Lokalizace kategorie - Localization of a category

v matematika, lokalizace kategorie spočívá v přidání do a kategorie inverzní morfismy pro nějakou sbírku morfismů, která je donutila stát se izomorfismy. Toto je formálně podobné procesu lokalizace prstenu; to obecně dělá objekty izomorfní, které tomu tak nebylo dříve. v teorie homotopy například existuje mnoho příkladů mapování, které jsou invertibilní až do homotopy; a tak velké třídy ekvivalent homotopy mezery^{[je zapotřebí objasnění ]}. Počet zlomků je jiný název pro práci v lokalizované kategorii.

Úvod a motivace

A kategorie C sestává z předmětů a morfismy mezi těmito objekty. Morfismy odrážejí vztahy mezi objekty. V mnoha situacích má smysl nahradit C jinou kategorií C' ve kterém jsou určité morfismy nuceny být izomorfismy. Tento proces se nazývá lokalizace.

Například v kategorii R-moduly (pro nějaký pevný komutativní kruh R) násobení pevným prvkem r z R je typicky (tj. pokud r je jednotka ) není izomorfismus:

${ displaystyle M až M quad m mapsto r cdot m.}$

Kategorie, která s tím nejvíce souvisí R-moduly, ale kde je tato mapa je izomorfismus se ukazuje jako kategorie ${ displaystyle R [S ^ {- 1}]}$- moduly. Tady ${ displaystyle R [S ^ {- 1}]}$ je lokalizace z R s ohledem na (multiplikativně uzavřenou) podmnožinu S skládající se ze všech pravomocí r,${ displaystyle S = {1, r, r ^ {2}, r ^ {3}, tečky }}$Výraz „nejvíce úzce souvisí“ je formován dvěma podmínkami: zaprvé, existuje funktor

${ displaystyle varphi: { text {Mod}} _ {R} na { text {Mod}} _ {R [S ^ {- 1}]} quad M mapsto M [S ^ {- 1 }]}$

posílám jakékoli R-modul k jeho lokalizace s ohledem na S. Navíc vzhledem k jakékoli kategorii C a jakýkoli funktor

${ displaystyle F: { text {Mod}} _ {R} do C}$

odeslání mapy násobení pomocí r Na každém R-module (viz výše) na izomorfismus z C, existuje jedinečný funktor

${ displaystyle G: { text {Mod}} _ {R [S ^ {- 1}]} do C}$

takhle ${ displaystyle F = G circ varphi}$.

Lokalizace kategorií

Výše uvedené příklady lokalizace R-modules je abstrahován v následující definici. V tomto tvaru platí pro mnoho dalších příkladů, z nichž některé jsou načrtnuty níže.

Vzhledem k tomu, kategorie C a nějaká třída Ž z morfismy v C, lokalizace C[Ž⁻¹] je další kategorie, která se získá převrácením všech morfismů Ž. Formálněji se vyznačuje a univerzální vlastnictví: existuje přirozený funktor lokalizace C → C[Ž⁻¹] a dostal další kategorii D, funktor F: C → D faktory jednoznačně skončily C[Ž⁻¹] právě tehdy F pošle všechny šipky dovnitř Ž na izomorfismy.

Lokalizace kategorie je tedy jedinečná až do jedinečného izomorfismu kategorií, pokud existuje. Jedna konstrukce lokalizace se provádí prohlášením, že její objekty jsou stejné jako v C, ale morfismy jsou vylepšeny přidáním formální inverze pro každý morfismus v Ž. Podle vhodných hypotéz o Ž, morfismy mezi dvěma objekty X, Y jsou dány střechy

${ displaystyle X { stackrel {f} { leftarrow}} X ' rightarrow Y}$

(kde X' je libovolný objekt C a F je v dané třídě Ž morfismů), modulo určité ekvivalenční vztahy. Tyto vztahy proměňují mapu ve „špatném“ směru na inverzní vůči F. Tento postup však obecně poskytuje a správná třída morfismů mezi X a Y. Typicky jsou morfismy v kategorii povoleny pouze k vytvoření množiny. Někteří autoři jednoduše ignorují takové množinově-teoretické problémy.

