Distribuční vlastnictví - Distributive property

Vizualizace distributivního práva pro kladná čísla

v matematika, distribuční vlastnictví z binární operace zobecňuje distribuční právo z Booleova algebra a elementární algebra. v výroková logika, rozdělení odkazuje na dva platný pravidla nahrazení. Pravidla umožňují přeformulovat spojky a disjunkce v rámci logické důkazy.

Například v aritmetický:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), ale 2 / (1 + 3) ≠ (2/1) + (2/3).

Na levé straně první rovnice 2 vynásobí součet 1 a 3; na pravé straně se jednotlivě násobí 1 a 3, přičemž produkty se přidají později. Protože tyto dávají stejnou konečnou odpověď (8), násobení 2 se říká, že distribuovat přes přidání 1 a 3. Protože jeden mohl dát jakýkoli reálná čísla místo 2, 1 a 3 výše a stále jsme dostali skutečnou rovnici, násobení reálných čísel distribuuje přes přidání reálných čísel.

Definice

Vzhledem k tomu, soubor $S$ a dva binární operátory ∗ a + zapnuto $S$ , operace ∗:

je levý-distribuční nad + pokud, dané žádné elementy $X, y$ a $z$ z $S$ ,

{ displaystyle x * (y + z) = (x * y) + (x * z),}

je správně distribuční nad + pokud, vzhledem k jakýmkoli prvkům $X, y$ , a $z$ z $S$ ,

{ displaystyle (y + z) * x = (y * x) + (z * x),}

a

je distribuční přes +, pokud je distribuční vlevo a vpravo.^[1]

Všimněte si, že když je ∗ komutativní, výše uvedené tři podmínky jsou logicky ekvivalentní.

Význam

Operátory použité pro příklady v této části jsou obvyklé přidání ( ${ displaystyle +}$ ) a násobení ( ${ displaystyle cdot}$ ).

Pokud je operace označena ${ displaystyle cdot}$ není komutativní, existuje rozdíl mezi levou a pravou distribucí:

{ displaystyle a cdot left (b pm c right) = a cdot b pm a cdot c}

(levo-distribuční)

{ displaystyle (a pm b) cdot c = a cdot c pm b cdot c}

(vpravo distribuční)

V obou případech lze distribuční vlastnost popsat slovy jako:

Chcete-li znásobit a součet (nebo rozdíl ) o faktor, každý součet (nebo minuend a subhend ) se vynásobí tímto faktorem a výsledné produkty se sčítají (nebo odečítají).

Pokud je operace mimo závorky (v tomto případě násobení) komutativní, pak distribuce vlevo znamená distribuci vpravo a naopak a hovoří se jednoduše o distribučnost.

Jedním příkladem operace, která je „pouze“ pravostranně distribuční, je dělení, které není komutativní:

{ displaystyle (a pm b) div c = a div c pm b div c}

V tomto případě se nepoužije distribuce vlevo:

{ Displaystyle a div (b pm c) neq a div b pm a div c}

Distribuční zákony patří mezi axiomy pro prsteny (jako prsten z celá čísla ) a pole (jako pole racionální čísla ). Zde je násobení distribuční přes sčítání, ale sčítání není distribuční přes násobení. Příklady struktur se dvěma operacemi, které jsou každá distribuční nad druhou, jsou Booleovy algebry tak jako algebra množin nebo přepínání algebry.

Násobení součtů lze vyjádřit slovy následovně: Když je součet vynásoben součtem, vynásobte každý součet součtu s každým součtem druhého součtu (při sledování znaků) a poté sečtěte všechny výsledné produkty.

Příklady

Skutečná čísla

V následujících příkladech je použití distributivního zákona na množině reálných čísel ${ displaystyle mathbb {R}}$ je znázorněno. Když je násobení zmíněno v elementární matematice, obvykle se odkazuje na tento druh násobení. Z hlediska algebry tvoří reálná čísla a pole, který zajišťuje platnost distributivního práva.

První příklad (mentální a písemné násobení)

Během mentální aritmetiky se distributivita často používá nevědomě:

{ Displaystyle 6 cdot 16 = 6 cdot (10 + 6) = 6 cdot 10 + 6 cdot 6 = 60 + 36 = 96}

Tedy k výpočtu 6 ⋅ 16 v něčí hlavě se první znásobí 6 ⋅ 10 a 6 ⋅ 6 a přidejte průběžné výsledky. Písemné násobení je také založeno na distribučním zákoně.

