Kvadratické celé číslo - Quadratic integer - Wikipedia

v teorie čísel, kvadratická celá čísla jsou zobecněním celá čísla na kvadratická pole. Kvadratická celá čísla jsou algebraická celá čísla stupně dva, tedy řešení rovnic tvaru

X 2 + bx + C = 0

s $b$ a $C$ celá čísla. Když vezmeme v úvahu algebraická celá čísla, obvykle se nazývají obvyklá celá čísla racionální celá čísla.

Běžnými příklady kvadratických celých čísel jsou druhé odmocniny celých čísel, například $\sqrt 2$ a komplexní číslo $i = \sqrt -1$ , který generuje Gaussova celá čísla. Dalším běžným příkladem je nerealistický krychlový kořen jednoty $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} -1 + \sqrt -3 / 2$ , který generuje Eisensteinova celá čísla.

Kvadratická celá čísla se vyskytují v řešení mnoha Diophantine rovnice, jako Pellovy rovnice a další otázky týkající se integrálu kvadratické formy. Studium kroužky kvadratických celých čísel je základní pro mnoho otázek o algebraická teorie čísel.

Dějiny

Středověký Indičtí matematici už objevil násobení kvadratických celých čísel stejných $D$ , což jim umožnilo vyřešit některé případy Pellova rovnice.^{[Citace je zapotřebí ]}

Charakterizace uvedená v § Výslovné zastoupení kvadratických celých čísel byla nejprve dána Richard Dedekind v roce 1871.^[1]^[2]

Definice

A kvadratické celé číslo je algebraické celé číslo stupně dva. Přesněji řečeno, je to komplexní číslo ${ displaystyle x = { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4c}}} {2}}}$ , který řeší rovnici tvaru $X 2 + bx + C = 0$ , s b a C celá čísla. Každé kvadratické celé číslo, které není celé číslo, není Racionální - jmenovitě, je to skutečné iracionální číslo -li $b 2 - 4 C > 0$ a nereálné, pokud $b 2 - 4 C < 0$ —A spočívá v jednoznačně určeném kvadratické pole ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ , rozšíření ${ displaystyle mathbb {Q}}$ generované druhou odmocninou jedinečnosti celé číslo bez čtverců $D$ to uspokojuje $b 2 - 4 C = De 2$ pro celé číslo $E$ . Li $D$ je kladné, kvadratické celé číslo je skutečné. Pokud D <0, je imaginární (to je složité a nereálné).

Kvadratická celá čísla (včetně běžných celých čísel), která patří do kvadratického pole ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ , pro muže integrální doména volal kruh celých čísel ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}}).}$

Ačkoli kvadratická celá čísla patřící k danému kvadratickému poli tvoří a prsten, soubor Všechno kvadratická celá čísla není prsten, protože není uzavřen pod přidání nebo násobení. Například, ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}$ a ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ jsou kvadratická celá čísla, ale ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}} + { sqrt {3}}}$ a ${ displaystyle (1 + { sqrt {2}}) cdot { sqrt {3}}}$ nejsou, jako jejich minimální polynomy mít titul čtyři.

Výslovné vyjádření

Tady a v následujícím jsou kvadratická celá čísla, která jsou považována za a kvadratické pole ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}}),}$ kde $D$ je celé číslo bez čtverců. To neomezuje obecnost jako rovnost $\sqrt A 2 D = A \sqrt D$ (pro jakékoli kladné celé číslo $A$ ) naznačuje ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}}) = mathbb {Q} ({ sqrt {a ^ {2} D}}).}$

Prvek $X$ z ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ je kvadratické celé číslo právě tehdy, když existují dvě celá čísla $A$ a $b$ takové, že buď

{ displaystyle x = a + b { sqrt {D}},}

nebo když $D - 1$ je násobkem $4$

{ displaystyle x = { frac {a} {2}} + { frac {b} {2}} { sqrt {D}},}

s

A

a

b

oba zvláštní

Jinými slovy může být zapsáno každé kvadratické celé číslo $A + ωb$ , kde $A$ a $b$ jsou celá čísla a kde $ω$ je definováno:

{ displaystyle omega = { begin {cases} { sqrt {D}} & { mbox {if}} D equiv 2,3 { pmod {4}} {{1 + { sqrt { D}}} nad 2} & { mbox {if}} D equiv 1 { pmod {4}} end {cases}}}

(tak jako $D$ měl být případ bez čtverců ${ displaystyle D equiv 0 { pmod {4}}}$ je nemožné, protože by to znamenalo, že D by bylo dělitelné čtvercem 4).^[3]

Norma a konjugace

Kvadratické celé číslo v ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ lze psát

A + b \sqrt D

,

kde $A$ a $b$ jsou buď celá celá čísla, nebo, pouze pokud $D \equiv 1 (mod 4)$ , oba poloviny lichých celých čísel. The norma takového kvadratického celého čísla je

N (A + b \sqrt D) = A 2 - Db 2

.

Norma kvadratického celého čísla je vždy celé číslo. Li $D < 0$ , normou kvadratického celého čísla je druhá mocnina absolutní hodnota jako komplexní číslo (toto je nepravdivé, pokud $D > 0$ ). Norma je a zcela multiplikativní funkce, což znamená, že norma produktu kvadratických celých čísel je vždy produktem jejich norem.

Každé kvadratické celé číslo $A + b \sqrt D$ má sdružené

{ displaystyle { overline {a + b { sqrt {D}}}} = a-b { sqrt {D}}.}

Kvadratické celé číslo má stejnou normu jako jeho konjugát a tato norma je produktem kvadratického celého čísla a jeho konjugátu. Konjugát součtu nebo součin kvadratických celých čísel je součet nebo součin konjugátů. To znamená, že konjugace je automorfismus kruhu celých čísel ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ -vidět § Kvadratické celočíselné kroužky níže.

Kvadratické celočíselné kroužky

Každý celé číslo bez čtverců (liší se od 0 a 1) $D$ definuje a kvadratický celočíselný kruh, který je integrální doména skládající se z algebraická celá čísla obsaženo v ${ displaystyle mathbf {Q} ({ sqrt {D}}).}$ To je sada $Z [ω] = {A + ωb : A, b \in Z},$ kde ${ displaystyle omega = { tfrac {1 + { sqrt {D}}} {2}}}$ -li $D = 4 k +1$ , a $ω = \sqrt D$ v opačném případě. Často se označuje ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {D}})}}$ , protože to je kruh celých čísel z $Q (\sqrt D$ ), který je integrální uzávěr z $Z$ v ${ displaystyle mathbf {Q} ({ sqrt {D}}).}$ Prsten $Z [ω]$ se skládá ze všech kořenů všech rovnic $X 2 + Bx + C = 0$ jehož diskriminující $B 2 - 4 C$ je produktem $D$ čtvercem celého čísla. Zejména √D patří $Z [ω]$ , je kořenem rovnice $X 2 - D = 0$ , který má $4 D$ jako jeho diskriminující.

The odmocnina jakéhokoli celého čísla je kvadratické celé číslo, protože lze zapsat každé celé číslo $n = m 2 D$ , kde $D$ je celé číslo bez odmocniny a jeho druhá odmocnina je odmocninou z $X 2 - m 2 D = 0$ .

The základní teorém aritmetiky není pravda v mnoha kruzích kvadratických celých čísel. Existuje však jedinečná faktorizace pro ideály, což je vyjádřeno skutečností, že každý kruh algebraických celých čísel je a Dedekind doména. Kvůli nejjednodušším příkladům algebraických celých čísel jsou kvadratická celá čísla běžným výchozím příkladem většiny studií algebraická teorie čísel.^[4]

Kvadratické celočíselné kruhy se dělí na dvě třídy v závislosti na znaménku $D$ . Li $D > 0$ , všechny prvky ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {D}})}}$ jsou skutečné a prsten je skutečný kvadratický celočíselný kruh. Li $D < 0$ , jediné skutečné prvky ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {D}})}}$ jsou obyčejná celá čísla a kruh je a komplexní kvadratický celočíselný kruh.

