Noetherian ring - Noetherian ring

v matematika, konkrétněji v oblasti abstraktní algebra známý jako teorie prstenů, a Noetherian ring je prsten který uspokojuje vzestupný stav řetězu vlevo a vpravo ideály; to znamená, vzhledem k jakékoli rostoucí posloupnosti levých (nebo pravých) ideálů:

${ displaystyle I_ {1} subseteq cdots subseteq I_ {k-1} subseteq I_ {k} subseteq I_ {k + 1} subseteq cdots,}$

existuje a přirozené číslo n takové, že:

${ displaystyle I_ {n} = I_ {n + 1} = cdots.}$

Noetherian prsteny jsou pojmenovány po Emmy Noetherová.

Pojem noetherianského kruhu má v obou zásadní význam komutativní a nekomutativní teorie prstenu, vzhledem k roli, kterou hraje při zjednodušení ideální struktury prstenu. Například prsten z celá čísla a polynomiální kruh přes pole jsou oba noetherovské kruhy a v důsledku toho takové věty jako Lasker-Noetherova věta, Věta o křižovatce Krull, a Hilbertova základní věta držte se jich. Pokud je prsten dále Noetherian, pak splňuje sestupný stav řetězu na hlavní ideály. Tato vlastnost naznačuje hlubokou teorii dimenze pro noetherovské prstence začínající představou Dimenze Krull.

Charakterizace

Pro nekomutativní prsteny, je nutné rozlišovat mezi třemi velmi podobnými pojmy:

• Prsten je vlevo-noetherian pokud splňuje podmínku vzestupného řetězce na levých ideálech.
• Prsten je pravý-noetherian pokud splňuje podmínku vzestupného řetězce na pravých ideálech.
• Prsten je Noetherian pokud je levý i pravý noetherian.

Pro komutativní prsteny, všechny tři pojmy se shodují, ale obecně se liší. Existují prsteny, které jsou levo-noetherské a ne pravé-noetherské a naopak.

Pro prsten existují další, ekvivalentní definice R být vlevo-noetherian:

• Každý levý ideál Já v R je definitivně generováno, tj. existují prvky ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n}}$ v Já takhle ${ displaystyle I = Ra_ {1} + cdots + Ra_ {n}}$.^[1]
• Každý neprázdný soubor levých ideálů R, částečně objednané zahrnutím, má maximální prvek.^[1]

Podobné výsledky platí pro pravo-noetherovské prsteny.

Následující podmínka je také ekvivalentní podmínkou pro prsten R být vlevo-noetherian a je to Hilbertova původní formulace:^[2]

• Vzhledem k posloupnosti ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, tečky}$ prvků v R, existuje celé číslo ${ displaystyle n}$ takové, že každý ${ displaystyle f_ {i}}$ je konečná lineární kombinace ${ textstyle f_ {i} = součet _ {j = 1} ^ {n} r_ {j} f_ {j}}$ s koeficienty ${ displaystyle r_ {j}}$ v R.

Aby komutativní prstenec byl noetherovský, stačí, aby byl každý konečný ideál prstenu definitivně vygenerován.^[3]

Vlastnosti

• Li R je noetherovský prsten, pak polynomiální kruh ${ displaystyle R [X]}$ je Noetherian podle Hilbertova základní věta. Indukcí, ${ displaystyle R [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ je noetherovský prsten. Taky, R[[X]], napájecí série prsten je noetherovský prsten.
• Li R je noetherovský prsten a Já je oboustranný ideál, pak kvocientový kroužek R/Já je také Noetherian. Jinak řečeno, obraz jakéhokoli surjektivu kruhový homomorfismus noetherianského kruhu je noetherian.
• Každá konečně generovaná komutativní algebra nad komutativním netherianským prstencem je netherianská. (To vyplývá ze dvou předchozích vlastností.)
• Prsten R je vlevo-noetherian, pokud a jen pokud je každý definitivně vygenerován vlevo, odjet R-modul je Noetherian modul.
• Pokud komutativní prsten připouští a věřící Noetherian module over it, then the ring is a Noetherian ring.^[4]
• (Eakin – Nagata ) Pokud zazvoní A je podřetězec komutativního netherianského kruhu B takhle B je konečně vygenerovaný modul A, pak A je noetherovský prsten.^[5]
• Podobně, pokud prsten A je podřetězec komutativního netherianského kruhu B takhle B je věrně plochý přes A (nebo obecněji exponáty A jako čistý podřetězec ), pak A je noetherovský prsten (odůvodnění najdete v článku „věrně plochý“).
• Každý lokalizace komutativního noetherianského kruhu je noetherian.
• Důsledek Věta Akizuki-Hopkins-Levitzki je to, že každý odešel Artinian prsten je ponechán Noetherian. Dalším důsledkem je, že levý Artinianův prsten je pravý Noetherian, právě když pravý Artinian. Pravdivá jsou rovněž analogická tvrzení s „pravou“ a „levou“ záměnou.
• Levý noetherovský prsten je ponechán koherentní a levý Noetherian doména je levice Rudná doména.
• (Bas) Zvonek je (vlevo / vpravo) noetherský, právě když každý přímý součet injektivní (levé / pravé) moduly je injekční. Každý levý injektivní modul nad levým noetherianským modulem lze rozložit jako přímý součet nerozložitelný injektivní moduly.^[6]
• Ve komutativním netherianském kruhu je jich jen konečně mnoho minimální hlavní ideály. Také sestupný stav řetězu drží se ideálních ideálů.
• Ve komutativní nizozemské doméně R, každý prvek může být rozdělen na neredukovatelné prvky. Pokud jsou tedy navíc neredukovatelné prvky hlavní prvky, pak R je jedinečná faktorizační doména.