Druhý příklad (s proměnnými)

{ displaystyle 3a ^ {2} b cdot (4a-5b) = 3a ^ {2} b cdot 4a-3a ^ {2} b cdot 5b = 12a ^ {3} b-15a ^ {2} b ^ {2}}

Třetí příklad (se dvěma součty)

{ displaystyle { begin {aligned} (a + b) cdot (ab) & = a cdot (ab) + b cdot (ab) = a ^ {2} -ab + ba-b ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} & = (a + b) cdot a- (a + b) cdot b = a ^ {2} + ba-ab-b ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} end {zarovnáno}}}

Zde bylo distribuční právo použito dvakrát a nezáleží na tom, která závorka je nejprve vynásobena.

Čtvrtý příklad

Zde je distribuční právo aplikováno opačně ve srovnání s předchozími příklady. Zvážit

{ displaystyle 12a ^ {3} b ^ {2} -30a ^ {4} bc + 18a ^ {2} b ^ {3} c ^ {2} ,.}

Protože faktor

{ displaystyle 6a ^ {2} b}

vyskytuje se ve všech sčítáních, lze to započítat. To znamená, kvůli distribučnímu zákonu, který člověk získá

{ displaystyle 12a ^ {3} b ^ {2} -30a ^ {4} bc + 18a ^ {2} b ^ {3} c ^ {2} = 6a ^ {2} b (2ab-5a ^ {2 } c + 3b ^ {2} c ^ {2}) ,.}

Matice

Distribuční zákon platí pro násobení matic. Přesněji,

{ displaystyle (A + B) cdot C = A cdot C + B cdot C}

pro všechny ${ displaystyle l krát m}$ - matice ${ displaystyle A, B}$ a ${ displaystyle m krát n}$ - matice ${ displaystyle C}$ , stejně jako

{ displaystyle A cdot (B + C) = A cdot B + A cdot C}

pro všechny ${ displaystyle l krát m}$ - matice ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle m krát n}$ - matice ${ displaystyle B, C}$ . Protože komutativní vlastnost neplatí pro násobení matic, druhý zákon nevyplývá z prvního zákona. V tomto případě se jedná o dva různé zákony.

Další příklady

Násobení z řadové číslovky, na rozdíl od toho je pouze levý-distribuční, ne pravý-distribuční.
The křížový produkt je vlevo a vpravo distribuční vektorové přidání, i když ne komutativní.
The svaz sad je distribuční průsečík, a křižovatka je distribuční přes unii.
Logická disjunkce („nebo“) je distribuční logická spojka („a“) a naopak.
Pro reálná čísla (a pro všechny úplně objednaná sada ), maximální provoz je distribuční přes minimální provoz a naopak: $max (A, min (b, C)) = min (max (A, b), max (A, C))$ a $min (A, max (b, C)) = max (min (A, b), min (A, C))$ .
Pro celá čísla, největší společný dělitel je distribuční přes nejmenší společný násobek a naopak: $gcd (A, lcm (b, C)) = lcm (gcd (A, b), gcd (A, C))$ a $lcm (A, gcd (b, C)) = gcd (lcm (A, b), lcm (A, C))$ .
U reálných čísel se sčítání rozděluje na maximální operaci a také na minimální operaci: $A + max (b, C) = max (A + b, A + C)$ a $A + min (b, C) = min (A + b, A + C)$ .
Pro binomický multiplikace, distribuce se někdy označuje jako metoda FOIL^[2] (První podmínky ac, Vnější inzerát, Vnitřní před naším letopočtem, a poslední bd) jako: $(A + b) \cdot (C + d) = ac + inzerát + před naším letopočtem + bd$ .
Polynomiální multiplikace je distribuční přes polynomiální sčítání.
Komplexní číslo multiplikace je distribuční: ${ displaystyle u (v + w) = uv + uw, (u + v) w = uw + vw}$

Výroková logika

Pravidlo výměny

Ve standardní pravdivě funkční výrokové logice rozdělení^[3]^[4] v logických důkazech používá dva platné pravidla nahrazení rozšířit jednotlivé výskyty určitých logické spojky, v některých vzorec, do samostatných aplikací těchto spojek napříč podformulemi daného vzorce. Pravidla jsou

{ displaystyle (P land (Q lor R)) Leftrightarrow ((P land Q) lor (P land R))}

a

{ displaystyle (P lor (Q land R)) Leftrightarrow ((P lor Q) land (P lor R))}

kde " ${ displaystyle Leftrightarrow}$ ", také psáno ≡, je metalogické symbol představující „lze v důkazu nahradit„ nebo “je logicky ekvivalentní na".

Pravda funkční spojky

Distribuce je vlastnost některých logických spojek pravdivostní funkce výroková logika. Následující logické ekvivalence ukazují, že distributivita je vlastnost konkrétních spojovacích prostředků. Následující jsou pravdivě funkční tautologie.

