Stupeň transcendence - Transcendence degree
v abstraktní algebra, stupeň transcendence a rozšíření pole L /K. je jistá poměrně hrubá míra „velikosti“ rozšíření. Konkrétně je definována jako největší mohutnost z algebraicky nezávislý podmnožina z L přes K..
Podmnožina S z L je transcendentní základ z L /K. pokud je algebraicky nezávislý na K. a pokud dále L je algebraické rozšíření pole K.(S) (pole získané spojením prvků prvku S na K.). Lze ukázat, že každé rozšíření pole má základ transcendence a že všechny základy transcendence mají stejnou mohutnost; tato mohutnost se rovná stupni transcendence rozšíření a označuje se trdegK. L nebo trdeg (L /K.).
Pokud žádné pole K. je zadán stupeň transcendence pole L je jeho stupeň vzhledem k hlavní pole stejné charakteristický, tj., Q -li L je charakteristiky 0 a Fp -li L je charakteristické p.
Rozšíření pole L /K. je čistě transcendentální pokud existuje podmnožina S z L to je algebraicky nezávislé na K. a takhle L = K.(S).
Příklady
- Rozšíření je algebraické právě tehdy, pokud je jeho stupeň transcendence 0; the prázdná sada slouží zde jako základ transcendence.
- Pole racionálních funkcí v n proměnné K.(X1,...,Xn) je čistě transcendentální rozšíření s úrovní transcendence n přes K.; můžeme například vzít {X1,...,Xn} jako transcendentní základna.
- Obecněji řečeno, stupeň transcendence funkční pole L z n-dimenzionální algebraická rozmanitost nad pozemním polem K. je n.
- Q(√2, E ) má stupeň transcendence 1 Q protože √2 je algebraický zatímco E je transcendentální.
- Stupeň transcendence C nebo R přes Q je mohutnost kontinua. (Toto následuje, protože každý prvek má nad sebou jen spočítatelně mnoho algebraických prvků Q, od té doby Q je sám o sobě počítatelný.)
- Stupeň transcendence Q(E, π ) přes Q je buď 1 nebo 2; přesná odpověď není známa, protože není známo, zda E a π jsou algebraicky nezávislé.
Analogie s rozměry vektorového prostoru
Existuje analogie s teorií vektorový prostor rozměry. Analogie odpovídá algebraicky nezávislým množinám s lineárně nezávislé množiny; sady S takhle L je algebraické K.(S) s překlenovací sady; transcendentní základny s základny; a stupeň transcendence s dimenzí. Skutečnost, že transcendenční základy vždy existují (jako skutečnost, že základy vždy existují v lineární algebře) vyžaduje axiom volby. Důkaz, že jakékoli dvě základny mají stejnou mohutnost, závisí v každém nastavení na vyměnit lemma.[1]
Tuto analogii lze formalizovat pozorováním, že lineární nezávislost ve vektorových prostorech a algebraická nezávislost v rozšíření pole tvoří příklady matroidy, nazývané lineární matroidy a algebraické matroidy. Stupeň transcendence je tedy hodnostní funkce algebraického matroidu. Každý lineární matroid je izomorfní s algebraickým matroidem, ale ne naopak.[2]
Fakta
Li M/L je rozšíření pole a L /K. je další rozšíření pole, pak stupeň transcendence M/K. se rovná součtu stupňů transcendence M/L a L/K.. To je prokázáno tím, že ukazuje, že transcendence základ M/K. lze získat převzetím svaz transcendentního základu M/L a jeden z L /K..
Aplikace
Transcendenční báze jsou užitečným nástrojem k prokázání různých prohlášení o existenci polních homomorfismů. Zde je příklad: Vzhledem k algebraicky uzavřeno pole L, a podpole K. a pole automorfismus F z K., existuje polní automorfismus L který se prodlužuje F (tj. jehož omezení na K. je F). Pro důkaz, jeden začíná na základě transcendence S z L/K.. Prvky K.(S) jsou jen kvocienty polynomů v prvcích S s koeficienty v K.; proto automorfismus F lze rozšířit na jednu z K.(S) zasláním každého prvku z S pro sebe. Pole L je algebraické uzavření z K.(S) a algebraické uzávěry jsou jedinečné až po izomorfismus; to znamená, že automorfismus lze dále rozšířit od K.(S) až L.
Jako další aplikaci ukážeme, že existuje (mnoho) správných podpolí pole komplexního čísla C které jsou (jako pole) izomorfní s C. Pro důkaz si vezměte transcendentní základ S z C/Q. S je nekonečná (i nespočetná) množina, takže existuje (mnoho) map F: S → S což jsou injekční ale ne surjektivní. Každá taková mapa může být rozšířena na polní homomorfismus Q(S) → Q(S), což není surjektivní. Takový polní homomorfismus lze zase rozšířit na algebraický uzávěr Ca výsledné homomorfismy pole C → C nejsou surjektivní.
Stupeň transcendence může intuitivně porozumět velikosti pole. Například věta kvůli Siegel uvádí, že pokud X je kompaktní, propojený a komplexní rozmanitý rozměr n a K.(X) označuje pole (globálně definované) meromorfní funkce na to, pak trdegC(K.(X)) ≤ n.
Reference
- ^ J.S. Milne, Fields and Galois Theory, str. 100-101.
- ^ Joshi, K. D. (1997), Aplikované diskrétní struktury, New Age International, s. 909, ISBN 9788122408263.