Znázornění algebry - Algebra representation

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Reprezentace algebry"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Květen 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v abstraktní algebra, a zastoupení asociativní algebra je modul pro tu algebru. Zde je asociativní algebra (ne nutně) unital ) prsten. Pokud algebra není jednotná, může být vytvořena standardním způsobem (viz adjunkční funktory strana); neexistuje žádný zásadní rozdíl mezi moduly pro výsledný unitalní kruh, ve kterém identita působí mapováním identity, a reprezentacemi algebry.

Příklady

Lineární komplexní struktura

Jedním z nejjednodušších netriviálních příkladů je a lineární komplexní struktura, což je reprezentace komplexní čísla C, myšlenka jako asociativní algebra nad reálná čísla R. Tato algebra je realizována konkrétně jako ${ displaystyle mathbb {C} = mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1),}$ což odpovídá i² = −1 . Pak reprezentace C je skutečný vektorový prostor PROTI, společně s akcí C na PROTI (mapa ${ displaystyle mathbb {C} to mathrm {End} (V)}$). Konkrétně se jedná pouze o akci i , protože to generuje algebru a operátor představující i (obraz i na konci (PROTI)) je označen J aby nedošlo k záměně s matice identity Já.

Polynomiální algebry

Další důležitou základní třídou příkladů jsou reprezentace polynomiální algebry, volné komutativní algebry - tvoří ústřední předmět studia v komutativní algebra a jeho geometrický protějšek, algebraická geometrie. Reprezentace polynomiální algebry v k proměnné nad polem K. je konkrétně a K.-vektorový prostor s k dojíždějící operátoři, a je často označován ${ displaystyle K [T_ {1}, tečky, T_ {k}],}$ což znamená reprezentaci abstraktní algebry ${ displaystyle K [x_ {1}, dots, x_ {k}]}$ kde ${ displaystyle x_ {i} mapsto T_ {i}.}$

Základním výsledkem takových reprezentací je, že přes algebraicky uzavřené pole jsou reprezentující matice současně trojúhelníkové.

Zajímavý je i případ reprezentací polynomiální algebry v jedné proměnné - to je označeno ${ displaystyle K [T]}$ a používá se k pochopení struktury jediného lineárního operátoru na konečně-dimenzionálním vektorovém prostoru. Konkrétně použití věta o struktuře pro konečně generované moduly nad hlavní ideální doménou této algebře se získá jako důsledky různé kanonické formy matic, jako např Jordan kanonická forma.

V některých přístupech k nekomutativní geometrie, volná nekomutativní algebra (polynomy v proměnných, které nedojíždějí) hraje podobnou roli, ale analýza je mnohem obtížnější.

Závaží

Vlastní čísla a vlastní vektory lze zobecnit na reprezentace algebry.

Zevšeobecnění vlastní číslo reprezentace algebry je, spíše než jeden skalární, jednorozměrná reprezentace ${ displaystyle lambda dvojtečka A až R}$ (tj. homomorfismus algebry od algebry k jejímu podkladovému kruhu: a lineární funkční to je také multiplikativní).^{[poznámka 1]} Toto se nazývá a hmotnost a nazývá se analog vlastního vektoru a vlastního prostoru hmotnostní vektor a váhový prostor.

Případ vlastního čísla jediného operátora odpovídá algebře ${ displaystyle R [T],}$ a mapa algeber ${ displaystyle R [T] až R}$ je určeno tím, který skalární mapuje generátor T na. Váhový vektor pro reprezentaci algebry je vektor takový, že jakýkoli prvek algebry mapuje tento vektor na násobek sebe sama - jednorozměrný submodul (subreprezentace). Jako párování ${ displaystyle A krát M až M}$ je bilineární, „který násobek“ je A-lineární funkční A (mapa algebry A → R), jmenovitě hmotnost. V symbolech je váhový vektor vektor ${ displaystyle m v M}$ takhle ${ displaystyle am = lambda (a) m}$ pro všechny prvky ${ displaystyle a v A,}$ pro některé lineární funkční ${ displaystyle lambda}$ - všimněte si, že na levé straně je multiplikace algebraická akce, zatímco na pravé straně je multiplikace skalární multiplikace.

Protože váha je mapou komutativního kruhu, mapa ovlivňuje abelianizaci algebry ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ - ekvivalentně zmizí na odvozená algebra - pokud jde o matice, pokud ${ displaystyle v}$ je běžný vlastní vektor operátorů ${ displaystyle T}$ a ${ displaystyle U}$, pak ${ displaystyle TUv = UTv}$ (protože v obou případech jde pouze o násobení pomocí skalárů), takže společné vlastní vektory algebry musí být v množině, na kterou algebra působí komutativně (což je odvozenou algebrou zničeno). Ústředním zájmem jsou tedy bezplatné komutativní algebry, jmenovitě polynomiální algebry. V tomto obzvláště jednoduchém a důležitém případě polynomiální algebry ${ displaystyle mathbf {F} [T_ {1}, tečky, T_ {k}]}$ v sadě dojížděcích matic je váhový vektor této algebry a současný vlastní vektor matic, zatímco váha této algebry je jednoduše a ${ displaystyle k}$- dvojice skalárů ${ displaystyle lambda = ( lambda _ {1}, tečky, lambda _ {k})}$ odpovídá vlastní hodnotě každé matice, a tedy geometricky k bodu v ${ displaystyle k}$-prostor. Tyto váhy - zejména v jejich geometrii - mají zásadní význam pro pochopení teorie reprezentace Lieových algeber, konkrétně konečně-dimenzionální reprezentace polojednodušých Lieových algeber.

Jako aplikace této geometrie je dána algebra, která je kvocientem polynomiální algebry ${ displaystyle k}$ generátory, odpovídá geometricky an algebraická rozmanitost v ${ displaystyle k}$-dimenzionální prostor a hmotnost musí spadat na odrůdu - tj. splňuje definování rovnic pro odrůdu. Tím se zobecňuje skutečnost, že vlastní čísla uspokojují charakteristický polynom matice v jedné proměnné.

Viz také

• Teorie reprezentace
• Intertwiner
• Teorie reprezentace Hopfových algeber
• Zastoupení algebry lži
• Schurovo lemma
• Jacobsonova věta o hustotě
• Věta o dvojím komutátoru

Poznámky

Reference