Rozdělení spojení na spojení: ${ displaystyle (P land (Q land R)) Leftrightarrow ((P land Q) land (P land R))}$

Rozdělení spojení po disjunkci: ${ displaystyle (P land (Q lor R)) Leftrightarrow ((P land Q) lor (P land R))}$

Distribuce disjunkce nad konjunkcí: ${ displaystyle (P lor (Q land R)) Leftrightarrow ((P lor Q) land (P lor R))}$

Rozdělení disjunkce nad disjunkci: ${ Displaystyle (P lor (Q lor R)) Leftrightarrow ((P lor Q) lor (P lor R))}$

Distribuce implikace: ${ displaystyle (P to (Q to R)) Leftrightarrow ((P to Q) to (P to R))}$

Rozdělení implikace nad ekvivalenci: ${ displaystyle (P to (Q leftrightarrow R)) Leftrightarrow ((P to Q) leftrightarrow (P to R))}$ :

Distribuce implikace přes spojení: ${ displaystyle (P to (Q land R)) Leftrightarrow ((P to Q) land (P to R))}$

Rozdělení disjunkce nad ekvivalenci
${ displaystyle (P lor (Q leftrightarrow R)) Leftrightarrow ((P lor Q) leftrightarrow (P lor R))}$

Dvojitá distribuce: ${ displaystyle { begin {zarovnaný} ((P land Q) lor (R land S)) & Leftrightarrow ((((P lor R) land (P lor S)) land ((Q lor R) land (Q lor S))) ((P lor Q) land (R lor S)) & Leftrightarrow (((P land R) lor (P land S) )) lor ((Q land R) lor (Q land S))) end {zarovnáno}}}$

Distribuce a zaokrouhlování

V praxi se může zdát, že distribuční vlastnost násobení (a dělení) nad sčítáním je ohrožena nebo ztracena z důvodu omezení aritmetická přesnost. Například identita ⅓ + ⅓ + ⅓ = (1 + 1 + 1) / 3 se zdá selhat, pokud je přidání provedeno v desítková aritmetika; pokud však mnoho významné číslice jsou použity, výsledkem výpočtu bude bližší aproximace správných výsledků. Například pokud má aritmetický výpočet tvar: 0.33333 + 0.33333 + 0.33333 = 0.99999 ≠ 1, je tento výsledek bližší aproximací, než kdyby bylo použito méně významných číslic. I když lze zlomková čísla reprezentovat přesně v aritmetické formě, budou zavedeny chyby, pokud jsou tyto aritmetické hodnoty zaokrouhleny nebo zkráceny. Například nákup dvou knih, z nichž každá má cenu 14,99 GBP před a daň 17,5%, ve dvou samostatných transakcích ve skutečnosti ušetří 0,01 GBP, při jejich společném nákupu: £14.99 × 1.175 = £17.61 na nejbližší 0,01 GBP, což dává celkové výdaje 35,22 GBP, ale £29.98 × 1.175 = £35.23. Metody jako zaokrouhlování bankéře může v některých případech pomoci, protože může zvýšit použitou přesnost, ale nakonec jsou některé chyby výpočtu nevyhnutelné.

V prstencích a jiných strukturách

Distribučnost se nejčastěji vyskytuje v prsteny a distribuční mřížky.

Prsten má dvě binární operace, běžně označované + a ∗, a jedním z požadavků prstenu je, že ∗ se musí distribuovat přes +. Většina druhů čísel tvoří kroužky.

A mříž je jiný druh algebraická struktura se dvěma binárními operacemi, ∧ a ∨. Pokud se některá z těchto operací (řekněme ∧) distribuuje přes druhou (∨), pak ∨ musí také distribuovat přes ∧ a mřížka se nazývá distributivní. Viz také Distributivita (teorie objednávek).

A Booleova algebra lze interpretovat buď jako speciální druh prstenu (a Booleovský prsten ) nebo speciální druh distribuční mřížky (a Booleova mříž ). Každá interpretace je zodpovědná za různé distributivní zákony v booleovské algebře.

Selhání jednoho ze dvou distribučních zákonů přináší blízké kroužky a blízká pole místo prstenů a dělící kroužky resp. Operace jsou obvykle nakonfigurovány tak, aby měly blízký prstencový nebo blízký polní rozdělovač vpravo, ale ne vlevo.

Kroužky a distribuční mřížky jsou oba speciální druhy soupravy, což jsou zevšeobecnění prstenů, které mají distribuční vlastnost. Například, přirozená čísla tvoří soupravu.