U skutečných kvadratických celočíselných kruhů je číslo třídy, který měří selhání jedinečné faktorizace, je uveden v OEIS A003649; pro imaginární případ jsou uvedeny v OEIS A000924.

Jednotky

Kvadratické celé číslo je a jednotka v kruhu celých čísel ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ právě když je jeho norma $1$ nebo $-1$ . V prvním případě jeho multiplikativní inverzní je jeho konjugát. Jedná se o negaci jeho konjugátu ve druhém případě.

Li $D < 0$ , kruh celých čísel ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ má maximálně šest jednotek. V případě Gaussova celá čísla ( $D = -1$ ), čtyři jednotky jsou $1, -1, \sqrt -1, - \sqrt -1$ . V případě Eisensteinova celá čísla ( $D = -3$ ), šest jednotek je $\pm1, \pm1 \pm \sqrt -3 / 2$ . Pro všechny ostatní negativní $D$ , existují pouze dvě jednotky, které jsou $1$ a $-1$ .

Li $D > 0$ , kruh celých čísel ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ má nekonečně mnoho jednotek, které se rovnají $\pm u i$ , kde $i$ je libovolné celé číslo a $u$ je konkrétní jednotka zvaná a základní jednotka. Vzhledem k základní jednotce $u$ , existují tři další základní jednotky, její konjugát ${ displaystyle { overline {u}},}$ a také ${ displaystyle -u}$ a ${ displaystyle - { overline {u}}.}$ Běžně se volá the základní jednotka, jedinečná jednotka, která má absolutní hodnotu větší než 1 (jako reálné číslo). Jedná se o jedinečnou základní jednotku, kterou lze zapsat jako $A + b \sqrt D$ , s $A$ a $b$ kladné (celá čísla nebo poloviny celých čísel).

Základní jednotky pro 10 nejmenších kladných čtverců zdarma $D$ jsou $1 + \sqrt 2$ , $2 + \sqrt 3$ , $1 + \sqrt 5 / 2$ (dále jen Zlatý řez ), $5 + 2 \sqrt 6$ , $8 + 3 \sqrt 7$ , $3 + \sqrt 10$ , $10 + 3 \sqrt 11$ , $3 + \sqrt 13 / 2$ , $15 + 4 \sqrt 14$ , $4 + \sqrt 15$ . Pro větší $D$ , koeficienty základní jednotky mohou být velmi velké. Například pro $D = 19, 31, 43$ , základní jednotky jsou příslušně $170 + 39 \sqrt 19$ , $1520 + 273 \sqrt 31$ a $3482 + 531 \sqrt 43$ .

Příklady komplexních kvadratických celočíselných kruhů

Gaussova celá čísla

Eisensteinovy prvočísla

Pro $D$ <0, ω je komplex (imaginární nebo jinak nereálné) číslo. Proto je přirozené zacházet s kvadratickým celým číslem jako s množinou algebraických znaků komplexní čísla.

Klasickým příkladem je ${ displaystyle mathbf {Z} [{ sqrt {-1}}]}$ , Gaussova celá čísla, který představil Carl Gauss kolem roku 1800, aby stanovil svůj zákon o vzájemnosti ve dvojkvadratu.^[5]
Prvky v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {-3}})} = mathbf {Z} left [{{1 + { sqrt {-3}}} nad 2} vpravo]}$ jsou nazývány Eisensteinova celá čísla.

Oba výše uvedené kroužky jsou kroužky celých čísel cyklotomická pole Q(ζ₄) a Q(ζ₃) odpovídajícím způsobem. Naproti tomu Z[√−3] není ani a Dedekind doména.

