Oddělitelná algebra - Separable algebra
V matematice, a oddělitelná algebra je druh polojednoduchá algebra. Je to zobecnění na asociativní algebry pojmu a oddělitelné rozšíření pole.
Definice a první vlastnosti
A kruhový homomorfismus (jednotné, ale ne nutně komutativní prsteny )
je nazýván oddělitelný (nebo a oddělitelný nástavec) pokud je mapa násobení
připouští a sekce
pomocí homomorfismu σ z A-A-bimoduly. Takový průřez σ je určen jeho hodnotou
σ (1). Podmínka, že σ je část μ, je ekvivalentní
a podmínka být homomorfismem A-A-bimodules je ekvivalentní následujícímu požadavku pro všechny A v A:
Takový prvek str se nazývá a oddělitelnost idempotentní, protože to uspokojuje .
Příklady
Pro jakýkoli komutativní kruh R, (nekomutativní) kruh n-podle-n matice je oddělitelný R-algebra. Pro všechny , oddělovač idempotent je dán , kde označuje elementární matice což je 0 kromě záznamu v pozici (i, j), což je 1. Zejména to ukazuje, že idempotenty oddělitelnosti nemusí být jedinečné.
Oddělitelné algebry nad polem
Li je rozšíření pole, pak L je oddělitelný jako asociativní K.-algebra právě tehdy, pokud je rozšíření polí oddělitelný.Li L/K. má primitivní prvek s neredukovatelným polynomem , pak je idempotent oddělitelnosti dán . Tenzory jsou dvojí základny pro trasovací mapu: pokud jsou odlišné K.-monomorfismy L do algebraického uzavření K., trasovací mapování Tr z L do K. je definováno . Trasovací mapa a její duální základny jsou explicitní L jako Frobenius algebra nad K.
Obecněji oddělitelné algebry nad polem K. lze klasifikovat následovně: jsou stejné jako konečné produkty maticových algeber přes konečně-dimenzionální divize algebry jejichž centra jsou konečně-dimenzionální oddělitelná rozšíření pole pole K.. Zejména: Každá oddělitelná algebra je sama o sobě konečně-dimenzionální. Li K. je perfektní pole --- například pole charakteristické nuly, nebo konečné pole nebo algebraicky uzavřené pole --- pak každé rozšíření K. je oddělitelná, takže oddělitelná K.-algebry jsou konečné produkty maticových algeber přes konečně-dimenzionální dělení algeber přes pole K.. Jinými slovy, pokud K. je dokonalé pole, není rozdíl mezi oddělitelnou algebrou K. a konečně-dimenzionální polojednoduchá algebra přes K.To lze ukázat zobecněnou Maschkeho větou, že asociativní K.-algebra A je oddělitelný, pokud pro každého rozšíření pole algebra je polojednoduchý.
Skupinové kroužky
Li K. je komutativní kruh a G je konečná skupina taková, že objednat z G je invertibilní v K., pak skupinové vyzvánění K.[G] je oddělitelný K.-algebra.[1] Idempotent oddělitelnosti je dán .
Ekvivalentní charakterizace oddělitelnosti
Existuje několik ekvivalentních definic oddělitelných algeber. A K.-algebra A je oddělitelný, právě když je projektivní když je považován za levý modul obvyklým způsobem.[2] Navíc algebra A je oddělitelný, právě když je byt pokud je považován za správný modul obvyklým způsobem. Oddělitelné nástavce lze charakterizovat také pomocí dělených nástavců: A je oddělitelný K. padám krátké přesné sekvence z A-A-bimoduly, které jsou rozděleny jako A-K.-bimodules také rozdělit jako A-A-bimoduly. Ve skutečnosti je tato podmínka nutná od mapování násobení vyplývající z výše uvedené definice je a A-A-bimodulární epimorfismus, který je rozdělen jako A-K.-bimodulová mapa pravým inverzním mapováním dána . Konverzitu lze dokázat uvážlivým použitím idempotentního rozdělovače (podobně jako u důkazu o) Maschkeova věta, použití jeho komponent uvnitř a bez rozdělení mapy).[3]
Rovnocenně relativní Hochschildova kohomologie skupiny (R, S) v libovolném bimodulu koeficientu M je nula pro n > 0. Příkladů oddělitelných rozšíření je mnoho, včetně prvních oddělitelných algeber, kde R = oddělitelná algebra a S = 1násobek základního pole. Libovolný kruh R s prvky a a b vyhovující ab = 1, ale ba odlišný od 1, je oddělitelnou příponou přes podřetězec S generovaný 1 a bRa.