Zobecnění

V několika matematických oblastech jsou brány v úvahu zobecněné zákony o distribuci. To může zahrnovat oslabení výše uvedených stavů nebo rozšíření na nekonečné operace. Speciálně v teorie objednávek najdeme řadu důležitých variant distribučnosti, z nichž některé zahrnují operace v nekonečnu, jako je nekonečné distributivní právo; ostatní jsou definovány pouze za přítomnosti jeden binární operace, například odpovídající definice a jejich vztahy jsou uvedeny v článku distributivita (teorie objednávek). To zahrnuje i pojem a zcela distribuční mříž.

V přítomnosti objednávkového vztahu lze také výše uvedené rovnosti oslabit nahrazením = buď ≤ nebo ≥. To přirozeně povede ke smysluplným konceptům pouze v některých situacích. Uplatnění tohoto principu je pojmem dílčí distribuce jak je vysvětleno v článku o aritmetika intervalu.

v teorie kategorií, pokud (S, μ, η) a (S′, μ′, η′) jsou monády na kategorie C, a distribuční právo S.S′ → S′.S je přirozená transformace λ : S.S′ → S′.S takhle (S′, λ) je laxní mapa monád S → S a (S, λ) je colaxova mapa monád S′ → S′. Jedná se přesně o data potřebná k definování monadové struktury S′.S: mapa násobení je S′μ.μ′S².S′λS a jednotková mapa je η′S.η. Vidět: distribuční právo mezi monádami.

A všeobecné distribuční právo bylo rovněž navrženo v oblasti teorie informace.

Antidistributivita

Všudypřítomný identita , který se týká inverzí k binární operaci v libovolném skupina, jmenovitě (xy)⁻¹ = y⁻¹X⁻¹, která je brána jako axiom v obecnějším kontextu a poloskupina s involucí, byl někdy nazýván antidistribuční majetek (inverze jako a unární provoz ).^[5]

V kontextu a blízký prsten, která odstraňuje komutativitu aditivně psané skupiny a předpokládá pouze jednostrannou distributivitu, o níž lze mluvit (oboustranně) distribuční prvky ale také z antidistribuční prvky. Druhá obrátí pořadí (nekomutativního) sčítání; za předpokladu left-nearring (tj. ten, který všechny prvky distribuují, když se vynásobí vlevo), pak antidistribuční prvek A obrátí pořadí sčítání po vynásobení doprava: (X + y)A = ya + xa.^[6]

Ve studii o výroková logika a Booleova algebra, termín antidistribuční právo se někdy používá k označení výměny mezi konjunkcí a disjunkcí, když nad nimi stojí implikační faktory:^[7]

(A ∨ b) ⇒ C ≡ (A ⇒ C) ∧ (b ⇒ C)
(A ∧ b) ⇒ C ≡ (A ⇒ C) ∨ (b ⇒ C)

Tihle dva tautologie jsou přímým důsledkem duality v De Morganovy zákony.

Poznámky

^ Distribuce binárních operací od společnosti Mathonline
^ Kim Steward (2011) Násobení polynomů z Virtual Math Lab v Univerzita West Texas A&M University
^ Elliott Mendelson (1964) Úvod do matematické logiky, strana 21, D. Van Nostrand Company
^ Alfred Tarski (1941) Úvod do logiky, strana 52, Oxford University Press
^ Chris Brink; Wolfram Kahl; Gunther Schmidt (1997). Relační metody v informatice. Springer. str.4. ISBN 978-3-211-82971-4.
^ Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Blíží se: Některé vývoje souvisí s poloskupinami a skupinami. Kluwer Academic Publishers. 62 a 67. ISBN 978-1-4613-0267-4.
^ Eric CR Hehner (1993). Praktická teorie programování. Springer Science & Business Media. str. 230. ISBN 978-1-4419-8596-5.

externí odkazy

Demonstrace distribučního zákona pro celočíselnou aritmetiku (od cut-the-uzel )

[1] Distribuce binárních operací od společnosti Mathonline

[2] Kim Steward (2011) Násobení polynomů z Virtual Math Lab v Univerzita West Texas A&M University

[3] Elliott Mendelson (1964) Úvod do matematické logiky, strana 21, D. Van Nostrand Company

[4] Alfred Tarski (1941) Úvod do logiky, strana 52, Oxford University Press

[BrinkKahl1997-5] Chris Brink; Wolfram Kahl; Gunther Schmidt (1997). Relační metody v informatice. Springer. str.4. ISBN 978-3-211-82971-4.

[6] Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Blíží se: Některé vývoje souvisí s poloskupinami a skupinami. Kluwer Academic Publishers. 62 a 67. ISBN 978-1-4613-0267-4.

[Hehner1993-7] Eric CR Hehner (1993). Praktická teorie programování. Springer Science & Business Media. str. 230. ISBN 978-1-4419-8596-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]