Modelové kategorie

Důsledná konstrukce lokalizace kategorií, vyhýbání se těmto množinově-teoretickým problémům, byla jedním z počátečních důvodů pro rozvoj teorie modelové kategorie: modelová kategorie M je kategorie, ve které existují tři třídy map; jednou z těchto tříd je třída slabé ekvivalence. The kategorie homotopy Ho (M) je pak lokalizace s ohledem na slabé ekvivalence. Axiomy modelové kategorie zajišťují, že tuto lokalizaci lze definovat bez set-teoretických obtíží.

Alternativní definice

Někteří autoři také definují a lokalizace kategorie C být idempotentní a spoluautorem funktor. Koagugovaným funktorem je pár (L, l) kde L: C → C je endofunctor a l: Id → L je přirozená transformace z funktoru identity na L (nazývá se koaugmentace). Koagugovaný funktor je idempotentní, pokud pro každého X, obě mapy L (l_X), l_{L (X)}: L (X) → LL (X) jsou izomorfismy. Lze prokázat, že v tomto případě jsou obě mapy stejné.^[1]

Tato definice souvisí s výše uvedenou definicí takto: při použití první definice existuje v mnoha situacích nejen kanonický funktor ${ displaystyle C až C [W ^ {- 1}]}$, ale také funktor v opačném směru,

${ displaystyle C [W ^ {- 1}] do C}$

Například moduly přes lokalizaci ${ displaystyle R [S ^ {- 1}]}$ prstenu jsou také moduly přes R sám, dávat funktor

${ displaystyle R [S ^ {- 1}] - Mod to R-Mod.}$

V tomto případě složení

${ displaystyle L: C až C [W ^ {- 1}] do C}$

je lokalizace C ve smyslu idempotentního a koagmentovaného funktora.

Příklady

Serre C-teorie

Serre představil myšlenku pracovat v teorie homotopy modulo nějaká třída C z abelianské skupiny. To znamenalo, že skupiny A a B byly považovány za izomorfní, pokud například A / B ležet C. Později Dennis Sullivan namísto použití lokalizace topologického prostoru, který se projevil na podkladovém topologické prostory.

Teorie modulů

V teorii moduly přes komutativní prsten R, když R má Dimenze Krull ≥ 2, může být užitečné zacházet s moduly M a N tak jako pseudoizomorfní -li M / N má Podpěra, podpora codimension nejméně dva. Tato myšlenka je hodně používána v Teorie Iwasawa.

Odvozené kategorie

The odvozená kategorie z abelianská kategorie je hodně používán v homologická algebra. Jedná se o lokalizaci kategorie řetězových komplexů (až po homotopii) s ohledem na kvazi-izomorfismy.

Abelianské odrůdy až po isogeny

An isogeny z abelianská odrůda A do jiného B je surjektivní morfismus s konečností jádro. Některé věty o abelianských odrůdách vyžadují představu abelianská odrůda až po isogeny pro jejich pohodlné vyjádření. Například vzhledem k Abelian subvariety A₁ z A, existuje další podvarieta A₂ z A takhle

A₁ × A₂

je izogenní na A (Poincarého věta o redukovatelnosti: viz například Abelianské odrůdy podle David Mumford ). Říkat tomu a přímý součet rozkladu, měli bychom pracovat v kategorii abelianských odrůd až po isogeny.

Související pojmy

The lokalizace topologického prostoru vytváří další topologický prostor, jehož homologie je lokalizací homologie původního prostoru.

Mnohem obecnější pojem z homotopická algebra, včetně zvláštních případů jak lokalizace prostorů, tak kategorií, je Bousfieldova lokalizace a kategorie modelu. Lokalizace Bousfield nutí některé mapy stát se slabé ekvivalence, což je obecně slabší než nutit je, aby se staly izomorfismy.^[2]

Viz také

• Zjednodušená lokalizace

Reference

Gabriel, Pierre; Zisman, Michel (1967). Počet zlomků a teorie homotopy. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Kapela 35. New York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-03777-6. PAN  0210125.