Oba výše uvedené příklady jsou hlavní ideální prsteny a také Euklidovské domény pro normu. To není případ

{ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {-5}})} = mathbf {Z} doleva [{ sqrt {-5}} doprava],}

což není ani a jedinečná faktorizační doména. To lze ukázat následovně.

v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {-5}})}}}$ my máme

{ displaystyle 9 = 3 cdot 3 = (2 + { sqrt {-5}}) (2 - { sqrt {-5}}).}

Faktory 3, ${ displaystyle 2 + { sqrt {-5}}}$ a ${ displaystyle 2 - { sqrt {-5}}}$ jsou neredukovatelné, jelikož mají všechny normu 9, a pokud by nebyli neredukovatelní, měli by faktor 3, což je nemožné, normu prvku odlišného od $\pm1$ být alespoň 4. Tedy faktorizace 9 na neredukovatelné faktory není jedinečná.

The ideály ${ displaystyle langle 3,1 + { sqrt {-5}} rangle}$ a ${ displaystyle langle 3,1 - { sqrt {-5}} rangle}$ nejsou ředitel školy, protože jednoduchý výpočet ukazuje, že jejich produkt je ideál generovaný 3, a pokud by byly principiální, znamenalo by to, že 3 by nebyly neredukovatelné.

Příklady skutečných kvadratických celočíselných kruhů

Síly zlatého řezu

Pro $D > 0$ , $ω$ je pozitivní iracionální reálné číslo a odpovídající kvadratický celočíselný kruh je množina algebraických reálná čísla. Řešení Pellova rovnice $X 2 - D Y 2 = 1$ , a Diophantine rovnice které byly široce studovány, jsou Jednotky těchto prstenů, pro $D \equiv 2, 3 (mod 4)$ .

Pro $D = 5$ , $ω = 1+ \sqrt 5 / 2$ je Zlatý řez. Tento prsten studoval Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Jeho jednotky mají formu $\pm ω n$ , kde $n$ je libovolné celé číslo. Tento prsten také vychází z pětinásobného studia rotační symetrie například v euklidovské rovině Penroseovy obklady.^[6]
Indický matematik Brahmagupta zpracoval Pellovu rovnici $X 2 - 61 Y 2 = 1$ , což odpovídá kruhu $Z [\sqrt 61]$ . Některé výsledky představil evropskému společenství Pierre Fermat v roce 1657.^{[který? ]}

Hlavní kroužky kvadratických celých čísel

Unikátní faktorizace vlastnost není vždy ověřena pro kroužky kvadratických celých čísel, jak je vidět výše pro případ $Z [\sqrt -5]$ . Jako pro všechny Dedekind doména, kruh kvadratických celých čísel je a jedinečná faktorizační doména právě když je to hlavní ideální doména. K tomu dochází tehdy a jen tehdy, když číslo třídy odpovídajících kvadratické pole je jedna.

Imaginární prstence kvadratických celých čísel, která jsou hlavními ideálními prsteny, byla zcela určena. Tyto jsou ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {D}})}}$ pro

D = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163

.

Tento výsledek nejprve předpokládal Gauss a prokázáno Kurt Heegner, ačkoli Heegnerův důkaz nebyl věřil, dokud Harold Stark dal pozdější důkaz v roce 1967. (Viz Stark – Heegnerova věta.) Toto je speciální případ slavného problém s číslem třídy.

Existuje mnoho známých kladných celých čísel $D > 0$ , pro který je kruh kvadratických celých čísel hlavním ideálním kruhem. Úplný seznam však není znám; není ani známo, zda je počet těchto hlavních ideálních prstenů konečný nebo ne.

Euklidovské kruhy kvadratických celých čísel

Když je kruh kvadratických celých čísel a hlavní ideální doména, je zajímavé vědět, zda se jedná o Euklidovská doména. Tento problém byl zcela vyřešen následovně.

Vybaveno normou ${ displaystyle N (a + b { sqrt {D}}) = a ^ {2} -Db ^ {2}}$ jako Euklidovská funkce, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {Q} ({ sqrt {D}})}}$ je euklidovská doména pro negativní $D$ když

D = -1, -2, -3, -7, -11

,^[7]

a pozitivně $D$ , když

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73

(sekvence A048981 v OEIS ).