Příklady

• Libovolné pole, včetně polí racionální čísla, reálná čísla, a komplexní čísla, je Noetherian. (Pole má pouze dva ideály - sebe a (0).)
• Žádný hlavní ideální prsten, tak jako celá čísla, je Noetherian, protože každý ideál je generován jediným prvkem. To zahrnuje hlavní ideální domény a Euklidovské domény.
• A Dedekind doména (např., celá čísla ) je noetherianská doména, ve které je každý ideál generován nejvýše dvěma prvky.
• The souřadnicový kruh afinní odrůdy je noetherovský kruh, jako důsledek Hilbertovy věty.
• Zahalující algebra U konečně trojrozměrné Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je levý i pravý noetherovský kruh; to vyplývá ze skutečnosti, že přidružený odstupňovaný kruh z U je podíl z ${ displaystyle operatorname {Sym} ({ mathfrak {g}})}$, což je polynomický kruh nad polem; tedy Noetherian.^[7] Ze stejného důvodu Weylova algebra a obecnější prsteny z diferenciální operátory, jsou Noetherian.^[8]
• Kruh polynomů v konečně mnoha proměnných přes celá čísla nebo pole je Noetherian.

Prsteny, které nejsou noetheranské, bývají (v jistém smyslu) velmi velké. Zde je několik příkladů jiných než netheretherských prstenů:

• Kruh polynomů v nekonečně mnoha proměnných, X₁, X₂, X₃Posloupnost ideálů (X₁), (X₁, X₂), (X₁, X₂, X₃) atd. stoupá a nekončí.
• Prsten všech algebraická celá čísla není Noetherian. Například obsahuje nekonečný vzestupný řetězec hlavních ideálů: (2), (2^1/2), (2^1/4), (2^1/8), ...
• Kruh spojitých funkcí od reálných čísel ke skutečným číslům není noetherovský: Let Já_n být ideálem všech spojitých funkcí F takhle F(X) = 0 pro všechny X ≥ n. Sled ideálů Já₀, Já₁, Já₂atd. je vzestupný řetězec, který nekončí.
• Prsten z stabilní homotopické skupiny koulí není Noetherian. ^[9]

Netheretherský prsten však může být podřetězcem netheretherského kruhu. Jelikož jakákoli integrální doména je podřetězcem pole, poskytuje příklad jakákoli integrální doména, která není noetherianská. Abychom uvedli méně triviální příklad,

• Prsten racionálních funkcí generovaných X a y/Xⁿ přes pole k je podřetězec pole k(X,y) pouze ve dvou proměnných.

Ve skutečnosti existují prsteny, které jsou pravé noetherské, ale ne levé noetherské, takže je třeba být opatrný při měření „velikosti“ prstenu tímto způsobem. Například pokud L je podskupina Q² izomorfní s Z, nechť R být kruhem homomorfismů F z Q² pro sebe uspokojující F(L) ⊂ L. Při výběru základu můžeme popsat stejný prsten R tak jako

${ displaystyle R = left { left. { begin {bmatrix} a & beta 0 & gamma end {bmatrix}} , right vert , a in mathbb {Z}, beta in mathbb {Q}, gamma in mathbb {Q} right }.}$

Tento prsten je pravý noetherian, ale ne levý noetherian; podmnožina Já⊂R skládající se z prvků s A= 0 a y= 0 je levý ideál, který není definitivně generován jako levý R-modul.

Li R je komutativní podřetězec levého noetheranského kruhu S, a S je definitivně generován jako levá R- tedy modul R je Noetherian.^[10] (Ve zvláštním případě, když S je komutativní, toto je známé jako Eakinova věta.) To však není pravda, pokud R není komutativní: prsten R předchozího odstavce je podřetězec levého noetherského kruhu S = Hom (Q²,Q²), a S je definitivně generován jako levá R-modul, ale R nezůstává Noetherian.

