Dyadic racionální - Dyadic rational

Pro všechny dané prvočíslo , a str-adická frakce nebo str-adic racionální je racionální číslo jehož jmenovatel, když je poměr minimální (coprime), je a Napájení z , tj. číslo formuláře kde A je celé číslo a b je přirozené číslo. Jedná se přesně o čísla s konečnou platností základna -str poziční číselná soustava expanze.
Když , se nazývají dyadické frakce nebo dyadické racionály; například 1/2 nebo 3/8, ale ne 1/3.
Aritmetický
The součet, produkt nebo rozdíl ze dvou str-adic rationals je sám o sobě další str-adic racionální:
Výsledek však dělení jeden str-adický zlomek jiným není nutně a str-adická frakce.
Další vlastnosti
Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie |
---|
![]() |
Základní pojmy |
Komutativní prsteny
str-adic teorie čísel a desetinná místa
|
Protože jsou uzavřeny při sčítání, odčítání a násobení, ale ne dělení, str-adické zlomky jsou a prsten ale ne pole. Jako prsten, str-adické zlomky jsou a podřízený racionálních čísel Qa overring celých čísel Z. Algebraicky je tento podřetězec lokalizace celých čísel Z s ohledem na soubor pravomocí str.
Sada všech str-adické zlomky jsou hustý v skutečná linie: jakékoli skutečné číslo X lze libovolně úzce aproximovat pomocí dyadických racionálních forem Ve srovnání s jinými hustými podmnožinami reálné linie, jako jsou racionální čísla, str-adické racionály jsou v jistém smyslu relativně „malou“ hustou množinou, proto se někdy vyskytují v důkazech. (Viz například Urysohnovo lemma pro dyadické racionály.)
The str-adické zlomky jsou přesně ta čísla, která mají konečný základ-str expanze. Jejich základnastr expanze nejsou jedinečné; každý má jednu konečnou a jednu nekonečnou reprezentaci str-adic racionální jiný než 0 (ignorování terminálu 0s). Například v binární (), 0.12 = 0.0111...2 = 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1/2. Také 0,112 = 0.10111...2 = 3/4.
Adiční modul 1 tvoří skupinu; to je P-skupina Prüfer. (To je stejné jako užívání kvocientová skupina z str-adic racions podle celých čísel.)
Duální skupina
Vezmeme-li v úvahu pouze operace sčítání a odčítání str-adic rationals jim dává strukturu aditiva abelianská skupina. The duální skupina a skupina se skládá z jeho postavy, skupinové homomorfismy do multiplikativní skupiny komplexní čísla, a v duchu Pontryaginova dualita duální skupina přísady str-adic rationals lze také považovat za topologická skupina. Říká se tomu str-adický solenoid a je příkladem a solenoidová skupina a protorus.
The str-adické racionály jsou přímý limit z nekonečný cyklický podskupiny racionálních čísel,
a jejich dvojí skupina může být konstruována jako inverzní limit z jednotkový kruh skupina pod opakovanou mapou
Prvek str-adický solenoid může být reprezentován jako nekonečná posloupnost komplexních čísel q0, q1, qstr, ..., s vlastnostmi, které každý z nich qi leží na jednotkovém kruhu a to pro všechny i > 0, qistr = qi - 1. Skupinová operace na těchto prvcích znásobuje libovolné dvě sekvence po částech. Každý prvek dyadického solenoidu odpovídá charakteru str-adické racionály, které mapují A/ strb na komplexní číslo qbA. Naopak každá postava χ z str-adic rationals odpovídá prvku str-adický solenoid daný qi = χ(1 / stri).
Jako topologický prostor str-adic solenoid je a solenoid a nerozložitelné kontinuum.[1]
Související konstrukce
The neskutečná čísla jsou generovány iterovaným konstrukčním principem, který začíná generováním všech konečných dyadických zlomků a poté pokračuje vytvářením nových a podivných druhů nekonečných, nekonečně malých a jiných čísel.
Binární van der Corputova sekvence je ekvidistribuováno permutace kladných dyadických racionálních čísel.
Aplikace
V metrologii
The palec se obvykle dělí spíše na zlomky než na desetinná místa; podobně obvyklé rozdělení galon do půl galonů, kvarty, a půllitry jsou dyadické. Staří Egypťané také používali při měření dyadické zlomky, se jmenovateli až 64.[2]
V hudbě
Podpisy času v západní hudební notace tradičně sestávají z dyadických frakcí (například: 2/2, 4/4, 6/8 ...) nedyadické časové podpisy byly zavedeny skladateli ve dvacátém století (například: 2 /., což by doslova znamenalo 2 /3⁄8). Jsou volány nedyadické časové podpisy iracionální v hudební terminologii, ale toto použití neodpovídá iracionální čísla matematiky, protože se stále skládají z poměrů celých čísel. Iracionální časové podpisy v matematickém smyslu jsou velmi vzácné, ale jeden příklad (√42/ 1) se objeví v Conlon Nancarrow je Studie pro hráče na klavír.
Ve výpočetní technice
Jako datový typ používaný počítači čísla s plovoucí desetinnou čárkou jsou často definována jako celá čísla vynásobená kladnými nebo zápornými mocnostmi dvou, a tedy všechna čísla, která mohou být reprezentována například binární Datové typy IEEE s plovoucí desetinnou čárkou jsou dyadické racionály. Totéž platí pro většinu datové typy s pevným bodem, který také ve většině případů implicitně využívá pravomoci dvou.
Topologie
v obecná topologie, v důkazu se používají dyadické frakce Urysohnovo lemma, který je běžně považován za jednu z nejdůležitějších vět v topologii.
Viz také
- Napůl celé číslo, dyadický racionál vzniklý vydělením lichého čísla dvěma
- str-adické číslo, číselný systém, který rozšiřuje str-adic racionální
- Desetinné zlomky nebo 10-adic racionalit
Reference
- ^ Nadler, S. B. Jr. (1973), „Nerozložitelnost dyadického solenoidu“, Americký matematický měsíčník, 80 (6): 677–679, doi:10.2307/2319174, JSTOR 2319174.
- ^ Curtis, Lorenzo J. (1978), „Koncept exponenciálního zákona před rokem 1900“, American Journal of Physics, 46 (9): 896–906, doi:10.1119/1.11512.