedeny Grothendieck  (1957, 1958, str.148). Více o λ-kroužcích viz Atiyah & Tall (1969), Knutson (1973), Hazewinkel (2009) a Yau (2010).

Motivace

Li PROTI a Ž jsou konečné -dimenzionální vektorové prostory nad a pole k, pak můžeme vytvořit přímý součet PROTI ⊕ Ž, tenzorový produkt PROTI ⊗ Ža n-th vnější síla z PROTI, Λⁿ(PROTI). Všichni jsou opět konečnými trojrozměrnými vektorovými prostory k. Při práci jsou k dispozici stejné tři operace přímého součtu, tenzorového produktu a vnější energie k-lineární reprezentace a konečná skupina, při práci s vektorové svazky přes některé topologický prostor a v obecnějších situacích.

λ-kroužky jsou navrženy tak, aby abstrahovaly společné algebraické vlastnosti těchto tří operací, kde také dovolujeme formální inverze vzhledem k operaci přímého součtu. (Tyto formální inverze se také objevují v Grothendieck skupiny, což je důvod, proč základní aditivní skupiny většiny λ-kruhů jsou Grothendieckovy skupiny.) Sčítání v kruhu odpovídá přímému součtu, násobení v kruhu odpovídá tenzorovému součinu a λ-operace vnějším mocnostem. Například izomorfismus

${ displaystyle Lambda ^ {2} (V oplus W) cong Lambda ^ {2} (V) oplus left ( Lambda ^ {1} (V) otimes Lambda ^ {1} (W ) right) oplus Lambda ^ {2} (W)}$

odpovídá vzorci

${ displaystyle lambda ^ {2} (x + y) = lambda ^ {2} (x) + lambda ^ {1} (x) lambda ^ {1} (y) + lambda ^ {2} (y)}$

platí ve všech λ-kruzích a izomorfismus

${ displaystyle Lambda ^ {1} (V otimes W) cong Lambda ^ {1} (V) otimes Lambda ^ {1} (W)}$

odpovídá vzorci

${ displaystyle lambda ^ {1} (xy) = lambda ^ {1} (x) lambda ^ {1} (y)}$

platí pro všechny λ-kroužky. Analogické, ale (mnohem) komplikovanější vzorce řídí λ-operátory vyššího řádu.

Motivace s vektorovými svazky

Pokud máme krátká přesná sekvence vektorových svazků nad a hladké schéma ${ displaystyle X}$

${ displaystyle 0 to { mathcal {E}} '' to { mathcal {E}} to { mathcal {E}} ' to 0,}$

pak lokálně, pro dostatečně malé otevřené sousedství ${ displaystyle U}$ máme izomorfismus

${ displaystyle bigwedge ^ {n} { mathcal {E}} | _ {U} cong bigoplus _ {i + j = n} bigwedge ^ {i} { mathcal {E}} '| _ { U} otimes bigwedge ^ {j} { mathcal {E}} '' | _ {U}}$

Nyní, v Grothendieckova skupina ${ displaystyle K (X)}$ získáváme tuto lokální rovnici globálně zdarma, od definování ekvivalenční vztahy. Tak

${ displaystyle { begin {aligned} left [ bigwedge ^ {n} { mathcal {E}} right] & = left [ bigoplus _ {i + j = n} bigwedge ^ {i} { mathcal {E}} ' otimes bigwedge ^ {j} { mathcal {E}}' ' right] & = sum _ {i + j = n} left [ bigwedge ^ {i} { mathcal {E}} ' right] cdot left [ bigwedge ^ {j} { mathcal {E}}' ' right] end {zarovnáno}}}$

demonstrovat základní vztah v λ-kruhu, že λⁿ(X + y) = Σ_i+j=n λⁱ(X) λ^j(y).^[1]

Definice

Λ-kruh je komutativní kruh R společně s operacemi λⁿ : R → R pro každou nezápornou celé číslo n. Tyto operace musí mít následující vlastnosti platné pro všechny X, y v R a všechno n, m ≥ 0:

• λ⁰(X) = 1
• λ¹(X) = x
• λⁿ(1) = 0, pokud n ≥ 2
• λⁿ(X + y) = Σ_i+j=n λⁱ(X) λ^j(y)
• λⁿ(xy) = P_n(λ¹(X), ..., λⁿ(X), λ¹(y), ..., λⁿ(y))
• λⁿ(λ^m(X)) = P_n,m(λ¹(X), ..., λ^mn(X))

kde P_n a P_{n, m} jsou určité univerzální polynomy s celočíselnými koeficienty, které popisují chování vnějších sil na tenzorových produktech a při složení. Tyto polynomy lze definovat následovně.

Nechat E₁, ..., E_mn být elementární symetrické polynomy v proměnných X₁, ..., X_mn. Pak P_n,m je jedinečný polynom v nm proměnné s celočíselnými koeficienty takové, že P_{n, m}(E₁, ..., E_mn) je koeficient tⁿ ve výrazu

${ displaystyle prod _ {1 leq i_ {1}$  

(Takový polynom existuje, protože výraz je v X_i a elementární symetrické polynomy generují všechny symetrické polynomy.)