A jedinečná faktorizační doména není nutně noetherovský prsten. Vyhovuje slabší podmínce: vzestupná podmínka řetězce na hlavních ideálech. Kruh polynomů v nekonečně mnoha proměnných je příkladem jiné než noetherovské jedinečné faktorizační domény.

A oceňovací prsten není Noetherian, pokud to není hlavní ideální doména. Uvádí příklad prstence, který přirozeně vzniká v algebraické geometrii, ale není Noetherian.

Klíčové věty

Mnoho důležitých vět v teorii prstenů (zejména teorie komutativní prsteny ) spoléhají na předpoklady, že prsteny jsou noetherianské.

Komutativní případ

• Přes komutativní netherianský prsten má každý ideál a primární rozklad, což znamená, že jej lze napsat jako průsečík konečně mnoha primárních ideálů (jejichž radikály jsou různé), kde je ideální Q je nazýván hlavní Pokud to je správně a kdykoli xy ∈ Q, buď X ∈ Q nebo yⁿ ∈ Q pro nějaké kladné celé číslo n. Například pokud prvek ${ displaystyle f = p_ {1} ^ {n_ {1}} cdots p_ {r} ^ {n_ {r}}}$ je tedy produktem sil odlišných prvočísel ${ displaystyle (f) = (p_ {1} ^ {n_ {1}}) cap cdots cap (p_ {r} ^ {n_ {r}})}$ a tedy primární rozklad je přímá generalizace primární faktorizace celých čísel a polynomů.^[11]
• Noetherian ring je definován ve smyslu vzestupných řetězců ideálů. The Artin – Reesovo lemma na druhé straně poskytuje určité informace o sestupném řetězci ideálů daných mocí ideálů ${ displaystyle I supseteq I ^ {2} supseteq I ^ {3} supseteq cdots}$. Jedná se o technický nástroj, který se používá k prokázání dalších klíčových vět, jako je Věta o křižovatce Krull.
• The teorie dimenzí komutativních prstenů se chová špatně nad netheretherskými kruhy; velmi základní věta, Krullova hlavní ideální věta, již spoléhá na „noetherovský“ předpoklad. Zde ve skutečnosti „noetherianský“ předpoklad často nestačí a (noetherian) univerzálně řetězové kroužky Místo toho se často používají ti, kteří splňují určitý teoreticko-teoretický předpoklad. Noetherian prsteny objevující se v aplikacích jsou většinou univerzálně trolejového vedení.

Nezávazný případ

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Prosince 2019)

• Goldieho věta

Dopad na injektivní moduly

Vzhledem k prstenu existuje úzké spojení mezi chováním uživatele injektivní moduly přes prsten a zda je prsten noetherský prsten nebo ne. Jmenovitě, dostal prsten R, ekvivalentní jsou následující:

• R je levý noetherovský prsten.
• (Bass) Zbývá každý přímý součet injektivů R-modulů je injekční.^[6]
• Každý injekční uživatel odešel R-module je přímý součet nerozložitelný injektivní moduly.^[12]
• (Faith – Walker) Existuje základní číslovka ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$ tak, že každý injekční modul zbyl R je přímý součet ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$-generované moduly (modul je ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$-generováno, pokud má generující sada mohutnosti nanejvýš ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$).^[13]
• Existuje levice R-modul H tak, že každý odešel R-module vloží do přímého součtu kopií H.^[14]

Kruh endomorfismu nerozložitelného injekčního modulu je místní^[15] a tudíž Azumayova věta říká, že na levém noetherovském kruhu je každý nerozložitelný rozklad injekčního modulu ekvivalentní jeden druhému (varianta Krull – Schmidtova věta ).

Viz také

• Krull – Akizukiho věta
• Noetherian schéma
• Artinian prsten

Poznámky

Reference

• Anderson, Frank W .; Fuller, Kent R. (1992), Kroužky a kategorie modulů, Postgraduální texty z matematiky, 13 (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, str. X + 376, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN  0-387-97845-3, PAN  1245487
• Nicolas Bourbaki Komutativní algebra
• Eisenbud, David (1995). Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii. Postgraduální texty z matematiky. 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN  0-387-94268-8.
• Formanek, Edward; Jategaonkar, Arun Vinayak (1974). „Subrings of noetherian rings“. Proceedings of the American Mathematical Society. 46 (2): 181–186. doi:10.2307/2039890.
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D-moduly, perverzní snopy a teorie reprezentacePokrok v matematice, 236, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4523-6, ISBN  978-0-8176-4363-8, PAN  2357361, Zbl  1292.00026
• Lam, Tsit Yuen (2001). První kurz v nekomutativních kruzích. Postgraduální texty z matematiky. 131 (2. vyd.). New York: Springer. p. 19. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN  0387951830. PAN  1838439.
• Kapitola X z Lang, Serge (1993), Algebra (Třetí vydání), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Matsumura, Hideyuki (1989), Komutativní teorie prstenů, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-36764-6

externí odkazy

• „Noetherian ring“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]