Vztah k Frobeniově algebře
Oddělitelná algebra se říká, že je silně oddělitelné pokud existuje idempotent oddělovatelnosti, který je symetrický, význam
Algebra je silně oddělitelná právě tehdy, je-li její stopová forma nedgenerovaná, čímž se algebra stává konkrétním druhem Frobenius algebra nazývá se symetrická algebra (nesmí být zaměňována s symetrická algebra vznikající jako kvocient z tenzorová algebra ).
Li K. je komutativní A je definitivně generováno projektivní oddělitelný K.- tedy modul A je symetrická Frobeniova algebra.[4]
Vztah k formálně unramified a formálně étale rozšíření
Libovolné oddělitelné rozšíření A / K. komutativních prstenů je formálně unramified. Konverzace platí, pokud A je definitivně generován K.-algebra.[5] Oddělitelný byt (komutativní) K.-algebra A je formálně étale.[6]
Další výsledky
Věta v oblasti je ta J. Cuadry, že oddělitelná Hopf-Galoisova přípona R | S konečně vygeneroval přirozený S-modul R. Základní skutečnost o oddělitelné příponě R | S je to, že je to levé nebo pravé polopříliš rozšířené: krátká přesná sekvence levého nebo pravého R-modulu, která je rozdělena jako S-moduly, je rozdělena jako R-moduly. Pokud jde o relativní homologickou algebru G. Hochschilda, lze říci, že všechny R-moduly jsou relativní (R, S) -projektivní. Relativní vlastnosti podřetězců nebo rozšíření prstenů, jako je například pojem oddělitelné rozšíření, obvykle slouží k podpoře vět, které říkají, že over-ring sdílí vlastnost podřetězce. Například oddělitelné rozšíření R polojednoduché algebry S má R polojediné, což vyplývá z předchozí diskuse.
Existuje slavná Jansova věta, že konečná grupová algebra A nad polem charakteristického p je typu konečné reprezentace právě tehdy, je-li její podskupina Sylow cyklická: nejjasnějším důkazem je zaznamenat tuto skutečnost pro p-skupiny, pak si všimněte, že skupinová algebra je oddělitelným rozšířením její algebry B podskupiny p, protože index je coprime k charakteristice. Výše uvedená podmínka oddělitelnosti bude znamenat, že každý konečně generovaný A-modul M je izomorfní s přímým součtem v jeho omezeném, indukovaném modulu. Ale pokud má B konečný typ reprezentace, omezený modul je jednoznačně přímý součet násobků konečně mnoha nerozložitelných, které indukují konečný počet základních nerozložitelných modulů, z nichž M je přímý součet. Proto A je typu konečné reprezentace, pokud B je. Konverzace je dokázána podobným argumentem, který poznamenává, že každá podskupinová algebra B je přímým součtem B-bimodulové skupiny algebry skupiny A.
Reference
- ^ Ford (2017, §4.2)
- ^ Reiner (2003, str. 102)
- ^ Ford, 2017 & Theorem 4.4.1
- ^ Endo a Watanabe (1967, Věta 4.2). Li A je komutativní, důkaz je jednodušší, viz Kadison (1999, Lemma 5.11)
- ^ Ford (2017, Dodatek 4.7.2, Věta 8.3.6)
- ^ Ford (2017, Dodatek 4.7.3)
- DeMeyer, F .; Ingraham, E. (1971). Oddělitelné algebry nad komutativními kruhy. Přednášky z matematiky. 181. Berlín-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-05371-2. Zbl 0215.36602.
- Samuel Eilenberg a Tadasi Nakayama, O dimenzi modulů a algeber. II. Frobeniovy algebry a kvazi-Frobeniovy prsteny, Nagoya Math. J. Svazek 9 (1955), 1-16.
- Endo, Shizuo; Watanabe, Yutaka (1967), „Na oddělitelných algebrách nad komutativním prstencem“, Osaka Journal of Mathematics, 4: 233–242, PAN 0227211
- Ford, Timothy J. (2017), Oddělitelné algebry, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3770-1, PAN 3618889
- Hirata, H .; Sugano, K. (1966), „O polojednodušých a oddělitelných rozšířeních nekomutativních prstenů“, J. Math. Soc. Japonsko, 18: 360–373.
- Kadison, Larsi (1999), Nové příklady rozšíření Frobenius, Univerzitní přednáškový cyklus, 14, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090 / ulect / 014, ISBN 0-8218-1962-3, PAN 1690111
- Reiner, I. (2003), Maximální objednávky, Monografie matematické společnosti v Londýně. Nová řada, 28, Oxford University Press, ISBN 0-19-852673-3, Zbl 1024.16008
- Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. PAN 1269324. OCLC 36131259.