Absorpční prvek - Absorbing element

v matematika, an absorpční prvek (nebo zničující prvek) je speciální typ prvku a soubor s ohledem na a binární operace na tom setu. Výsledkem kombinace absorbujícího prvku s jakýmkoli prvkem sady je samotný absorpční prvek. v poloskupina teorie se absorpční prvek nazývá a nulový prvek[1][2] protože neexistuje nebezpečí záměny s jiné pojmy nuly, s výraznou výjimkou: pod aditivní notací nula může zcela přirozeně označovat neutrální prvek monoidu. V tomto článku jsou „nulový prvek“ a „absorbující prvek“ synonyma.

Definice

Formálně, pojďme (S, •) být sadou S • na něm uzavřená binární operace (známá jako a magma ). A nulový prvek je prvek z takové, že pro všechny s v S, z • s = s • z = z. Vylepšení[2] jsou pojmy levá nula, kde jeden vyžaduje pouze to z • s = z, a pravá nula, kde s • z = z.

Zvláště zajímavé jsou absorpční prvky poloskupiny, zejména multiplikativní poloskupina a semiring. V případě semirování s 0 je definice absorpčního prvku někdy uvolněná, takže není nutné absorbovat 0; jinak by byla 0 jediným absorbujícím prvkem.[3]

Vlastnosti

  • Pokud má magma levou nulu z a pravá nula z′, Poté má nulu, protože z = z • z′ = z′.
  • Magma může mít maximálně jeden nulový prvek.

Příklady

  • Nejznámější příklad absorbujícího prvku pochází z elementární algebry, kde libovolné číslo vynásobené nulou se rovná nule. Nula je tedy absorbujícím prvkem.
  • Nula jakéhokoli prsten je také absorbujícím prvkem. Pro prvek r prstenu R, r = r (1 + 0) = r + r0, tak r0 = 0, protože nula je jedinečný prvek A pro který r + a = r pro všechny r v ringu R.
  • Plovoucí bod aritmetika, jak je definována ve standardu IEEE-754, obsahuje speciální hodnotu nazvanou Not-a-Number ("NaN"). Je to absorpční prvek pro každou operaci; tj., X + NaN = NaN + X = NaN, X - NaN = NaN - X = NaN, atd.
  • Sada binární vztahy přes sadu Xspolečně s složení vztahů tvoří a monoidní s nulou, kde nulovým prvkem je prázdný vztah (prázdná sada ).
  • Uzavřený interval H = [0, 1] s X • y = min (X, y) je také monoid s nulou a nulový prvek je 0.
  • Další příklady:
DoménaÚkonAbsorbér
Skutečná čísla⋅Násobení0
Celá číslaNejvětší společný dělitel1
n-podle-n náměstí maticeNásobení maticMatice všech nul
Rozšířená reálná číslaMinimální / minimální−∞
Maximum / supremum+∞
Sady∩Průsečík∅Prázdná sada
Podmnožiny sady M∪svazM
Logická logika∧Logické a⊥Faleš
∨Logické nebo⊤Pravda

Viz také

Poznámky

  1. ^ J.M. Howie, s. 2–3
  2. ^ A b M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev str. 14–15
  3. ^ J.S. Golan p. 67

Reference

  • Howie, John M. (1995). Základy teorie poloskupin. Clarendon Press. ISBN  0-19-851194-9.
  • M. Kilp, U. Knauer, A.V. Michalev, Monoidy, akty a kategorie s aplikacemi na věnování produktů a grafů, De Gruyter Expositions in Mathematics sv. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7.
  • Golan, Jonathan S. (1999). Semirings a jejich aplikace. Springer. ISBN  0-7923-5786-8.

externí odkazy