Neexistuje žádný další kruh kvadratických celých čísel, který by byl euklidovský s normou jako euklidovská funkce.^[8]

Pro negativní $D$ , kruh kvadratických celých čísel je euklidovský, právě když je normou a Euklidovská funkce pro to. Z toho vyplývá, že pro

D = -19, -43, -67, -163

,

čtyři odpovídající kruhy kvadratických celých čísel patří mezi vzácné známé příklady hlavních ideálních domén, které nejsou euklidovskými doménami.

Na druhou stranu zobecněná Riemannova hypotéza znamená, že prsten z nemovitý kvadratická celá čísla, která je hlavní ideální doménou, je také euklidovská doména pro nějakou euklidovskou funkci, která se může skutečně lišit od obvyklé normy.^[9]Hodnoty D = 14, 69 bylo prvních, u nichž se ukázalo, že kruh kvadratických celých čísel je euklidovský, ale nikoli normálně-euklidovský.^[10]^[11]

Poznámky

^ Dedekind 1871, Dodatek X, s. 447
^ Bourbaki 1994, str. 99
^ „Proč je takto definován kvadratický celočíselný kruh?“. math.stackexchange.com. Citováno 2016-12-31.
^ M. Artin, Algebra (2. vydání) Ch 13
^ Dummit, str. 229
^ de Bruijn, N. G. (1981), „Algebraická teorie Penrosových neperiodických naklonění roviny, I, II“ (PDF), Indagationes Mathematicae, 43 (1): 39–66
^ Dummit, str. 272
^ LeVeque, William J. (2002) [1956]. Témata z teorie čísel, svazky I a II. New York: Dover Publications. s. II: 57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.
^ P. Weinberger, Na euklidovských kruzích algebraických celých čísel. In: Analytic Number Theory (St. Louis, 1972), Proc. Symposy. Čistá matematika. 24 (1973), 321–332.
^ M. Harper, ${ displaystyle mathbb {Z} [{ sqrt {14}}]}$ je euklidovský. Umět. J. Math. 56 (2004), 55–70.
^ David A. Clark, Kvadratické pole, které je euklidovské, ale nikoli normálně-euklidovské, Manuscripta Mathematica, 83(1994), 327–330 [1] Archivováno 2015-01-29 na Wayback Machine

Reference

Bourbaki, Nicolasi (1994). Základy dějin matematiky. Přeložil Meldrum, John. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. PAN 1290116.
Dedekind, Richarde (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet (2. vyd.), Vieweg. Citováno 5. srpna 2009
Dummit, D. S. a Foote, R. M., 2004. Abstraktní algebra, 3. vyd.
Artin, M, Algebra, 2. vyd., Ch 13.

Další čtení

J.S. Milne. Algebraická teorie čísel „Verze 3.01, 28. září 2008. online přednášky

[1] Dedekind 1871, Dodatek X, s. 447

[2] Bourbaki 1994, str. 99

[3] „Proč je takto definován kvadratický celočíselný kruh?“. math.stackexchange.com. Citováno 2016-12-31.

[4] M. Artin, Algebra (2. vydání) Ch 13

[5] Dummit, str. 229

[6] Bruijn, N. G. (1981), „Algebraická teorie Penrosových neperiodických naklonění roviny, I, II“ (PDF), Indagationes Mathematicae, 43 (1): 39–66

[7] Dummit, str. 272

[8] LeVeque, William J. (2002) [1956]. Témata z teorie čísel, svazky I a II. New York: Dover Publications. s. II: 57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

[9] P. Weinberger, Na euklidovských kruzích algebraických celých čísel. In: Analytic Number Theory (St. Louis, 1972), Proc. Symposy. Čistá matematika. 24 (1973), 321–332.

[10] M. Harper, ${ displaystyle mathbb {Z} [{ sqrt {14}}]}$ je euklidovský. Umět. J. Math. 56 (2004), 55–70.

[11] David A. Clark, Kvadratické pole, které je euklidovské, ale nikoli normálně-euklidovské, Manuscripta Mathematica, 83(1994), 327–330 [1] Archivováno 2015-01-29 na Wayback Machine

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]