Tak teď E₁, ..., E_n být elementární symetrické polynomy v proměnných X₁, ..., X_n a F₁, ..., F_n být elementární symetrické polynomy v proměnných Y₁, ..., Y_n. Pak P_n je jedinečný polynom ve 2n proměnné s celočíselnými koeficienty takové, že P_n(E₁, ..., E_n, F₁, ..., F_n) je koeficient tⁿ ve výrazu

${ displaystyle prod _ {i, j = 1} ^ {n} (1 + tX_ {i} Y_ {j})}$

Variace

Λ-kroužky definované výše se u některých autorů nazývají „speciální λ-kroužky“, kteří používají výraz „λ-kroužek“ pro obecnější pojetí, kde podmínky na λⁿ(1), λⁿ(xy) a λ^m(λⁿ(X)) jsou zrušeny.

Příklady

• Prsten Z z celá čísla, s binomické koeficienty ${ displaystyle lambda ^ {n} (x) = {x zvolit n}}$ jako operace (které jsou také definovány pro negativní X) je λ-kruh. Ve skutečnosti je to jediná struktura λ Z. Tento příklad úzce souvisí s případem konečných trojrozměrných vektorových prostorů uvedených v Motivace sekce, identifikace každého vektorového prostoru s jeho dimenzí a zapamatování si toho ${ displaystyle dim ( Lambda ^ {n} (k ^ {x})) = {x zvolit n}}$.
• Obecněji libovolné binomický prsten stane se λ-kroužkem, pokud definujeme λ-operace jako binomické koeficienty, λⁿ(X) = (^X
  _n). V těchto λ-kruzích všechny Adamsovy operace jsou identita.
• The K-teorie K (X) a topologický prostor X je λ-kruh, s lambda operacemi indukovanými převzetím vnějších sil vektorového svazku.
• Vzhledem k tomu, skupina G a základní pole k, reprezentační prsten R(G) je λ-kruh; λ-operace jsou indukovány vnějšími silami k-lineární reprezentace skupiny G.
• The prsten Λ_Z symetrických funkcí je λ-kruh. Na celočíselných koeficientech jsou operace λ definovány binomickými koeficienty, jak je uvedeno výše, a pokud E₁, E₂, ... označujeme elementární symetrické funkce, nastavíme λⁿ(E₁) = E_n. Použití axiomů pro operace λ a skutečnost, že funkce E_k jsou algebraicky nezávislý a vygenerovat prsten Λ_Z, tuto definici lze rozšířit jedinečným způsobem tak, aby se otočil Λ_Z do λ-kruhu. Ve skutečnosti se jedná o volný λ-kroužek na jednom generátoru, generátor je E₁. (Yau (2010, s. 14)).

Další vlastnosti a definice

Každý prsten λ má charakteristický 0 a obsahuje λ-kruh Z jako λ-podřetězec.

Mnoho představ o komutativní algebra lze rozšířit na λ-kroužky. Například λ-homomorfismus mezi λ-kroužky R a S je kruhový homomorfismus f: R → S takhle F(λⁿ(X)) = λⁿ(F(X)) pro všechny X v R a všechno n ≥ 0. A λ-ideální v λ-kruhu R je ideál Já v R takové, že λⁿ(X) ϵ Já pro všechny X v R a všechno n ≥ 1.

Li X je prvek λ-kruhu a m nezáporné celé číslo takové, že λ^m(X) ≠ 0 a λⁿ(X) = 0 pro všechny n > m, píšeme matně (X) = m a zavolat prvek X konečně-dimenzionální. Ne všechny prvky musí být konečně trojrozměrné. Máme matný (x + y) ≤ ztlumit(X) + ztlumit (y) a produkt 1-rozměrný prvků je 1-rozměrný.

Viz také

• Třída Chern

Reference

• Atiyah, M. F .; Tall, D. O. (1969), „Skupinové reprezentace, λ-kroužky a J-homomorfismus.“, Topologie, 8: 253–297, doi:10.1016/0040-9383(69)90015-9, PAN  0244387
• Expo 0 a V z Berthelot, Pierre; Alexandre Grothendieck; Luc Illusie, eds. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Přednášky z matematiky 225) (francouzsky). Berlín; New York: Springer-Verlag. xii + 700. doi:10.1007 / BFb0066283. ISBN  978-3-540-05647-8. PAN  0354655.
• Grothendieck, Alexander (1957), „Speciální λ-kroužky“, Nepublikovaný
• Grothendieck, Alexander (1958), „La théorie des classes de Chern“, Býk. Soc. Matematika. Francie, 86: 137–154, PAN  0116023
• Hazewinkel, Michiel (2009), "Wittovy vektory. I.", Příručka algebry. Sv. 6, Amsterdam: Elsevier / Severní Holandsko, s. 319–472, arXiv:0804.3888, doi:10.1016 / S1570-7954 (08) 00207-6, ISBN  978-0-444-53257-2, PAN  2553661
• Knutson, Donald (1973), λ-kroužky a teorie reprezentace symetrické skupinyPřednášky z matematiky, 308, Berlín-New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0069217, PAN  0364425
• Lascoux, Alain (2003), Symetrické funkce a kombinatorické operátory na polynomech (PDF), CBMS reg. Konf. Ser. v matematice. 99, American Mathematical Society
• Soulé, C .; Abramovich, Dan; Burnol, J.-F .; Kramer, Jürg (1992). Přednášky o Arakelovově geometrii. Cambridge studia pokročilé matematiky. 33. Společná práce s H. Gilletem. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-47709-3. Zbl  0812.14015.
• Yau, Donald (2010), Lambda kroužky Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., doi:10.1142/7664, ISBN  978-981-4299-09-1, PAN  2649360